Twierdzenie Whitneya o rozszerzeniu

W matematyce , w szczególności w analizie matematycznej , twierdzenie Whitneya o rozszerzeniu jest częściową odwrotnością twierdzenia Taylora . Z grubsza rzecz ujmując, twierdzenie to stwierdza, że ​​jeśli A jest podzbiorem domkniętym przestrzeni euklidesowej, to można rozszerzyć daną funkcję A w taki sposób, aby mieć określone pochodne w punktach A . Jest to wynik Hasslera Whitneya .

Oświadczenie

Precyzyjne sformułowanie twierdzenia wymaga starannego rozważenia, co to znaczy przepisać pochodną funkcji na zbiorze domkniętym. Na przykład jedną z trudności jest to, że zamknięte podzbiory przestrzeni euklidesowej na ogół nie mają struktury różniczkowalnej. Punktem wyjścia jest zatem zbadanie stwierdzenia twierdzenia Taylora.

Mając rzeczywistą funkcję C ^m f ( x ) na R ⁿ , twierdzenie Taylora stwierdza, że ​​dla każdego a , x , y ∈ R ⁿ , istnieje funkcja R _α ( x , y ) dążąca do 0 równomiernie jako x , y → takie , że

${\ Displaystyle f ({\ mathbf {x}}) = \ suma _ {|\ alfa | \ równoważnik m} {\ Frac {D ^ {\ alfa} f ({\ mathbf {y}})} {\ alfa !}}\cdot ({\mathbf {x}}-{\mathbf {y}})^{\alpha}+\sum _{|\alpha |=m}R_{\alpha}({\mathbf {x } }, {\mathbf {y}}){\frac {({\mathbf {x}}-{\mathbf {y}})^{\alpha}}{\alpha!}}}$

 

 

 

 

()

  gdzie suma jest nad wieloma indeksami α .

Niech f _α = D ^α f dla każdego wieloindeksowego α . Zróżnicowanie (1) względem x i ewentualne zastąpienie R w razie potrzeby daje wyniki

${\ Displaystyle f _ {\ alfa} ({\ mathbf {x}}) = \ suma _ {| \ beta | \ równoważnik m- | \ alfa |} {\ Frac {f _ {\ alfa + \ beta} ({\ mathbf {y} })}{\beta!}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {y}})^{\beta}+R_{\alpha}({\mathbf {x}}, {\mathbf {y}})}$

 

 

 

 

()

gdzie R _α jest o (| x - y | ^{m -| α |} ) równomiernie jak x , y → za .

Zauważmy, że ( 2 ) można traktować jako warunek czysto zgodności między funkcjami f _α , który musi być spełniony , aby te funkcje były współczynnikami szeregu Taylora funkcji f . To właśnie ten wgląd ułatwia następujące stwierdzenie:

Twierdzenie. Załóżmy ^, że f _α są zbiorem funkcji na zamkniętym podzbiorze A zbioru Rn dla wszystkich multiindeksów α z $alfa |\ równoważnik m}$ \ spełniający warunek zgodności ( 2 ) we wszystkich punktach x , y i a A . Wtedy istnieje funkcja F ( x ) klasy C ^m taka, że:

1. ₀ fa = fa na A .
2. re ^α fa = fa _α na ZA .
3. F jest realnie analityczna w każdym punkcie R ⁿ − A .

Dowody podano w oryginalnej pracy Whitneya (1934) oraz w Malgrange (1967) , Bierstone (1980) i Hörmander (1990) .

Rozszerzenie w pół przestrzeni

Seeley (1964) udowodnił zaostrzenie twierdzenia Whitneya o rozszerzeniu w szczególnym przypadku półprzestrzeni. Gładka funkcja na półprzestrzeni R ^{n ,+} punktów, gdzie x _n ≥ 0 jest gładką funkcją f na wnętrzu x _n , dla której pochodne ∂ ^α f rozciągają się na funkcje ciągłe na półprzestrzeni. Na granicy x _n = 0 f ogranicza się do funkcji gładkiej. Z lematu Borela , f można rozszerzyć do funkcji gładkiej na całym R ⁿ . Ponieważ lemat Borela ma charakter lokalny, ten sam argument pokazuje, że jeśli jest domeną (ograniczoną lub nieograniczoną) w $R$ ^{z gładką granicą} , to każda gładka funkcja na zamknięciu ${\ displaystyle \ Omega} }$ można rozszerzyć do funkcji gładkiej na R ⁿ .

Wynik Seeleya dla połowy linii daje jednolitą mapę rozszerzenia

${\ Displaystyle \ Displaystyle {E: C ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {+}) \ rightarrow C ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ),}}$

która jest liniowa, ciągła (dla topologii jednostajnej zbieżności funkcji i ich pochodnych na kompaktach) i przyjmuje funkcje obsługiwane w [0, R ] do funkcji obsługiwanych w [− R , R ]

Aby zdefiniować zestaw ${\ Displaystyle E,}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {E (f) (x) = \ suma _{m=1}^{\infty}a_{m}f(-b_{m}x)\varphi (-b_{m}x)\,\,\,(x<0),}}$

gdzie φ jest gładką funkcją zwartego podparcia na R równym 1 bliskim 0 i ciągi ( a _m ), ( b _m ) spełniają:

• ${\ Displaystyle b_ {m}> 0}$ ma tendencję do ${\ Displaystyle \ infty}$ ;
• ${\ Displaystyle \ suma a_ {m} b_ {m} ^ {j} = (-1) ^ {j}}$ dla ${\ Displaystyle j \ geq 0}$ z sumą bezwzględnie zbieżną.

Rozwiązanie tego układu równań można uzyskać, biorąc całą funkcję i szukając całej funkcji ${\ displaystyle b_ {n} = 2 ^ {n}}$

${\ Displaystyle g (z) = \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {m}}$

takie, że ${\ Displaystyle g \ lewo (2 ^ {j} \ prawo) = (-1) ^ {j}.} To, że$ taką funkcję można skonstruować, wynika z twierdzenia Weierstrassa i twierdzenia Mittaga-Lefflera .

Można to zobaczyć bezpośrednio przez ustawienie

${\ Displaystyle W (z) = \ prod _ {j \ geq 1} (1-z / 2 ^ {j}),}$

całą funkcję z prostymi zerami w ${\ Displaystyle 2 ^ {j}.}$ Pochodne W '(2 ^jot ) są ograniczone powyżej i poniżej. Podobnie funkcja

${\ Displaystyle M (z) = \ suma _ {j \ geq 1} {(-1) ^ { j} \over W^{\prime }(2^{j})(z-2^{j})}}$

meromorficzny z prostymi biegunami i wyznaczonymi resztami przy ${\ Displaystyle 2 ^ {j}.}$

Według konstrukcji

${\ Displaystyle \ Displaystyle {g (z) = W (z) M (z)}}$

jest całą funkcją z wymaganymi właściwościami.

Definicja półprzestrzeni w R ⁿ poprzez zastosowanie operatora R do ostatniej zmiennej x _n . Podobnie, stosując gładki podział jedności i lokalną zmianę zmiennych, wynik dla półprzestrzeni implikuje istnienie analogicznej mapy rozszerzającej

${\ Displaystyle \ Displaystyle {C ^ {\ infty} ({\ overline {\ Omega}}) \ strzałka w prawo C ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {N})}}$

dla dowolnej domeny $z$ R n gładką granicą ^.

Zobacz też

• Twierdzenie Kirszbrauna daje rozszerzenia funkcji Lipschitza.
• Twierdzenie o rozszerzeniu Tietze - Funkcje ciągłe na zamkniętym podzbiorze normalnej przestrzeni topologicznej można rozszerzyć
• Twierdzenie Hahna – Banacha - Twierdzenie o rozszerzeniu ograniczonych funkcjonałów liniowych

Notatki

•    McShane, Edward James (1934), „Rozszerzenie zakresu funkcji”, Bull. Amer. Matematyka soc. , 40 (12): 837–842, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-05978-0 , MR 1562984 , Zbl 0010.34606
•   Whitney, Hassler (1934), „Analityczne rozszerzenia funkcji różniczkowalnych zdefiniowanych w zbiorach zamkniętych”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 36 (1): 63–89, doi : 10,2307/1989708 , JSTOR 1989708
• Bierstone, Edward (1980), „Funkcje różniczkowalne”, Biuletyn Towarzystwa Matematycznego Brazylii , 11 (2): 139–189, doi : 10.1007 / bf02584636
• Malgrange, Bernard (1967), Ideały funkcji różniczkowalnych , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, tom. 3, Oxford University Press
• Seeley, RT (1964), „Rozszerzenie funkcji C∞ zdefiniowanych w półprzestrzeni”, Proc. Amer. Matematyka soc. , 15 : 625–626, doi : 10.1090/s0002-9939-1964-0165392-8
•   Hörmander, Lars (1990), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych. I. Teoria dystrybucji i analiza Fouriera , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
•   Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Wprowadzenie do teorii liniowych równań różniczkowych cząstkowych , Studia z matematyki i jej zastosowań, tom. 14, Elsevier, ISBN 0444864520
•   Ponnusamy, S.; Silverman, Herb (2006), Zmienne złożone z aplikacjami , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4457-1
•   Fefferman, Charles (2005), „Ostra postać twierdzenia o rozszerzeniu Whitneya”, Annals of Mathematics , 161 (1): 509–577, doi : 10.4007 / annals.2005.161.509 , MR 2150391