Funkcja Greena

Ten artykuł dotyczy klasycznego podejścia do funkcji Greena. Aby zapoznać się z nowoczesną dyskusją, zobacz fundamentalne rozwiązanie .

${\ textstyle {\ kapelusz {L}} (x) G (x, x ') = \ delta (xx')}$ rozwiązanie źródła $($ i operator różniczkowy ${\ textstyle {\ kapelusz {L}} (x)}$ jest liniowy, więc można je nałożyć, aby zbudować rozwiązanie ${\ textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ dla źródła ogólnego ${\ textstyle {\ kapelusz {L}} (x) u (x) = f (x)}$ .

W matematyce funkcja Greena jest odpowiedzią impulsową niejednorodnego liniowego operatora różniczkowego zdefiniowanego w dziedzinie z określonymi warunkami początkowymi lub warunkami brzegowymi.

Oznacza to, że jeśli jest liniowym operatorem różniczkowym, to ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

• $;$ Greena $delta$ rozwiązaniem równania , gdzie Diraca $\ displaystyle$ }
• rozwiązaniem problemu wartości początkowej $\ ast f$$Displaystyle$ sol ∗ fa )

Dzięki zasadzie superpozycji , biorąc pod uwagę liniowe równanie różniczkowe zwyczajne $operatorname {L} y$ ODE), najpierw rozwiązać ${\ displaystyle \ operatorname {L} y = fa {\$ , dla każdego s , i zdając sobie sprawę, że skoro źródłem jest suma funkcji delta , to rozwiązanie jest również sumą funkcji Greena, zgodnie z liniowością L .

Funkcje Greena zostały nazwane na cześć brytyjskiego matematyka George'a Greena , który jako pierwszy opracował tę koncepcję w latach dwudziestych XIX wieku. We współczesnych badaniach liniowych równań różniczkowych cząstkowych funkcje Greena są badane głównie z punktu widzenia rozwiązań podstawowych .

W ramach teorii wielu ciał termin ten jest również używany w fizyce , w szczególności w kwantowej teorii pola , aerodynamice , aeroakustyce , elektrodynamice , sejsmologii i statystycznej teorii pola , w odniesieniu do różnych typów funkcji korelacji , nawet tych, które nie pasują do definicji matematycznej . W kwantowej teorii pola funkcje Greena pełnią rolę propagatorów .

Definicja i zastosowania

Funkcja Greena, G ( x , s ) , liniowego operatora różniczkowego ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} = \ nazwa operatora {L} (x)}$ działająca na rozkładach w podzbiorze euklidesowym przestrzeń ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ w punkcie s jest dowolnym rozwiązaniem

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} \, G (x, s) = \ delta (sx) \,,}$$

 

 

 

 

()

gdzie δ jest funkcją delta Diraca . Tę właściwość funkcji Greena można wykorzystać do rozwiązania równań różniczkowych postaci

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} \ u (x) = f (x) ~.}$$

 

 

 

 

()

Jeśli jądro L jest nietrywialne, to funkcja Greena nie jest unikalna . Jednak w praktyce pewna kombinacja symetrii , warunków brzegowych i/lub innych kryteriów narzuconych z zewnątrz da unikalną funkcję Greena. Funkcje Greena można sklasyfikować według typu spełnionych warunków brzegowych, według numeru funkcji Greena . Ponadto funkcje Greena ogólnie są rozkładami , niekoniecznie funkcjami zmiennej rzeczywistej.

Funkcje Greena są również przydatnymi narzędziami w rozwiązywaniu równań falowych i równań dyfuzji . W mechanice kwantowej funkcja hamiltonianu Greena jest kluczową koncepcją mającą ważne powiązania z koncepcją gęstości stanów .

Zamiast tego funkcja Greena stosowana w fizyce jest zwykle definiowana za pomocą przeciwnego znaku. To jest,

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} \, G (x, s) = \ delta (xs) ~.}$$

Ta definicja nie zmienia znacząco żadnej z właściwości funkcji Greena ze względu na równomierność funkcji delta Diraca.

Jeśli operator jest niezmiennikiem translacji , to znaczy, gdy ma stałe współczynniki względem x , to funkcję Greena można uznać za jądro splotu , to znaczy ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

$${\ Displaystyle G (x, s) = G (xs) ~.}$$

W tym przypadku funkcja Greena jest taka sama jak odpowiedź impulsowa liniowej teorii systemów niezmiennych w czasie .

Motywacja

Zobacz też: Teoria spektralna

Mówiąc luźno, jeśli taką funkcję G można znaleźć dla operatora $,$ to jeśli pomnożymy równanie ( 1 ) dla funkcji Greena przez f ( s ) , a scałkujemy względem do s , otrzymujemy,

$${\ Displaystyle \ int \ nazwa operatora {L} \, G (x, s) \, f (s) \, ds = \ int \ delta (xs) \, f (s) \, ds = f (x) ~ .}$$

Ponieważ operator $x$ zmienną (a na zmienną ) , można weź operatora poza integrację, uzyskując ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} \, \ lewo (\ int G (x, s) \, f (s) \, ds \ prawej) = f (x) ~.}$$

To znaczy że

$${\ Displaystyle u (x) = \ int G (x, s) \, f (s) \, ds}$$

 

 

 

 

()

jest rozwiązaniem równania ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} u (x) = f (x) ~.}$

Zatem można otrzymać funkcję u ( x ) znając funkcję Greena w równaniu ( 1 ) i wyraz źródłowy po prawej stronie równania ( 2 ). Proces ten opiera się na liniowości operatora ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$ .

Innymi słowy, rozwiązanie równania ( 2 ), u ( x ) , można wyznaczyć przez całkowanie podane w równaniu ( 3 ). Chociaż f ( x ) jest znane, to całkowanie nie może być wykonane, chyba że G jest również znane. Problem polega teraz na znalezieniu funkcji G Greena , która spełnia równanie ( 1 ). Z tego powodu funkcja Greena jest czasami nazywana rozwiązaniem fundamentalnym związanym z operatorem ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L}}$ .

$funkcję$ operator przyznaje Greena. Funkcję Greena można również traktować jako prawą odwrotność L ${\ displaystyle \ operatorname {L}$ . Oprócz trudności ze znalezieniem funkcji Greena dla konkretnego operatora, obliczenie całki w równaniu ( 3 ) może być dość trudne. Jednak metoda daje teoretycznie dokładny wynik.

$i$ to traktować jako rozwinięcie f zgodnie z podstawą funkcji delta Diraca na ; rozwiązania na każdym rzucie Taka całka równanie jest znane jako równanie całkowe Fredholma , którego badanie stanowi teorię Fredholma .

Zobacz też: równanie całkowe Volterry

Funkcje Greena do rozwiązywania niejednorodnych problemów brzegowych

Podstawowym zastosowaniem funkcji Greena w matematyce jest rozwiązywanie niejednorodnych problemów z wartościami brzegowymi . We współczesnej fizyce teoretycznej funkcje Greena są również zwykle używane jako propagatory na diagramach Feynmana ; termin funkcja Greena jest często dalej używany dla dowolnej funkcji korelacji .

Struktura

Niech będzie operatorem Sturma-Liouville'a , liniowym operatorem różniczkowym postaci ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} = {\ dfrac {d} {dx}} \ lewo [p (x) {\ dfrac {d }{dx}}\prawo]+q(x)}$$

i niech będzie operatorem warunków brzegowych o wartościach wektorowych ${\ displaystyle {\ vec {\ operatorname {D}}}}$

$${\ Displaystyle {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \, u = {\ rozpocząć {bmatrix} \ alfa _ {1} u '(0) + \ beta _ {1} u (0) \\\ alfa _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}~.}$$

Niech $ℓ$ funkcją ${\ Displaystyle [0, \ ell] \,.}$ _ _ Ponadto załóżmy, że problem

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {L} \, u & = f \\ {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \, u & = {\ vec {0 }}\end{wyrównane}}}$$

$displaystyle u (x) =$ ”, tj. jedynym rozwiązaniem dla x jest u $f(x)=0$ \

Twierdzenie

Jest tylko jedno rozwiązanie , które spełnia. ${\ displaystyle u (x)}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {L} \, u & = f \\ {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \, u & = {\ vec {0 }}\end{wyrównane}}}$$

i jest dana przez

$${\ Displaystyle u (x) = \ int _ {0} ^ {\ ell} f (s) \, G (x, s )\,ds~,}$$

gdzie jest funkcją Greena spełniającą następujące warunki: ${\ Displaystyle G (x, s)}$

1. $s)}$$s}$ jest ciągły w i $Displaystyle$ .
2. dla ${\ Displaystyle x \ neq s ~}$ , ${\ Displaystyle \ quad \ operatorname {L} \, G (x, s) = 0 ~}$ .
3. s ${\ Displaystyle s \ neq 0 ~}$ , ${\ Displaystyle \ quad {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \, G (x, s) = {$ .
4. Pochodna „skok”: ${\ Displaystyle \ quad G '(s_ {0+}, s) -G' (s_ {0-},s)=1/p(s)~}$ .
5. symetria: ${\ Displaystyle \ quad G (x, s) = G (s, x) ~}$ .

Zaawansowane i opóźnione funkcje Greena

Zobacz też: Funkcja Greena (teoria wielu ciał) i propagator

Funkcja Greena niekoniecznie jest wyjątkowa, ponieważ dodanie dowolnego rozwiązania jednorodnego równania do jednej funkcji Greena skutkuje inną funkcją Greena. Dlatego jeśli jednorodne równanie ma nietrywialne rozwiązania, istnieje wiele funkcji Greena. $displaystyle s \ leq x$ możliwe jest znalezienie jednej funkcji Greena, która nie znika tylko dla , która jest nazywana opóźnioną funkcją Greena, oraz innej funkcji Greena, która nie znika tylko dla $} \displaystyle s\geq x}$ , która jest nazywana zaawansowaną funkcją Greena. W takich przypadkach każda liniowa kombinacja dwóch funkcji Greena jest również prawidłową funkcją Greena. Terminologia zaawansowana i opóźniona jest szczególnie użyteczna, gdy zmienna x odpowiada czasowi. W takich przypadkach rozwiązanie zapewnione przez zastosowanie opóźnionej funkcji Greena zależy tylko od przeszłych źródeł i jest przyczynowe natomiast rozwiązanie zapewnione przez zastosowanie zaawansowanej funkcji Greena zależy tylko od przyszłych źródeł i jest bezprzyczynowe. W tych problemach często zdarza się, że rozwiązanie przyczynowe jest fizycznie ważne. Wykorzystanie zaawansowanej i opóźnionej funkcji Greena jest szczególnie powszechne w analizie rozwiązań niejednorodnego równania fali elektromagnetycznej .

Znalezienie funkcji Greena

Jednostki

Chociaż nie ustala jednoznacznie formy, jaką przybierze funkcja Greena, przeprowadzenie analizy wymiarowej w celu znalezienia jednostek, które musi mieć funkcja Greena, jest ważnym sprawdzeniem poprawności każdej funkcji Greena znalezionej innymi sposobami. Szybkie sprawdzenie równania definiującego,

$${\ Displaystyle LG (x, s) = \ delta (xs)}$$

pokazuje, że jednostki $zależą$$s}$$tylko$$\ displaystyle x}$ jednostek, ale także $i$ liczby i jednostek przestrzeni, której wektory pozycji sol są elementami. Prowadzi to do związku:

$${\ Displaystyle [[G]] = [[L]] ^ {- 1} [[dx]] ^ {- 1 },}$$

gdzie $]]}$ jest zdefiniowany jako „jednostki fizyczne ”, a $dx}$$displaystyle$ jest elementem objętości przestrzeni ( czasoprzestrzeni ).

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle L = \ częściowe _ {t} ^ {2}}$ i czas jest jedyną zmienną, to:

$${\ Displaystyle [[L]] = [[{\ tekst {czas}}]] ^ {- 2},}$$

$$], \ {\ tekst {i}}}$$

$${\ Displaystyle [[G]] = [[{\ tekst {czas}}]].}$$

${2}}$${\ Displaystyle L = \ kwadrat = {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowe _ {t} ^ {2} - \ nabla$ ^ , operator d'Alemberta , a przestrzeń ma wtedy 3 wymiary:

$${\ Displaystyle [[L]] = [[{\ tekst {długość}}]] ^ {- 2},}$$

$${\ Displaystyle [[dx]] = [[{\ tekst {czas}}] [[{\ tekst {długość}}$$

$${\ Displaystyle [[G]] = [[{\ tekst {czas}}]] ^ {-1} [[{\ tekst {długość}}]] ^ {-1}.}$$

Rozszerzenia wartości własnych

Jeśli operator różniczkowy L dopuszcza zbiór wektorów własnych Ψ _n ( x ) (tj. zbiór funkcji Ψ _n i skalarów λ _n takich, że L Ψ _n = λ _n Ψ _n ), który jest zupełny, to możliwe jest skonstruowanie Funkcja Greena z tych wektorów własnych i wartości własnych .

„Zupełny” oznacza, że ​​zbiór funkcji {Ψ _n } spełnia następującą relację kompletności ,

$${\ Displaystyle \ delta (xx ') = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} ^ {\ sztylet} (x) \ Psi _ {n} (x').}$$

Wtedy zachodzi, co następuje,

${\ Displaystyle G (x, x ') = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\sztylet}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},}$

gdzie ${\ displaystyle \ sztylet}$ reprezentuje złożoną koniugację.

Zastosowanie operatora L do każdej strony tego równania daje założoną relację zupełności.

Ogólne badanie funkcji Greena zapisanej w powyższej postaci i jej związku z przestrzeniami funkcyjnymi utworzonymi przez wektory własne jest znane jako teoria Fredholma .

Istnieje kilka innych metod znajdowania funkcji Greena, w tym metoda obrazów , separacja zmiennych i transformaty Laplace'a .

Łączenie funkcji Greena

Jeśli operator różniczkowy można rozłożyć na czynniki jako $=$${\ Displaystyle L = L_ {1} L_ {2}},$ to funkcję Greena można skonstruować z $}$ Funkcje Greena dla ${\ Displaystyle L_ {1}}$ i ${\ Displaystyle L_ {2}}$ :

$${\ Displaystyle G (x, s) = \ int G_ {2} (x, s_ {1}) \, G_ {1} (s_ {1}, s) \, ds_ {1}.}$$

Powyższa tożsamość wynika bezpośrednio z przyjęcia $\ Displaystyle C}$ prawego operatora odwrotności , $}$$do$$tego,$ jak dla operatora liniowego , zdefiniowany przez $\ Displaystyle C = (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1}}$ jest reprezentowana przez jej elementy macierzowe do $\ displaystyle C_ {i, j}}$ .

Kolejna tożsamość wynika dla operatorów różniczkowych, które są skalarnymi wielomianami pochodnej, ${\ Displaystyle L = P_ {N} (\ częściowe _ {x})}$ . Podstawowe twierdzenie algebry , w połączeniu z faktem, że $\$ do pracy ze sobą , gwarantuje, że wielomian można rozłożyć na czynniki, umieszczając $displaystyle L}$ w postaci: L {

$${\ Displaystyle L = \ prod _ {i = 1} ^ {N} (\ częściowe _ {x} -z_ {i}),}$$

gdzie są zerami ${\ Displaystyle P_ {N} ($$z$ } Biorąc transformatę Fouriera z ${\ Displaystyle LG (x, s) = \ delta (xs)}$ w odniesieniu zarówno do ${\ displaystyle x},$ jak i ${\ displaystyle s}$ daje:

$${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (k_ {x}, k_ {s}) = {\ Frac {\ delta (k_ {x} -k_ {s})} {\ prod _ {i = 1} ^ {N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$

Ułamek można następnie podzielić na sumę za pomocą częściowego rozkładu ułamka przed transformacją $Fouriera$ powrotem $przestrzeni$ . Proces ten daje tożsamości, które dotyczą całek funkcji Greena i ich sum. $}$${\ Displaystyle L = (\ częściowe _ {x} + \ gamma) (\ częściowe _ {x} + \ alfa) ^$ {2} wtedy jedną formą jego funkcji Greena jest:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (x, s) & = {\ Frac {1} {(\ alfa - \ gamma) ^ {2}}} \ Theta (xs) e ^ {- \ gamma (xs )}-{\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (xs)e^{-\alpha (xs)}+{\frac {1}{\gamma -\ alpha }}\Theta (xs)\,(xs)e^{-\alpha (xs)}\\[5pt]&=\int \Theta (x-s_{1})(x-s_{1}) e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{ wyrównany}}}$$

$.$ przykład jest wykonalny analitycznie, ilustruje proces, który działa, gdy całka nie jest trywialna (na przykład, gdy operatorem wielomianu)

Tabela funkcji Greena

Poniższa tabela zawiera przegląd funkcji Greena często występujących operatorów różniczkowych, gdzie ${\ textstyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ { 2}}}}$ , ${\ textstyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ , ${\ textstyle \ Theta (t) }$ jest funkcją skokową Heaviside'a , ${\ textstyle J_ {\ nu} (z)}$ jest funkcją Bessela , ${\ textstyle I_ {\ nu} (z)}$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju i ${\textstyle K_ {\ nu} (z)}$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju . Tam, gdzie czas ( t ) pojawia się w pierwszej kolumnie, wymieniona jest opóźniona (przyczynowa) funkcja Greena.

Operator różniczkowy L	Funkcja Greena G	Przykład zastosowania
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {n + 1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {t ^ {n}} {n!}} \ Theta (t)}$
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} + \ gamma}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) e ^ {- \ gamma t}}$
${\ Displaystyle \ lewo (\ częściowe _ {t} + \ gamma \ po prawej) ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) te ^ {- \ gamma t}}$
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} + 2 \ gamma \ częściowe _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma <\ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) e ^ {- \ gamma t} ~ {\ Frac {\ sin (\ omega t)} {\ omega}}}$ z ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}}$	Oscylator harmoniczny 1D z niedotłumieniem
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} + 2 \ gamma \ częściowe _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma > \ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) e ^ {- \ gamma t} ~ {\ Frac {\ sinh (\ omega t)} {\ omega}}}$ z ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}$	Oscylator harmoniczny z przetłumieniem 1D
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} + 2 \ gamma \ częściowe _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma = \ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) e ^ {- \ gamma t} t}$	Krytycznie tłumiony oscylator harmoniczny 1D
2D operator Laplace'a ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2} = \ częściowe _ {x} ^ {2} + \ częściowe _ {y} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ rho}$ z ${\ Displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + ^{2}}}}$	Równanie 2D Poissona
3D operator Laplace'a ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2} = \ częściowe _ {x} ^ {2} + \ częściowe _ {y}^{2}+\częściowe _{z}^{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {-1} {4 \ pi r}}}$ z ${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^{2}+z^{2}}}}$	Równanie Poissona
operator Helmholtza ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2} + k ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {-e ^ {-ikr}} {4 \ pi r}} = ja {\ sqrt {\ Frac {k} {32 \ pi r}}}}$${\ Displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)}$${\ Displaystyle = i {\ Frac {k}{4\pi}}\,}$${\ displaystyle h_ {0} ^ {(2)} (kr)}$	stacjonarne równanie Schrödingera 3D dla cząstki swobodnej
${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} -k ^ {2}}$ w wymiarach ${\ Displaystyle n}$	${\ Displaystyle - (2 \ pi) ^ {- n/2} \ lewo ({\ Frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	Potencjał Yukawy , propagator Feynmana
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} -c ^ {2} \ częściowe _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2c}} \ Theta (t- | x/c |)}$	Równanie fali 1D
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2}}$	$\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi c {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}$	Równanie fali 2D
operator D'Alemberta ${\ Displaystyle \ kwadrat = {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowe _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\text{3D}}^{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta (t- {\ Frac {r} {c}})} {4 \ pi r}}}$	Równanie fali 3D
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} -k \ częściowe _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ lewo ({\ Frac {1} {4 \ pi kt}} \ prawej) ^ {1/2}e^{-x^{2}/4kt}}$	Dyfuzja 1D
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} -k \, \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ lewo ({\ Frac {1} {4 \ pi kt}} \ prawej) e ^ {- \rho ^{2}/4kt}}$	Dyfuzja 2D
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} -k \, \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ lewo ({\ Frac {1} {4 \ pi kt}} \ prawej) ^ {3/2}e^{-r^{2}/4kt}}$	Dyfuzja 3D
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowe _ {t} ^ {2} - \ częściowe _ {x} ^ {2 }+\mu ^{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo [\ lewo (1- \ sin {\ mu ct} \ prawo) (\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x)} + \ mu \ Theta (ct - | x |) J_ {0} (\ mu u) \ prawej]}$ z ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ { 2}-x^{2}}}}$	1D Kleina-Gordona
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowe _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ tekst {2D} }^{2}+\mu^{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} 4\pi }}\left[(1+\cos(\mu ct)){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\ rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]}$ u $sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	2D Kleina-Gordona
${\ Displaystyle \ kwadrat + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ lewo [{\ frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\ mu u\right)}{u}}\right]}$ gdzie ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -r ^ {2}}}}$	3D Kleina-Gordona
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} + 2 \ gamma \ częściowe _ {t} -c ^ {2} \ częściowe _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} e ^ {- \ gamma t} \ lewo [\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x) + \ Theta (ct- | x |) \left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_ {1} \ lewo ({\ Frac {\ gamma u} {c}} \ prawo) \ prawo) \ prawo]}$ z ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^$	równanie telegrafisty
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} + 2 \ gamma \ częściowe _ {t} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ tekst{2D}}^{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {- \ gamma t}} {4 \ pi}} \ lewo [(1 + e ^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho}}+\Theta (ct-\rho)\left({\frac {\gamma \ sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}} \right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right) \right]}$ gdzie ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	Relatywistyczne przewodnictwo cieplne 2D
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} + 2 \ gamma \ częściowe _ {t} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ tekst{3D}}^{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {- \ gamma t}} {20 \ pi}} \ lewo [\ lewo (8-3e ^ {-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\ frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}} }}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]}$ z ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -r ^ {2}}}}$	Relatywistyczne przewodnictwo cieplne 3D

Funkcje Greena dla Laplace'a

Funkcje Greena dla liniowych operatorów różniczkowych obejmujących Laplace'a można łatwo wykorzystać przy użyciu drugiej tożsamości Greena .

Aby wyprowadzić twierdzenie Greena, zacznij od twierdzenia o dywergencji (znanego również jako twierdzenie Gaussa ),

$${\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ dV = \ int _ {S} {\ vec {A}} \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} ~.}$$

Niech ${\ Displaystyle {\ vec {A}} = \ varphi \, \ nabla \ psi - \ psi \, \ nabla \ varphi}$ i podstawimy do prawa Gaussa.

Oblicz ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}}}$ i zastosuj regułę iloczynu dla operatora ∇,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} & = \ nabla \ cdot (\ varphi \, \ nabla \ psi \; - \; \ psi \, \ nabla \ varphi) \ \&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\ varphi .\end{wyrównane}}}$$

Podłączenie tego do twierdzenia o dywergencji daje twierdzenie Greena ,

$${\ Displaystyle \ int _ {V} (\ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi - \ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi) \, dV = \ int _ {S} (\ varphi \ ,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi )\cdot d{\widehat {\sigma}}.}$$

Załóżmy, że liniowy operator różniczkowy L jest operatorem Laplace'a ∇ ² , i że istnieje funkcja Greena G dla Laplace'a. Definiująca właściwość funkcji Greena nadal obowiązuje,

$${\ Displaystyle LG (x, x') = \ nabla ^ {2} G (x, x') = \ delta (xx').}$$

Niech w drugiej tożsamości $,$ Greena . Następnie,

$${\ Displaystyle \ int _ {V} \ lewo [\ varphi (x') \ delta (xx ') -G (x, x') \, {\ nabla '} ^ {2} \, \ varphi (x' )\right]\ d^{3}x'=\int _{S}\left[\varphi (x')\,{\nabla '}G(x,x')-G(x,x') \,{\nabla '}\varphi (x')\right]\cdot d{\widehat {\sigma }}'.}$$

Korzystając z tego wyrażenia, możliwe jest rozwiązanie równania Laplace'a ∇ ² φ ( x ) = 0 lub równania Poissona ∇ ² φ ( x ) = - ρ ( x ), z zastrzeżeniem warunków brzegowych Neumanna lub Dirichleta . Innymi słowy, możemy znaleźć φ ( x ) wszędzie wewnątrz objętości, gdzie albo (1) wartość φ ( x ) jest określona na powierzchni ograniczającej objętość (warunki brzegowe Dirichleta) lub (2) normalna pochodna φ ( x ) jest określona na powierzchni granicznej (warunki brzegowe Neumanna).

Załóżmy, że problem polega na rozwiązaniu dla φ ( x ) wewnątrz regionu. Następnie całka

$${\ Displaystyle \ int _ {V} \ varphi (x ') \ delta (xx ') \, d ^ {3} x '}$$

zmniejsza się po prostu do φ ( x ) ze względu na definiującą właściwość funkcji delta Diraca i mamy

$${\ Displaystyle \ varphi (x) = - \ int _ {V} G (x, x ') \ rho (x ') \ d ^ {3} x '+ \ int _ {S} \ lewo [\ varphi ( x')\,\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\,\nabla '\varphi (x')\right]\cdot d{\widehat {\sigma }}'. }$$

Postać ta wyraża dobrze znaną właściwość funkcji harmonicznych , że jeśli wartość lub pochodna normalna jest znana na powierzchni ograniczającej, to wartość funkcji wewnątrz objętości jest znana wszędzie .

W elektrostatyce φ ( x ) jest interpretowane jako potencjał elektryczny , ρ ( x ) jako gęstość ładunku elektrycznego , a pochodna normalna $cdot d{\widehat {\sigma}}'}$${\ Displaystyle \ nabla \ varphi (x ')$ \ jako składową normalną pola elektrycznego.

Jeśli problem polega na rozwiązaniu problemu wartości brzegowych Dirichleta, funkcję Greena należy wybrać tak, że G ( x , x ′) znika, gdy x lub x ′ znajduje się na powierzchni ograniczającej. Zatem pozostaje tylko jeden z dwóch wyrazów całki powierzchniowej . Jeśli problemem jest rozwiązanie problemu wartości brzegowych Neumanna, logiczne może się wydawać wybranie funkcji Greena tak, aby jej normalna pochodna zniknęła na powierzchni ograniczającej. Jednak zastosowanie twierdzenia Gaussa do równania różniczkowego definiującego funkcję Greena daje wyniki

$${\ Displaystyle \ int _ {S} \ nabla 'G (x, x') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '= \ int _ {V} \ nabla '^ {2} G (x, x ')d^{3}x'=\int _{V}\delta (xx')d^{3}x'=1~,}$$

co oznacza, że ​​normalna pochodna G ( x , x ′) nie może zniknąć na powierzchni, ponieważ musi całkować się do 1 na powierzchni.

Najprostszą postacią, jaką może przyjąć pochodna normalna, jest postać stałej, mianowicie 1/ S , gdzie S jest polem powierzchni. Termin powierzchniowy w rozwiązaniu staje się

$${\ Displaystyle \ int _ {S} \ varphi (x ') \, \ nabla 'G (x, x')\cdot d{\widehat {\sigma }}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$

gdzie $.$ powierzchni Liczba ta nie jest ogólnie znana, ale często jest nieistotna, ponieważ często celem jest uzyskanie pola elektrycznego określonego przez gradient potencjału, a nie sam potencjał.

Bez warunków brzegowych funkcja Greena dla Laplace'a ( funkcja Greena dla równania Laplace'a z trzema zmiennymi ) wynosi

$${\ Displaystyle G (x, x ') = - {\ dfrac {1} {4 \ pi | xx '|}}.}$$

Zakładając, że powierzchnia graniczna rozciąga się do nieskończoności i podstawiając to wyrażenie dla funkcji Greena, ostatecznie otrzymujemy standardowe wyrażenie na potencjał elektryczny pod względem gęstości ładunku elektrycznego jako

${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ int _ {V} {\ dfrac {\ rho (x ')}} {4 \ pi \ varepsilon | xx '|}} \, d ^ {3} x' ~.}$

Dalsze informacje: równanie Poissona

Przykład

Znajdź funkcję Greena dla następującego problemu, którego numerem funkcji Greena jest X11:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Lu & = u ''+ k ^ {2} u = f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{wyrównane}}}$$

Pierwszy krok: funkcja Greena dla danego operatora liniowego jest zdefiniowana jako rozwiązanie

$${\ Displaystyle G '' (x, s) + k ^ {2} G (x, s) = \ delta (xs).}$$

 

 

 

 

(Równanie)

Jeśli , to funkcja delta daje zero, a ogólnym rozwiązaniem jest ${\ displaystyle x \ neq s}$

$${\ Displaystyle G (x, s) = c_ {1} \ cos kx + c_ {2} \ sin kx.}$$

Dla ${\ displaystyle x <s}$ , warunek brzegowy implikuje ${\ displaystyle x = 0}$

$${\ Displaystyle G (0, s) = c_ {1} \ cdot 1 + c_ {2} \ cdot 0 = 0, \ quad c_ {1}=0}$$

${\ Displaystyle x <s}$ i $\ tfrac {\ pi} {2k}}}$ { .

Dla ${\ Displaystyle x> s}$ , warunek brzegowy implikuje ${\ Displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {2k}}}$

$${\ Displaystyle G \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {2k}}, s \ prawej) = c_ {3} \cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

Równanie $_$ _

Podsumowując dotychczasowe wyniki:

$${\ Displaystyle G (x, s) = {\ rozpocząć {przypadki} c_ {2} \ sin kx, & {\ tekst {dla}} x <s, \\ c_ {3} \ cos kx, & {\ tekst {for }}s<x.\end{przypadki}}}$$

Drugi krok: następnym ${2}$ jest określenie i $}$ .

Zapewnienie ciągłości funkcji Greena implikuje ${\ displaystyle x = s}$

$${\ Displaystyle c_ {2} \ sin ks = c_ {3} \ cos ks}$$

Właściwą nieciągłość pierwszej pochodnej można zapewnić, całkując definiujące równanie różniczkowe (tj. Równanie * ) od ${\ Displaystyle x = s- \ varepsilon}$ do ${\ Displaystyle x = s + \ varepsilon }$ i biorąc granicę, gdy ${\ displaystyle \ varepsilon}$ dąży do zera. Zauważ, że całkujemy tylko drugą pochodną, ​​ponieważ pozostały wyraz będzie ciągły ze względu na konstrukcję.

$${\ Displaystyle c_ {3} \ cdot (-k \ sin ks) -c_ {2} \ cdot (k \ cos ks)=1}$$

Dwa równania (nie) ciągłości można rozwiązać, aby $}$ do 2 $displaystyle c_ {2}$

$${\ Displaystyle c_ {2} = - {\ Frac {\ cos ks} {k}} \ quad; \ quad c_ {3} = - {\ Frac {\ sin ks} k}}}$$

Zatem funkcja Greena dla tego problemu to:

$${\ Displaystyle G (x, s) = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ Frac {\ cos ks} {k}} \ sin kx, & x <s, \\ - {\ Frac {\ sin ks} {k }}\cos kx,&s<x.\end{przypadki}}}$$

Dalsze przykłady

• Niech n = 1 i niech podzbiór będzie cały z R . Niech L będzie $\ textstyle {\ Frac {d} {dx}}}$ . Wtedy funkcja skokowa Heaviside'a ₀ H ( x - x ) jest funkcją Greena z L w x ₀ .
• Niech n = 2 i niech podzbiór będzie ćwiartką płaszczyzny {( x , y ) : x , y ≥ 0} i L będzie Laplacianem . Załóżmy również, że warunek brzegowy Dirichleta jest narzucony w x = 0 , a warunek brzegowy Neumanna jest narzucony w y = 0 . Następnie funkcja X10Y20 Greena jest
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (x, y, x_ {0}, y_ {0}) = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} i \ lewo [\ ln {\ sqrt {(x -x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{ 0})^{2}}}\prawo.\\[5pt]&\lewo.{}+\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0} )^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\,\right].\end{ wyrównany}}}$$
• Niech za ${\ displaystyle a <x <b} i wszystkie trzy$ elementami liczb rzeczywistych. Następnie dla dowolnej funkcji z -tą pochodną , ​​która jest całkowalna w przedziale ${\ displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {$$R$ :
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (x) & = \ suma _ {m = 0} ^ {n-1} {\ Frac {(xa) ^ {m}}} {m!}} \ lewo [{{ \frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(xs)^{ n-1}}{(n-1)!}}\Theta (xs)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x =s}ds\end{wyrównane}}~.}$$
  Funkcja Greena w powyższym równaniu, ${\ Displaystyle G (x, s) = {\ Frac {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ Theta (xs)} , ​​nie jest wyjątkowy$ . Jak zmodyfikowane jest równanie, jeśli zostanie dodane ${\ Displaystyle g (xs)}$${\ Displaystyle G (x, s)}$$\ Displaystyle g (x)}$ ( spełnia ${\ textstyle {\ Frac {d ^ {n} g {dx ^ {n}}} = 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w [a, b]}$ (na przykład ${\ Displaystyle g (x)=-x/2}$ z ${\ Displaystyle n = 2}$ )? Porównaj również powyższe równanie z postacią szeregu Taylora o środku w ${\ displaystyle x = a}$ .

Zobacz też

• Potencjał Bessela
• Dyskretne funkcje Greena – definiowane na wykresach i siatkach
• Odpowiedź impulsowa - analog funkcji Greena w przetwarzaniu sygnału
• Funkcja transferu
• Podstawowe rozwiązanie
• Funkcja Greena w teorii wielu ciał
• Funkcja korelacji
• Propagator
• tożsamości Greena
• Parametrix
• Równanie całkowe Volterry
• Formalizm rozdzielczy
• Formalizm keldyski
• Teoria spektralna
• Wieloskalowa funkcja Greena

przypisy

• Bayin, SS (2006). Metody matematyczne w nauce i inżynierii . Wileya. Rozdziały 18 i 19.
• 
    Eyges, Leonard (1972). Klasyczne pole elektromagnetyczne . Nowy Jork, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-63947-9 . Rozdział 5 zawiera bardzo czytelny opis wykorzystania funkcji Greena do rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi w elektrostatyce.
•   Polianina, AD; Zaitsev, VF (2003). Podręcznik dokładnych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (wyd. 2). Boca Raton, Floryda: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2 .
•   Polianina, AD (2002). Podręcznik liniowych równań różniczkowych cząstkowych dla inżynierów i naukowców . Boca Raton, Floryda: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9 .
•   Mateusz, Jon; Walker, Robert L. (1970). Matematyczne metody fizyki (wyd. 2). Nowy Jork: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1 .
• Folland, GB Analiza Fouriera i jej zastosowania . Seria Matematyka. Wadswortha i Brooksa/Cole'a.
•   Cole, KD; Beck, JV; Hadżi-Szejk, A.; Litkouhi, B. (2011). „Metody uzyskiwania funkcji Greena”. Przewodzenie ciepła za pomocą funkcji Greena . Taylora i Franciszka. s. 101–148. ISBN 978-1-4398-1354-6 .
• Zielony, G. (1828). Esej o zastosowaniu analizy matematycznej do teorii elektryczności i magnetyzmu . Nottingham, Anglia: T. Wheelhouse. strony 10-12 .
• Faryad i M.; Lakhtakia, A. (2018). Funkcje diadyczne zieleni w nieskończonej przestrzeni w elektromagnetyzmie . Londyn, Wielka Brytania / San Rafael, Kalifornia: IoP Science (Wielka Brytania) / Morgan and Claypool (USA). Bibcode : 2018idgf.book.....F .

• VD Seremet: „Podręcznik funkcji i macierzy Greena”, WIT Press, ISBN 978-1-85312-933-9 (2002).

Linki zewnętrzne

• „Green funkcja” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Funkcja Greena” . MathWorld .
• Funkcja Greena dla operatora różniczkowego w PlanetMath .
• Funkcja Greena w PlanetMath .
• Funkcje Greena i mapowanie konforemne w PlanetMath .
• Wprowadzenie do techniki zielonej funkcji stanu nierównowagi Keldysha autorstwa AP Jauho
• Biblioteka funkcji Greena
• Samouczek dotyczący funkcji Greena
• Metoda elementów brzegowych (dla pewnego pomysłu, w jaki sposób funkcje Greena mogą być używane z metodą elementów brzegowych do numerycznego rozwiązywania potencjalnych problemów)
• W Citizendium
• Wykład wideo MIT na temat funkcji Greena
• Bowley, Roger. „Funkcje George'a Greena i Greena” . Sześćdziesiąt symboli . Brady Haran z Uniwersytetu w Nottingham .