Formalizm rozdzielczy

W matematyce formalizm resolwentowy jest techniką stosowania pojęć z analizy zespolonej do badania widma operatorów w przestrzeniach Banacha i przestrzeniach bardziej ogólnych. Formalne uzasadnienie manipulacji można znaleźć w ramach holomorficznego rachunku funkcyjnego .

Rezolwent przechwytuje widmowe właściwości operatora w analitycznej strukturze funkcjonału . Biorąc pod uwagę operatora A , rezolwent można zdefiniować jako

${\ Displaystyle R (z; A) = (A-zI) ^ {- 1} ~.}$

Wśród innych zastosowań resolwenta można użyć do rozwiązania niejednorodnych równań całkowych Fredholma ; powszechnie stosowanym podejściem jest rozwiązanie szeregowe, szereg Liouville – Neumann .

Rozdzielczość A może być wykorzystana do bezpośredniego uzyskania informacji o rozkładzie widmowym A . Załóżmy na przykład, że λ jest izolowaną wartością własną w widmie A . To znaczy, załóżmy, że istnieje prosta zamknięta krzywa na płaszczyźnie zespolonej, która $oddziela$ od reszty A . Potem pozostałość

${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {\ lambda}} (AzI) ^{-1}~dz}$

definiuje operator projekcji na przestrzeń własną λ A .

Dalsze informacje: kowariant Frobeniusa i holomorficzny rachunek funkcjonalny

Hille'a -Yosidy wiąże rezolwent poprzez transformatę Laplace'a z całką po jednoparametrowej grupie przekształceń generowanych przez A . Zatem, na przykład, jeśli A jest hermitowskie , to U ( t ) = exp( tA ) jest jednoparametrową grupą operatorów unitarnych. kiedykolwiek ${\ Displaystyle | z|>\|A \|}$ , rezolwent A w z można wyrazić jako transformatę Laplace'a

${\ Displaystyle R (z; A) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- zt} U (t )~dt,}$

gdzie całka jest brana wzdłuż promienia ${\ Displaystyle \ arg t = - \ arg \ lambda}$ .

Historia

Pierwszym poważnym zastosowaniem operatora rezolwentowego jako szeregu w A (por. Szereg Liouville – Neumann ) był Ivar Fredholm w przełomowym artykule z 1903 r. W Acta Mathematica , który pomógł ustanowić nowoczesną teorię operatorów .

Nazwę „solvent” nadał David Hilbert .

Rozwiązana tożsamość

Dla wszystkich z, w w ρ ( A ) , zbiorze resolwentowym operatora A mamy, że pierwsza tożsamość resolwentowa (zwana także tożsamością Hilberta) zachodzi:

${\ Displaystyle R (z; A) -R (w; A) = (wz) R (z; A) R (w; A) \,.}$

(Zauważ, że cytowani Dunford i Schwartz definiują rezolwent jako ( zI −A ) ⁻¹ , tak że powyższy wzór różni się znakiem od ich.)

Druga tożsamość resolwenta jest uogólnieniem pierwszej tożsamości resolwenta powyżej, przydatnej do porównywania resolwentów dwóch różnych operatorów. Biorąc pod uwagę operatory A i B , oba zdefiniowane w tej samej przestrzeni liniowej, oraz z w ρ ( A ) ∩ ρ ( B ) zachodzi następująca tożsamość,

${\ Displaystyle R (z; A) -R (z; B) = R (z; A) (AB) R (z; B) \,.}$

Kompaktowy rozpuszczalnik

Podczas badania zamkniętego $ZA$ ZA : H → H na przestrzeni Hilberta H , $R (z;A)}$ istnieje , że jest operatorem zwartym , mówimy, że A ma resolwent zwarty. $\ Displaystyle \ sigma (A)}$ ZA takiego A jest dyskretnym podzbiorem . do $\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Jeśli ponadto A jest samosprzężone , to ${i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$$}$ podstawa ortonormalna $Displaystyle$ wektorów własnych A o wartościach własnych ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {i} \} _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ odpowiednio. Ponadto ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {i} \}}$ nie ma skończonego punktu akumulacji .

Zobacz też

• Rozpuszczalny zestaw
• Twierdzenie Stone'a o jednoparametrowych grupach unitarnych
• Holomorficzny rachunek funkcjonalny
• Teoria spektralna
• Kompaktowy operator
• Transformata Laplace'a
• Teoria Fredholma
• Szeregi Liouville'a-Neumanna
• Dekompozycja widma (analiza funkcjonalna)
• Ograniczająca zasada absorpcji

•   Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988), Operatory liniowe, część I ogólna teoria , Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
• Fredholm, Erik I. (1903), „Sur une classe d'equations fonctionnelles” (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317
•   Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1957), Analiza funkcjonalna i półgrupy , Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1031-6 .
•   Kato, Tosio (1980), Perturbation Theory for Linear Operators (wyd. 2), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5 .
•   Taylor, Michael E. (1996), Równania różniczkowe cząstkowe I , Nowy Jork, NY: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4