Szeregi Liouville'a-Neumanna

W matematyce szereg Liouville'a -Neumanna jest szeregiem nieskończonym , który odpowiada technice formalizmu resolwentowego rozwiązywania równań całkowych Fredholma w teorii Fredholma .

Definicja

Szereg Liouville-Neumann (iteracyjny) jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle \ phi \ lewo (x \ prawo) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n} \ phi _{n}\lewo(x\prawo)}

co, pod warunkiem, że jest wystarczająco małe, aby szereg był zbieżny, jest unikalnym ciągłym rozwiązaniem równania całkowego Fredholma drugiego rodzaju, ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle f (t) = \ phi (t) - \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) \ phi (s) \, ds.}$

Jeśli n- te iterowane jądro jest zdefiniowane jako n −1 zagnieżdżonych całek n operatorów $K$ ,

{\ Displaystyle K_ {n} \ lewo (x, z \ prawej) = \ int \ int \ cdots \ int K \ lewo (x, y_ {1} \ prawo) K \ lewo (y_ {1}, y_ {2 }\right)\cdots K\left(y_{n-1},z\right)dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n-1}}

Następnie

{\ Displaystyle \ phi _ {n} \ lewo (x \ prawej) = \ int K_ {n} \ lewo (x, z \ prawo)f\lewo(z\prawo)dz}

z

{\ Displaystyle \ phi _ {0} \ lewo (x \ prawo) = f \ lewo (x \ prawo) ~,}

₀ więc K można przyjąć jako $δ (x-z)$ .

Rozdzielczość (lub jądro rozwiązania dla operatora całkowego) jest następnie podawana przez schematyczny analogowy „szereg geometryczny” ,

{\ Displaystyle R \ lewo (x, z; \ lambda \ po prawej) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n} K_ {n} \ lewo (x, z \ po prawej). }

₀ gdzie K zostało przyjęte jako $δ (x-z)$ .

Rozwiązanie równania całkowego staje się więc proste

{\ Displaystyle \ phi \ lewo (x \ prawo) = \ int R \ lewo (x, z; \ lambda \ prawo) f \ lewo (z \ prawo) dz.}

Podobne metody można zastosować do rozwiązania równań Volterry .

Zobacz też

szereg Neumanna

Mateusz, Jon; Walker, Robert L. (1970), Matematyczne metody fizyki (wyd. 2), Nowy Jork: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
Fredholm, Erik I. (1903), „Sur une classe d'equations fonctionnelles” (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317