Pozostałość (złożona analiza)

W matematyce , a dokładniej w analizie złożonej , reszta jest liczbą zespoloną proporcjonalną do całki konturowej funkcji meromorficznej wzdłuż ścieżki obejmującej jedną z jej osobliwości . (Bardziej ogólnie, reszty można obliczyć dla dowolnej funkcji $\ Displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {C} \ setminus \ {a_ {k} \} _ {k} \ rightarrow \ mathbb {C} }$ to znaczy holomorficzne z wyjątkiem punktów dyskretnych { ak } _k , nawet jeśli niektóre z nich są istotnymi osobliwościami .) Reszty można dość łatwo obliczyć, a gdy już je poznamy, pozwalają na wyznaczenie ogólnych całek konturowych za pomocą twierdzenia _o resztach .

Definicja

Pozostałość funkcji meromorficznej $($ izolowanej osobliwości , często oznaczanej $f, a)}$$\ Displaystyle \ operatorname {$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Res} _ {a} (f)}$ , , ${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {Res}} _ {z = a} f (z)}$ lub ${\ Displaystyle \ mathop {\ nazwa operatora {res}} _ {z = a } f (z)}$ , jest unikalną wartością taką, że ma analityczną funkcję pierwotną w $\ Displaystyle R$$\ Displaystyle f (z) -R / (za)$ przebity dysk ${\ Displaystyle 0 <\ vert za \ vert <\ delta}$ .

Alternatywnie, reszty można obliczyć, znajdując rozwinięcia szeregu Laurenta , i można zdefiniować resztę jako współczynnik a _-1 szeregu Laurenta.

Definicję reszty można uogólnić na dowolne powierzchnie Riemanna . Załóżmy $,$ jest formą 1 na powierzchni Riemanna. Niech w pewnym momencie będzie meromorficzny $,$ abyśmy mogli zapisać we współrzędnych lokalnych jako $} ;dz}$$\ omega$$) \ ω$ . Następnie pozostałość ${\ displaystyle \ omega}$ w $x}$ displaystyle $jest$ reszta w punkcie odpowiadającym $x}$

Przykłady

Pozostałość jednomianu

Obliczanie reszty jednomianu

${\ Displaystyle \ punkt _ {C} z ^ {k} \, dz}$

sprawia, że ​​większość obliczeń pozostałości jest łatwa do wykonania. Ponieważ obliczenia całki po ścieżce są homotopii , pozwolimy, że będzie to okrąg o promieniu $1}$$displaystyle$ . Następnie, korzystając ze zmiany współrzędnych, stwierdzamy, że ${\ Displaystyle z \ do e ^ {i \ theta}}$

${\ Displaystyle dz \ do d (e ^ {i \ teta}) = ie ^ {i \ teta} \, d \ teta}$

stąd nasza całka ma teraz postać

${\ Displaystyle \ oint _ {C} z ^ {k} dz = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} ie ^ {i (k + 1) \ theta} \, d \ theta = {\ rozpocząć { przypadki}2\pi i&{\text{jeśli }}k=-1,\\0&{\text{w przeciwnym razie}}.\end{przypadki}}}$

Zastosowanie reszty jednomianowej

Jako przykład rozważmy całkę po konturze

$\ Displaystyle \ punkt _ {C} {e ^ {z} \ ponad z ^ {5}} \, dz}$

gdzie C jest prostą zamkniętą krzywą około 0.

Oceńmy tę całkę, korzystając ze standardowego wyniku zbieżności dotyczącego całkowania przez szereg. Możemy podstawić $.$ Taylora do Całka wtedy staje się

${\ Displaystyle \ oint _ {C} {1 \ ponad z ^ {5}} \ lewo (1 + z + {z ^ {2} \ ponad 2!} + {z ^ {3} \ ponad 3!} + { z^{4} \ponad 4!}+{z^{5} \ponad 5!}+{z^{6} \ponad 6!}+\cdots \po prawej)\,dz.}$

Wprowadźmy czynnik 1/ z ⁵ do szeregu. Następnie zapisuje się całkę po konturze szeregu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ oint _ {C} \ lewo ({1 \ ponad z ^ {5}} + {z \ ponad z ^ {5}} + {z ^ {2} \ ponad 2 !\;z^{5}}+{z^{3} \ponad 3!\;z^{5}}+{z^{4} \ponad 4!\;z^{5}}+{z ^{5} \ponad 5!\;z^{5}}+{z^{6} \ponad 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]= {}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3 }}+{1 \ponad 3!\;z^{2}}+{1 \ponad 4!\;z}+{1 \ponad \;5!}+{z \ponad 6!}+\cdots \ po prawej)\,dz.\end{wyrównane}}}$

Ponieważ szereg jest zbieżny jednostajnie na podstawie ścieżki integracji, możemy wymieniać całkowanie i sumowanie. Szereg całek po trajektorii zapada się następnie do znacznie prostszej postaci z powodu poprzedniego obliczenia. Więc teraz całka wokół C każdego innego wyrazu nie w postaci cz ⁻¹ wynosi zero, a całka jest zredukowana do

${\ Displaystyle \ oint _ {C} {1 \ ponad 4! \; z} \, dz = {1 \ ponad 4!} \ oint _ {C} {1 \ ponad z} \, dz = {1 \ ponad 4!}(2\pi i)={\pi i \ponad 12}.}$

Wartość 1/4! jest resztą e z ^/ z ⁵ przy z = 0 i jest oznaczony

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {e ^ {z} \ ponad z ^ {5}}, {\ tekst {lub}} \ operatorname {Res} _ {z = 0} {e ^ {z } \over z^{5}},{\text{ lub }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}} .}$

Obliczanie pozostałości

Załóżmy, że przebity dysk D = { z : 0 < | z - do | < R } w płaszczyźnie zespolonej jest dane, a f jest funkcją holomorficzną zdefiniowaną (co najmniej) na D . Reszta Res( f , c ) z f w c jest współczynnikiem a _-1 z ( z - c ) ^-1 w szeregu Laurenta rozwinięcie f wokół c . Istnieją różne metody obliczania tej wartości, a wybór metody zależy od danej funkcji i charakteru osobliwości.

Zgodnie z twierdzeniem o resztach mamy:

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = {1 \ ponad 2 \ pi ja} \ oint _ {\ gamma} f(z)\,dz}$

gdzie γ zakreśla okrąg wokół c w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Możemy wybrać ścieżkę γ jako okrąg o promieniu ε wokół c , gdzie ε jest tak małe, jak chcemy. Można to wykorzystać do obliczeń w przypadkach, gdy całkę można obliczyć bezpośrednio, ale zwykle jest tak, że reszty służą do uproszczenia obliczeń całek, a nie na odwrót.

Usuwalne osobliwości

Jeśli funkcja f może być kontynuowana do funkcji holomorficznej na całym dysku ${\ Displaystyle | yc| <R}$ , a następnie Res ( fa , do ) = 0. Odwrotność nie jest generalnie prawdziwa.

Proste słupy

Na prostym biegunie c reszta f jest dana wzorem:

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = \ lim _ {z \ do c} (zc) f (z).}$

Jeśli ta granica nie istnieje, istnieje tam zasadnicza osobliwość. Jeśli wynosi 0, oznacza to, że jest to albo analityczne, albo osobliwość, którą można usunąć. Jeśli jest równy nieskończoności, to rząd jest wyższy niż 1.

Może się zdarzyć, że funkcję f można wyrazić jako iloraz dwóch funkcji, ${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {g (z)} {h ( z)}}}$ , gdzie g i h są funkcjami holomorficznymi w sąsiedztwie c , gdzie h ( c ) = 0 i h' ( c ) ≠ 0. W takim przypadku Reguła L'Hôpitala może być wykorzystana do uproszczenia powyższego wzoru do:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {Res} (f, c) & = \ lim _ {z \ do c} (zc) f (z) = \ lim _ {z \ do c} {\ frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg '(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{wyrównane}}}$

Wzór graniczny dla biegunów wyższego rzędu

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli c jest biegunem rzędu n , to resztę f wokół z = c można znaleźć za pomocą wzoru:

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ lim _ {z \ do c} {\ Frac {d ^ {n-1}} {dz^{n-1}}}\left((zc)^{n}f(z)\right).}$

Wzór ten może być bardzo przydatny przy określaniu reszt dla biegunów niskiego rzędu. W przypadku biegunów wyższego rzędu obliczenia mogą stać się niemożliwe do wykonania, a rozszerzenie serii jest zwykle łatwiejsze. W przypadku istotnych osobliwości nie istnieje taki prosty wzór, a reszty należy zwykle brać bezpośrednio z rozwinięć szeregów.

Reszta w nieskończoności

Ogólnie reszta w nieskończoności jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Res} (f (z), \ infty) = - \ nazwa operatora {Res} \ lewo ({\ Frac {1} {z ^ {2}}} f \ lewo ({\ frac {1 }{z}}\prawo),0\prawo).}$

Jeśli spełniony jest następujący warunek:

${\ Displaystyle \ lim _ {| z | \ do \ infty} f (z) = 0,}$

wtedy resztę w nieskończoności można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = - \ lim _ {| z | \ do \ infty} z \ cdot f (z).}$

Jeśli zamiast tego

${\ Displaystyle \ lim _ {| z | \ do \ infty} f (z) = c \ neq 0,}$

wtedy reszta w nieskończoności wynosi

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = \ lim _ {| z | \ do \ infty} z ^ {2} \ cdot f '(z).}$

W przypadku funkcji holomorficznych suma reszt w izolowanych osobliwościach plus reszta w nieskończoności wynosi zero.

Metody szeregowe

Jeśli części lub całość funkcji można rozwinąć w szereg Taylora lub szereg Laurenta , co może być możliwe, jeśli części lub całość funkcji ma standardowe rozwinięcie w szereg, to obliczenie reszty jest znacznie prostsze niż innymi metodami.

1. Jako pierwszy przykład rozważ obliczenie reszt w osobliwościach funkcji
   $${\ Displaystyle f (z) = {\ sin z \ ponad z ^ {2} -z}}$$

   które mogą być użyte do obliczenia pewnych całek konturowych. Wydaje się, że ta funkcja ma osobliwość w punkcie z = 0, ale jeśli rozkłada się mianownik na czynniki i zapisze funkcję jako

   $${\ Displaystyle f (z) = {\ sin z \ nad z (z-1)}}$$

   oczywiste jest, że osobliwość w z = 0 jest osobliwością usuwalną , a zatem reszta w z = 0 wynosi 0.

   Jedyna inna osobliwość występuje w punkcie z = 1. Przypomnijmy sobie wyrażenie na szereg Taylora dla funkcji g ( z ) o z = a :

   $${\ Displaystyle g (z) = g (a) + g' (a) (za) + {g'' (a) (za) ^ {2} \ ponad 2!} + {g''' (a) (za)^{3} \ponad 3!}+\cdots }$$

   Zatem dla g ( z ) = sin z i a = 1 mamy

   $${\ Displaystyle \ sin z = \ sin 1 + (\ cos 1) (z-1) + {- (\ sin 1) (z-1) ^ {2} \ ponad 2!} + {- (\ cos 1 )(z-1)^{3} \ponad 3!}+\cdots .}$$
   a dla g ( z ) = 1/ z i a = 1 mamy
   $${\ Displaystyle {\ Frac {1} {z}} = {\ Frac {1} {(z-1) + 1}} = 1- (z-1) + (z-1) ^ {2} - ( z-1)^{3}+\cdots .}$$

   Mnożąc te dwa szeregi i wprowadzając 1/( z − 1) otrzymujemy

   $${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin z} {z (z-1)}} = {\ sin 1 \ nad z-1} + (\ cos 1- \ sin 1) + (z-1) \ lewo ( -{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$
   Więc reszta z f ( z ) w z = 1 to grzech 1.
2. Następny przykład pokazuje, że przy obliczaniu reszty przez rozwinięcie szeregu główną rolę odgrywa twierdzenie o inwersji Lagrange'a . Pozwalać
   $${\ Displaystyle u (z): = \ suma _ {k \ geq 1} u_ {k} z ^ {k}}$$
   będzie całą funkcją i niech
   $${\ Displaystyle v (z): = \ suma _ {k \ geq 1} v_ {k} z ^ {k}}$$
   z dodatnim promieniem zbieżności i ${\ textstyle v_ {1}\ neq 0}$ . Więc ${\ textstyle v (z)}$ ma lokalną odwrotność ${\ textstyle V (z)}$ w punkcie 0 i ${\ textstyle u (1/V (z))}$ jest meromorficzne w punkcie 0. Wtedy mamy:
   $${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Res} _ {0} {\ duży (} u (1 / V (z)) {\ duży)} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} ku_ {k} v_ {k}.}$$
   Rzeczywiście,
   $${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Res} _ {0} {\ duży (} u (1 / V (z)) {\ duży)} = \ nazwa operatora {Res} _ {0} \ lewo (\ suma _ {k \ geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\suma _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z )^{-k}{\duży )}}$$
   ponieważ pierwszy szereg jest zbieżny jednostajnie na dowolnym małym okręgu wokół 0. Korzystanie z twierdzenia o inwersji Lagrange'a
   $${\ Displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ duży (} V (z) ^ {- k} {\ duży)} = kv_ {k },}$$
   i otrzymujemy powyższe wyrażenie. Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle u (z) = z + z ^ {2}}$ a także ${\ Displaystyle v (z) = z + z^{2}}$ , zatem
   $${\ Displaystyle V (z) = {\ Frac {2z} {1 + {\ sqrt {1 + 4z}}}}}$$
   I
   $${\ Displaystyle u (1 / V (z)) = {\ Frac {1 + {\ sqrt {1 + 4z}}} {2z}} + {\ Frac {1 + 2z + {\ sqrt {1 + 4z}} }{2z^{2}}}.}$$
   $a$ człon wnosi 2 , Zauważ, że przy odpowiednich silniejszych założeniach symetrycznych dotyczących i v $\ textstyle v (z)}$ wynika to również z u $\ textstyle u (z)}$
   $${\ Displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} \ lewo (u (1/V) \ prawej) = \ nazwa operatora { Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$
   gdzie ${\ textstyle U (z)}$ jest lokalną odwrotnością ${\ textstyle u (z)}$ przy 0.

Zobacz też

• Twierdzenie o resztach wiąże całkę konturową wokół niektórych biegunów funkcji z sumą ich reszt
• Wzór całkowy Cauchy'ego
• Całkowe twierdzenie Cauchy'ego
• Twierdzenie Mittaga-Lefflera
• Metody integracji konturów
• Twierdzenie Morery
• Ułamki cząstkowe w analizie zespolonej

• Ahlfors, Lars (1979). Analiza złożona . Wzgórze McGrawa.
•   Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Podstawowa analiza złożona (wyd. 3). WH Freemana. ISBN 978-0-7167-2877-1 .

Linki zewnętrzne

• „Reszta z funkcji analitycznej” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Złożona pozostałość” . MathWorld .