Reszta w nieskończoności

W analizie złożonej , gałęzi matematyki, reszta w nieskończoności jest resztą funkcji holomorficznej na pierścieniu o nieskończonym promieniu zewnętrznym. Nieskończoność to punkt dodany do przestrzeni lokalnej w celu uczynienia jej $zwartą$ w tym $.$ jest to zwartość jednopunktowa ) Przestrzeń ta oznaczona ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}}}$ jest izomorficzny ze sferą Riemanna . Reszty w nieskończoności można użyć do obliczenia niektórych całek .

Definicja

Biorąc pod uwagę funkcję holomorficzną f na pierścieniu $, R , ∞ ) {\ Displaystyle A (0,$$}$ wewnętrznym i nieskończonym promieniem zewnętrznym), pozostałość ( w nieskończoności funkcji f można zdefiniować w kategoriach zwykłej reszty w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = - \ operatorname {Res} \ lewo ({1 \ ponad z^{2}}f\lewo({1 \ponad z}\prawo),0\prawo)}$

$W$$_$ badanie w _

Zauważ, że mamy ${\ displaystyle \ forall r> R}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = {- 1 \ ponad 2 \ pi ja} \int _{C(0,r)}f(z)\,dz}$

Motywacja

Można by najpierw zgadnąć, że definicja reszty f(z) w nieskończoności powinna być po prostu resztą f(1/z) w z=0 . Jednak powodem, dla którego rozważamy zamiast tego -f(1/z)/z ² jest to, że nie bierze się reszt funkcji , ale form różniczkowych , tj. reszta f(z)dz w nieskończoności jest resztą f( 1/z)d(1/z)=-f(1/z)dz/z ² w z=0 .

Zobacz też

• sfera Riemanna
• Różnorodność algebraiczna
• Twierdzenie o resztach

•   Murray R. Spiegel, Zmienne kompleksy , Schaum, ISBN 2-7042-0020-3
• Henri Cartan , Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs zmienne kompleksy , Hermann, 1961
•   Mark J. Ablowitz i Athanassios S. Fokas, Zmienne zespolone: ​​wprowadzenie i zastosowania (wydanie drugie), 2003, ISBN 978-0-521-53429-1 , P211-212.