tożsamości Greena

W matematyce tożsamości Greena są zbiorem trzech tożsamości w rachunku wektorowym odnoszącym masę do granicy regionu, na którym działają operatory różniczkowe . Zostały nazwane na cześć matematyka George'a Greena , który odkrył twierdzenie Greena .

Pierwsza tożsamość Greena

Ta tożsamość jest wyprowadzana z twierdzenia o rozbieżności zastosowanego do pola wektorowego F = ψ ∇ φ przy użyciu rozszerzenia reguły iloczynu , że ∇ ⋅ ( ψ X ) = ∇ ψ ⋅ X + ψ ∇⋅ X : Niech φ i ψ będą skalarne funkcje zdefiniowane na pewnym obszarze U ⊂ R ^d i załóżmy, że φ jest dwa razy większe różniczkowalna w sposób ciągły , a ψ jest raz różniczkowalna w sposób ciągły. Stosując powyższą regułę iloczynu, ale pozwalając X = ∇ φ , całkować ∇⋅( ψ ∇ φ ) przez U . Następnie

$${\ Displaystyle \ int _ {U} \ lewo (\ psi \, \ Delta \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi \ prawej) \, dV = \ oint _ {\ częściowe U} \ psi \ lewo (\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\częściowe U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }$$

gdzie ∆ ≡ ∇ ² to operator Laplace'a , ∂ U to granica regionu U , n to skierowana na zewnątrz jednostka normalna do elementu powierzchniowego dS , a d S = n dS to zorientowany element powierzchniowy.

Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o dywergencji i zasadniczo jest ekwiwalentem całkowania przez części z ψ i gradientem φ zastępującym u i v .

Zauważ, że powyższa pierwsza tożsamość Greena jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnej tożsamości wyprowadzonej z twierdzenia o dywergencji przez podstawienie F = ψ Γ ,

$${\ Displaystyle \ int _ {U} \ lewo (\ psi \, \ nabla \ cdot \ mathbf {\ Gamma} + \ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ nabla \ psi \ po prawej) \, dV = \ oint _ { \partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma} \cdot d\mathbf {S} ~.}$$

Druga tożsamość Greena

Jeśli φ i ψ są dwa razy różniczkowalne w sposób ciągły na U ⊂ R ³ , a ε jest raz różniczkowalne w sposób ciągły, można wybrać F = ψε ∇ φ − φε ∇ ψ , aby otrzymać

$${\ Displaystyle \ int _ {U} \ lewo [\ psi \, \ nabla \ cdot \ lewo (\ varepsilon \, \ nabla \ varphi \ po prawej) - \ varphi \, \ nabla \ cdot \ lewo (\ varepsilon \, \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\częściowe U}\varepsilon \left(\psi {\częściowe \varphi \over \częściowe \mathbf {n}}-\varphi {\częściowe \psi \over \częściowy \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

Dla szczególnego przypadku ε = 1 na całym U ⊂ R ³ , to

$${\ Displaystyle \ int _ {U} \ lewo (\ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi - \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \ po prawej) \, dV = \ oint _ {\ częściowe U}\left(\psi {\częściowe \varphi \over \częściowe \mathbf {n}}-\varphi {\częściowe \psi \over \częściowe \mathbf {n}}\right)\,dS.}$$

W powyższym równaniu ∂ φ /∂ n jest pochodną kierunkową φ w kierunku skierowanej na zewnątrz normalnej powierzchni n elementu powierzchniowego dS ,

$${\ Displaystyle {\ częściowe \ varphi \ ponad \ częściowe \ mathbf {n}} = \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} = \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ varphi.}$$

Wyraźne włączenie tej definicji do drugiej tożsamości Greena z ε = 1 skutkuje

$${\ Displaystyle \ int _ {U} \ lewo (\ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi - \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \ po prawej) \, dV = \ oint _ {\ częściowe U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .}$$

W szczególności pokazuje to, że Laplacian jest operatorem samosprzężonym w iloczynie wewnętrznym L2 ^. dla funkcji znikających na granicy, tak że prawa strona powyższej tożsamości wynosi zero

Trzecia tożsamość Greena

Trzecia tożsamość Greena wywodzi się z drugiej tożsamości, wybierając φ = G , gdzie przyjmuje się , że funkcja Greena G jest fundamentalnym rozwiązaniem operatora Laplace'a , ∆. To znaczy że:

$${\ Displaystyle \ Delta G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = \ delta (\ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}}) ~.}$$

Na przykład w R ³ rozwiązanie ma postać

$${\ Displaystyle G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = {\ Frac {-1} {4 \ pi \|\ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}} \ | }}~.}$$

Trzecia tożsamość Greena stwierdza, że ​​jeśli ψ jest funkcją, która jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na U , to

$${\ Displaystyle \ int _ {U} \ lewo [G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \ \ Delta \ psi (\ mathbf {y}) \ prawo] \, dV_ {\ mathbf {y}}-\psi ({\boldsymbol {\eta}})=\oint _{\częściowe U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta}}){\częściowe \psi \over \częściowy \mathbf {n}}(\mathbf {y})-\psi (\mathbf {y}){\częściowy G(\mathbf {y},{\boldsymbol {\eta}}) \ nad \częściowym \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

Uproszczenie powstaje, gdy ψ samo w sobie jest funkcją harmoniczną , tj. rozwiązaniem równania Laplace'a . Wtedy ∇ ² ψ = 0 i tożsamość upraszcza się do

$${\ Displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ oint _ {\ częściowe U} \ lewo [\ psi (\ mathbf {y}) {\ Frac {\ częściowe G (\ mathbf {y}, {\boldsymbol {\eta}}}}{\częściowe \mathbf {n}}}-G(\mathbf {y},{\boldsymbol {\eta}}){\frac {\częściowe \psi}}{\częściowe \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y}}.}$$

Drugi człon w powyższej całce można wyeliminować, jeśli G zostanie wybrane jako funkcja Greena , która znika na granicy U ( warunek brzegowy Dirichleta ),

$${\ Displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ oint _ {\ częściowe U} \ psi (\ mathbf {y}) {\ Frac {\ częściowe G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\eta}}}}{\częściowo \mathbf {n}}}\,dS_{\mathbf {y}}~.}$$

Ta forma jest używana do konstruowania rozwiązań problemów z warunkami brzegowymi Dirichleta. Rozwiązania warunków brzegowych Neumanna można również uprościć, chociaż twierdzenie o rozbieżności zastosowane do równania różniczkowego definiującego funkcje Greena pokazuje, że funkcja Greena nie może całkować do zera na granicy, a zatem nie może zniknąć na granicy. Zobacz funkcje Greena dla Laplace'a lub szczegółowy argument z alternatywą.

Można dalej zweryfikować, że powyższa tożsamość ma również zastosowanie, gdy ψ jest rozwiązaniem równania Helmholtza lub równania falowego , a G jest odpowiednią funkcją Greena. W takim kontekście ta tożsamość jest matematycznym wyrazem zasady Huygensa i prowadzi do wzoru dyfrakcji Kirchhoffa i innych przybliżeń.

Na rozmaitościach

Tożsamości Greena opierają się na rozmaitości Riemanna. W tym ustawieniu pierwsze dwa są

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {M} u \, \ Delta v \, dV + \ int _ {M} \ langle \ nabla u, \ nabla v \ rangle \, dV & = \int _{\częściowe M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta vv\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\częściowe M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{wyrównane}}}$$

gdzie u i v są gładkimi $, jest formą objętości indukowanej$ o wartościach rzeczywistych na M , dV jest formą objętości zgodną metryką granicy M , N jest skierowanym na zewnątrz polem wektora jednostkowego, normalnym do granicy, a Δ u = div(grad u ) jest Laplacianem.

Tożsamość wektora Greena

Druga tożsamość Greena ustanawia związek między pochodnymi drugiego i (rozbieżności) pierwszego rzędu dwóch funkcji skalarnych. W formie różniczkowej

$${\ Displaystyle p_ {m} \, \ Delta q_ {m} -q_ {m} \, \Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),}$$

gdzie p _m i q _m są dwoma dowolnymi polami skalarnymi dwukrotnie różniczkowalnymi w sposób ciągły. Ta tożsamość ma ogromne znaczenie w fizyce, ponieważ można w ten sposób ustalić równania ciągłości dla pól skalarnych, takich jak masa lub energia.

W teorii dyfrakcji wektorowej wprowadza się dwie wersje drugiej tożsamości Greena.

Jeden wariant odwołuje się do rozbieżności iloczynu krzyżowego i określa zależność pod względem zwijania się pola

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ lewo (\ nabla \ razy \ nabla \ razy \ mathbf {Q} \ prawej) - \ mathbf {Q} \ cdot \ lewo (\ nabla \ razy \ nabla \ razy \ mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \ razy \mathbf {Q} \right)\right).}$$

To równanie można zapisać w kategoriach Laplacian,

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} + \ mathbf {Q} \ cdot \ lewo [\ nabla \ lewo (\ nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \ left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right) .}$$

Jednak warunki

$${\ Displaystyle \ mathbf {Q} \ cdot \ lewo [\ nabla \ lewo (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ prawo)\prawo]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}$$

nie można było łatwo zapisać w kategoriach rozbieżności.

Drugie podejście wprowadza bi-wektory, to sformułowanie wymaga diadycznej funkcji Greena. Przedstawione tutaj wyprowadzenie pozwala uniknąć tych problemów.

Rozważmy, że pola skalarne w drugiej tożsamości Greena są kartezjańskimi składowymi pól wektorowych, tj.

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ suma _ {m} p_ {m} {\ kapelusz {\ mathbf {e}}} _ {m}, \ qquad \ mathbf {Q} = \ suma _ {m} q_ {m} {\ kapelusz {\ mathbf {e}}}_ {m}.}$$

Podsumowując równanie dla każdego składnika, otrzymujemy

$${\ Displaystyle \ suma _ {m} \ lewo [p_ {m} \ Delta q_ {m} -q_ {m} \ Delta p_ {m} \ prawej] = \ suma _ {m} \ nabla \ cdot \ lewo ( p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

LHS zgodnie z definicją iloczynu skalarnego można zapisać w postaci wektorowej jako

$${\ Displaystyle \ suma _ {m} \ lewo [p_ {m} \, \ Delta q_ {m} -q_ {m} \, \ Delta p_ {m} \ prawej] = \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}$$

RHS jest nieco bardziej niewygodne do wyrażenia za pomocą operatorów wektorowych. Ze względu na rozdzielność operatora rozbieżności po dodawaniu suma rozbieżności jest równa rozbieżności sumy, tj.

$${\ Displaystyle \ suma _ {m} \ nabla \ cdot \ lewo (p_ {m} \ nabla q_ {m} -q_ {m} \ nabla p_ {m} \ prawej) = \ nabla \ cdot \ lewo (\ suma _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\suma _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

Przypomnij sobie tożsamość wektora dla gradientu iloczynu skalarnego,

$${\ Displaystyle \ nabla \ lewo (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} \ prawej) = \ lewo (\ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ prawej) \ mathbf {Q} + \ lewo (\ mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\ nabla \times \mathbf {P} \right),}$$

który, wypisany w składowych wektorowych, jest dany przez

$${\ Displaystyle \ nabla \ lewo (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} \ prawej) = \ nabla \ suma _ {m} p_ {m} q_ {m} = \ suma _ {m} p_ {m }\nabla q_{m}+\suma _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}$$

Wynik ten jest podobny do tego, co chcemy wykazać w terminach wektorowych „z wyjątkiem” znaku minus. Ponieważ operatory różniczkowe w każdym wyrazie działają albo na jednym wektorze (powiedzmy $s$$drugim$ ( ), wkład w każdy termin musi być

$${\ Displaystyle \ suma _ {m} p_ {m} \ nabla q_ {m} = \ lewo (\ mathbf {P } \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {m} q_ {m} \ nabla p_ {m} = \ lewo (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ po prawej) \ mathbf {P} + \ mathbf {Q} \ razy \ lewo (\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Poprawność tych wyników można dokładnie udowodnić poprzez ocenę składowych wektora . Dlatego RHS można zapisać w postaci wektorowej jako

$${\ Displaystyle \ suma _ {m} p_ {m} \ nabla q_ {m} - \ suma _ {m} q_ {m} \ nabla p_ {m} = \ lewo (\ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ prawo)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P } -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Łącząc te dwa wyniki, otrzymujemy wynik analogiczny do twierdzenia Greena dla pól skalarnych, Twierdzenie dla pól wektorowych:

$${\ Displaystyle \ color {OliveGreen} \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} = \ lewo [\ lewo (\ mathbf {P} \ cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right) \mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Zwinięcie iloczynu krzyżowego można zapisać jako

$${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ lewo (\ mathbf {P} \ razy \ mathbf {Q} \ prawej) = \ lewo (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ prawej) \ mathbf {P} - \ lewo ( \mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \ cdot \mathbf {P} \right);}$$

Tożsamość wektora Greena można następnie przepisać jako

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} = \ nabla \ cdot \ lewo [\ mathbf {P} \ lewo (\ nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q } \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right) \Prawidłowy].}$$

Ponieważ rozbieżność zawinięcia wynosi zero, trzeci wyraz znika, dając tożsamość wektora Greena :

$${\ Displaystyle \ color {OliveGreen} \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} = \ nabla \ cdot \ lewo [\ mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \ razy \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Za pomocą podobnej procedury laplacian iloczynu skalarnego można wyrazić za pomocą laplacianów czynników

$${\ Displaystyle \ Delta \ lewo (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} \ prawej) = \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \ Prawidłowy].}$$

W rezultacie niezręczne terminy można teraz zapisać w kategoriach rozbieżności w porównaniu z wektorowym równaniem Greena,

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ lewo [\ nabla \ lewo (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ prawo) \ prawo] - \ mathbf {Q} \ cdot \ lewo [\ nabla \ lewo (\ nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left (\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}$$

Wynik ten można zweryfikować, rozszerzając rozbieżność wektora skalarnego na RHS.

Zobacz też

• Funkcja Greena
• Twierdzenie całkowe Kirchhoffa
• Tożsamość Lagrange'a (problem z wartościami granicznymi)

Linki zewnętrzne

• „Zielone formuły” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• [1] Tożsamości Greena w Wolfram MathWorld