Całkowanie przez formuły redukcyjne

W rachunku całkowym całkowanie przez formuły redukcyjne jest metodą opartą na relacjach rekurencyjnych . Jest używany, gdy wyrażenie zawierające parametr całkowity , zwykle w postaci potęg funkcji elementarnych lub iloczynów funkcji przestępnych i wielomianów dowolnego stopnia , nie może być całkowane bezpośrednio. Ale przy użyciu innych metod integracji wzór redukcji można ustawić w celu uzyskania całki tego samego lub podobnego wyrażenia z niższym parametrem liczby całkowitej, stopniowo upraszczając całkę, aż będzie można ją obliczyć. Ta metoda integracji jest jedną z najwcześniej stosowanych.

Jak znaleźć formułę redukcji

Wzór redukcji można wyprowadzić za pomocą dowolnej z powszechnych metod całkowania, takich jak całkowanie przez podstawienie , całkowanie przez części , całkowanie przez podstawienie trygonometryczne , całkowanie przez ułamki częściowe itp. Główną ideą jest wyrażenie całki obejmującej parametr całkowity (np. potęga) funkcji, reprezentowanej przez I _n , w postaci całki, która obejmuje niższą wartość parametru (niższa potęga) tej funkcji, na przykład I _{n -1} lub I _{n -2} . To sprawia, że ​​formuła redukcyjna jest rodzajem relacji rekurencyjnej . Innymi słowy, wzór na redukcję wyraża całkę

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int f (x, n) \, {\ tekst {d}} x,}$

pod względem

${\ Displaystyle I_ {k} = \ int f (x, k) \, {\ tekst {d}} x,}$

Gdzie

${\ displaystyle k <n.}$

Jak obliczyć całkę

Aby obliczyć całkę, ustawiamy n na jej wartość i używamy wzoru na redukcję, aby wyrazić ją za pomocą całki ( n – 1) lub ( n – 2). Całkę z dolnego indeksu można wykorzystać do obliczenia całki z wyższym indeksem; proces jest powtarzany wielokrotnie, aż dojdziemy do punktu, w którym można obliczyć funkcję do całkowania, zwykle gdy jej indeks wynosi 0 lub 1. Następnie podstawiamy poprzednie wyniki, aż obliczymy I _n .

Przykłady

Poniżej przykłady postępowania.

Całka cosinusowa

Zazwyczaj całki takie jak

${\ Displaystyle \ int \ sałata ^ {n} x \ {\ tekst {d}} x, \, \!}$

można oszacować za pomocą wzoru redukcyjnego.

${\ Displaystyle \ int \ sałata ^ {n} (x) \ {\ tekst {d}} x \!}$ dla n = 1, 2 ... 30

Zacznij od ustawienia:

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n} x \, {\ tekst {d}} x. \, \!}$

Teraz napisz ponownie jako:

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int \ sałata ^ {n-1} x \ sałata x \, {\ tekst {d}} x, \ ,\!}$

Całkowanie przez to podstawienie:

${\ Displaystyle \ cos x \ {\ tekst {d}} x = {\ tekst {d}} (\ grzech x), \, \!}$

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n-1} x \, {\ tekst {d}} (\ sin x). \!}$

Teraz całkowanie przez części:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int \ cos ^ {n} x \, {\ tekst {d}} x & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x- \ int \ sin x \, { \text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2 }x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^ {2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\ cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\ ,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+ (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{wyrównane}}\,}$

rozwiązanie dla I _n :

${\ Displaystyle I_ {n} \ + (n-1) ja_ {n} \ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,}$

${\ Displaystyle nI_ {n} \ = \ sałata ^ {n-1} (x) \ grzech x \ + (n-1) ja_ {n-2}, \, }$

${\ Displaystyle I_ {n} \ = {\ Frac {1} {n}} \ sałata ^ {n- 1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,}$

więc wzór na redukcję to:

${\ Displaystyle \ int \ cos ^ {n} x \, {\ tekst {d}} x \ = {\ Frac {1} {n}} \ cos ^ {n-1} x \ sin x + {\ frac { n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!}$

Aby uzupełnić przykład, powyższe można wykorzystać do obliczenia całki dla (powiedzmy) n = 5;

${\ Displaystyle I_ {5} = \ int \ cos ^ {5} x \, {\ tekst {d}} x. \, \!}$

Obliczanie dolnych wskaźników:

${\ Displaystyle n = 5 \ quad I_ {5} = {\ tfrac {1} {5}} \ sałata ^ { 4} x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,}$

${\ Displaystyle n = 3, \ quad I_ {3} = {\ tfrac {1}{3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ tfrac {2}{3}} I_ {1}, \ ,}$

podstawienie wsteczne:

${\ Displaystyle \ ponieważ I_ {1} \ = \ int \ cos x \ {\ tekst {d}} x = \ sin x + C_ {1},\,}$

$\ Displaystyle \ dlatego I_ {3} \ = {\ tfrac {1} {3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ tfrac {2} {3}} \ sin x + C_ { 2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,}$

${\ Displaystyle I_ {5} \ = {\ Frac {1}{5}} \ cos ^ {4} x \ sin x + {\ Frac {4} {5}} \ lewo [{\ Frac {1} {3} }}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,}$

gdzie C jest stałą.

Całka wykładnicza

Innym typowym przykładem jest:

${\ Displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x. \, \!}$

Zacznij od ustawienia:

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x. \, \!}$

Całkowanie przez podstawienie:

${\ Displaystyle x ^ {n} \, {\ tekst {d}} x = {\ Frac {{\ tekst {d}} (x ^ { n + 1}) {n + 1}}, \, \!}$

${1 }{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!}$

Teraz całkowanie przez części:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int e ^ {ax} \ {\ tekst {d}} (x ^ {n + 1}) & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} - \ int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1 }e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{wyrównane}}\!}$

${\ styl wyświetlania (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!}$

cofnięcie indeksów o 1 (więc n + 1 → n , n → n – 1):

$\ Displaystyle nI_ {n-1} = x ^ {n} e ^ {ax} -aI_ {n}, \!}$

rozwiązanie dla I _n :

$\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {1} {a}} \ lewo (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_{n-1}\prawo),\,\!}$

więc wzór na redukcję to:

${\ Displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x = {\ Frac {1} {a}} \ lewo (x ^ {n} e ^ {ax} - n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

Alternatywny sposób, w jaki można przeprowadzić wyprowadzenie, rozpoczyna się od podstawienia mi $displaystyle e ^ {ax}}$ .

Całkowanie przez podstawienie:

$\ Displaystyle e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x = {\ Frac {{\ tekst {d}} (e ^ {ax} )}{A}},\,\!}$

${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {1} {a}} \ int x ^ {n} \, {\ tekst {d}} ( e^{ax}),\!}$

Teraz całkowanie przez części:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int x ^ {n} \, {\ tekst {d}} (e ^ {ax}) & = x ^ {n} e ^ {ax} - \ int e ^ { ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\, {\text{d}}x,\end{wyrównane}}\!}$

co daje wzór na redukcję przy podstawieniu z powrotem:

$\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {1} {a}} \ lewo (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_{n-1}\prawo),\,\!}$

co jest równoważne z:

${\ Displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x = {\ Frac {1} {a}} \ lewo (x ^ {n} e ^ {ax} - n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

Inny alternatywny sposób, w jaki można przeprowadzić wyprowadzenie, całkując przez części:

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} xe ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x, \!}$

${\ Displaystyle u = x ^ {n} {\ tekst {}} \ dv = e ^ {ax},}$

${\ Displaystyle {\ Frac {du} {dx}} \ = nx ^ {n-1} {\ tekst {}} \ v = {\ Frac {e ^ {ax}}} {a}} \ }$

$a}}\ {\text{d}}x\ } ja$

$a}} \ - \ int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}$

${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} \ - {\ Frac {n} {a}} \ \ int x ^ {n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }$

Pamiętać:

$\ Displaystyle I_ {n-1} = \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \ {\ tekst {d}} x \}$

$\ Displaystyle \ dlatego \ ja_ {n} = {\ Frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} \ - { \frac {n}{a}}\ I_{n-1}}$

co daje wzór na redukcję przy podstawieniu z powrotem:

$\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {1} {a}} \ lewo (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_{n-1}\prawo),\,\!}$

co jest równoważne z:

${\ Displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x = {\ Frac {1} {a}} \ lewo (x ^ {n} e ^ {ax} - n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

Tabele całkowych wzorów redukcyjnych

Funkcje wymierne

Następujące całki zawierają:

• Czynniki liniowego rodnika ${\ Displaystyle {\ sqrt {ax + b}} \, \!}$
• ${\ Displaystyle {px + q} \, \!} i$ liniowy pierwiastek ${\ Displaystyle {\ sqrt {ax + b}} \, \!}$
• Czynniki kwadratowe ${\ Displaystyle x ^ {2} + a ^ {2} \, \!}$
• Czynniki kwadratowe ${\ Displaystyle x ^ {2} -a ^ {2} \, \!}$ , dla ${\ Displaystyle x> a \, \!$
• Czynniki kwadratowe ${\ Displaystyle x <a \, \!}$$\ Displaystyle a ^ {2} -x ^ {2} \, \!}$ , dla
• ( Nieredukowalne ) czynniki kwadratowe ${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c \, \!}$
• Rodniki nieredukowalnych czynników kwadratowych $do {\ Displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \, \!$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {x ^ {n}}} {\ sqrt {ax + b}}} \, {\ tekst {d} }X\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {2x ^ {n} \sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}} }}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = - {\ Frac { \sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1} \,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}} \, {\ tekst {d}} x \, \! }$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {2x ^ { n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\ ,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {(ax +b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ Frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} \ lewo [{\ Frac {1} {(ax + b )^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{( m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+ n-2)I_{m-1,n}\right]\end{przypadki}}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {(ax + b) ^ {m}}} {( px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ Frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} \ lewo [{\ Frac {(ax + b) ^ { m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(nm-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(nm- 1)p}}\lewo[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n }\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1 }}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{przypadki}}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {(px + q) ^ {n}} {\ sqrt {ax + b}} }\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle \ int (px + q) ^ {n} {\ sqrt {ax + b}} \ {\ tekst {d}} x = {\ Frac {2 (px + q) ^ {n + 1} {\sqrt {ax+b}}}{p(2n+3)}}+{\frac {bp-aq}{p(2n+3)}}I_{n}\,\!}$ ${\ Displaystyle I_ {n} ={\frac {2(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}+{\frac {2n(aq-bp)}{a(2n +1)}}I_{n-1}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {(px + q) ^ {n} {\sqrt {ax+b}}}}\,\!}$	${\ Displaystyle \ int {\ Frac {\ sqrt {ax + b}} {(px + q) ^ {n}}} \, {\ tekst {d}} x = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!}$ ${\ Displaystyle I_ {n} = - {\ Frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) (aq-bp) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac {a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}}I_{n-1}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {(x ^ {2} + a ^ {2} )^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2} (n-1)}}I_{n-1}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {x ^ {m} ( x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle a ^ {2} ja_ {n, m} = ja_ {m, n-1} -I_ {m-2, N}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ Frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} + a ^ {2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n, m} = ja_ {m-2, n-1} -a ^ {2} ja_ { m-2,n}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {(x ^ {2} -a ^ {2} )^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = - { \frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{ 2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {x ^ {m} ( x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle {a ^ {2}} ja_ {n, m} = ja_ {m-2, n} -ja_ {m, n-1}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ Frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} -a ^ {2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n, m} = ja_ {m-2, n-1} + a ^ {2} ja_ { m-2,n}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {(a ^ {2} -x ^ {2} )^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2} (n-1)}}I_{n-1}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {x ^ {m} ( a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle {a ^ {2}} ja_ {n, m} = ja_ {m, n-1} + ja_ {m- 2,n}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ Frac {x ^ {m}} {(a ^ {2} -x ^ {2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n, m} = a ^ {2} ja_ {m-2, n} -I_ {m- 2,n-1}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {{x ^ {n}} ( topór^{2}+bx+c)}}\,\!}$	${\ Displaystyle -cI_ {n} = {\ Frac {1} {x ^ {n-1} (n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {x ^ {m} \, {\ tekst {d} }x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = - {\ Frac {x ^ {m-1}} {a (2n -m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(nm)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1 ,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {x ^ { m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!}$	${\ Displaystyle -c (m-1) ja_ {m, n} = {\ Frac {1} {x ^ {m-1} (ax ^ {2} + bx + c) ^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\! }$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n} \, {\ tekst {d} }X\,\!}$	${\ Displaystyle 8a (n + 1) ja _ {n + {\ Frac {1} {2}}} = 2 (2ax + b) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n + {\ Frac { 1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n} }}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle (2n-1) (4ac-b ^ {2}) ja _ {n + {\ Frac {1} {2}}} = {\ Frac {2 (2ax + b)} {(ax ^ { 2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\, \!}$

zauważ, że zgodnie z prawami indeksów :

${\ Displaystyle I_ {n + {\ Frac {1}{2}}} = I _ {\ Frac {2n + 1} {2}} = \ int {\ Frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c )^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!}$

Funkcje transcendentalne

Główny artykuł: funkcja transcendentalna

Następujące całki zawierają:

• Czynniki sinusoidalne
• Współczynniki cosinusa
• Czynniki iloczynów sinus i cosinus oraz ilorazy
• Iloczyny/ilorazy czynników wykładniczych i potęg x
• Iloczyny czynników wykładniczych i sinus/cosinus

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} \ sin {ax} \, {\ tekst {d}} x \, \!}$	${\ Displaystyle a ^ {2} ja_ {n} = -ax ^ {n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!}$
${\ Displaystyle J_ {n} = \ int x ^ {n} \ sałata {ax} \, {\ tekst {d}} x \, \!}$	${\ Displaystyle a ^ {2} J_ {n} = topór ^ {n }\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {\ sin {ax}} {x ^ {n}}} \, {\ tekst {d}} x \,\!}$ ${\ Displaystyle J_ {n} = \ int {\ Frac {\ cos {ax}} {x ^ {n}}} \, {\ tekst {d}} x \,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = - {\ Frac {\ sin {ax}} {(n-1 )x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!}$ ${\ Displaystyle J_ {n} = - {\ Frac {\ cos {ax}} {(n-1 )x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!}$ wzory można łączyć w celu uzyskania oddzielnych równań w I n : ${\ Displaystyle J_ {n-1} = - {\ Frac {\ cos {ax}}} (n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!}$ ${\ Displaystyle I_ {n} = - {\ Frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ Frac {a} {n-1}} \ lewo [ {\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\ !}$ ${\ Displaystyle \ dlatego ja_ {n} = - {\ Frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ Frac {a} {(n-1) ( n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!}$ i Jn _ : ${\ Displaystyle I_ {n-1} = - {\ Frac {\ sin {ax}}} (n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!}$ ${\ Displaystyle J_ {n} = - {\ Frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ Frac {a} {n-1}} \ lewo [ -{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\, \!}$ ${\ Displaystyle \ dlatego J_ {n} = - {\ Frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ Frac {a} {(n-1) ( n-2)}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int \ sin ^ {n} {ax} \, {\ tekst {d}} x \, \!}$	${\ Displaystyle anI_ {n} = - \ sin ^ {n-1} {ax} \ sałata {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!}$
${\ Displaystyle J_ {n} = \ int \ sałata ^ {n} {ax} \, {\ tekst {d}} x \, \!}$	${\ Displaystyle anJ_ {n} = \ sin {ax} \ sałata ^ {n-1} {ax }+a(n-1)J_{n-2}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {\ sin ^ {n} ax}}} \, \! }$	${\ Displaystyle (n-1) ja_ {n} = - {\ Frac {\ cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!}$
${\ Displaystyle J_ {n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {\ sałata ^ {n} {ax}}} \, \! }$	${\ Displaystyle (n-1) J_ {n} = {\ Frac {\ sin { topór}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int \ sin ^ {m} {ax} \ cos ^ {n} {ax} \, {\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ Frac {\ sin ^ {m-1} topór}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\ frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_ {m,n-2}\\\koniec {przypadków}}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {{\ tekst {d}} x} {\ sin ^ {m} {ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {a (n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m, n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m +n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\koniec{przypadków}}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {\ sin ^ {m} {ax}} {\ cos ^ {n }{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {\ sin ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) \ cos ^ {n-1 }{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{ a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(mn)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{mn}}I_{m-2, n}\\\end{przypadki}}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ Frac {\ sałata ^ {m} {ax}} {\ sin ^ {n }{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {m, n} = {\ rozpocząć {przypadki} - {\ Frac {\ cos ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) \ sin ^ {n -1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax }}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{ \frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(mn)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{mn}}I_{m- 2,n}\\\koniec {przypadków}}\,\!}$

Całka	Formuła redukcji
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x \, \!}$ ${\ Displaystyle n> 0 \, \!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} - {\ Frac {n$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {- n} e ^ {ax} \, {\ tekst {d}} x \, \!}$ ${\ Displaystyle n> 0 \, \!}$ ${\ Displaystyle n \ neq 1 \, \!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {-e ^ {ax}} {(n-1) x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!}$
$\ Displaystyle I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ sin ^ {n} {bx} \ {\ tekst {d}} x \, \!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {e ^ {ax} \ sin ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ lewo (a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n- 2}\,\!}$
${\ Displaystyle I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ sałata ^ {n} {bx} \ {\ tekst {d}} x \, \!}$	${\ Displaystyle I_ {n} = {\ Frac {e ^ {ax} \ cos ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ lewo (a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n- 2}\,\!}$

Bibliografia

• Anton, Bivens, Davis, rachunek różniczkowy, wydanie 7.