Słowniczek rachunku różniczkowego

Większość terminów wymienionych w glosariuszach Wikipedii jest już zdefiniowana i wyjaśniona w samej Wikipedii. Jednak glosariusze takie jak ten są przydatne do wyszukiwania, porównywania i przeglądania dużej liczby terminów razem. Możesz pomóc ulepszyć tę stronę, dodając nowe terminy lub pisząc definicje istniejących.

Ten glosariusz rachunku różniczkowego to lista definicji dotyczących rachunku różniczkowego , jego poddyscyplin i dziedzin pokrewnych.

A

Test Abela

Metoda badania zbieżności szeregu nieskończonego .

zbieżność absolutna Mówimy, że

nieskończony szereg liczb jest zbieżny bezwzględnie (lub jest zbieżny bezwzględnie ), jeśli suma wartości bezwzględnych sum jest skończona. Mówiąc dokładniej, mówi się, $jest$ lub absolutnie jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lewo | a_ {n} \ prawo | = L} dla$ pewnej liczby rzeczywistej ${\ displaystyle \ textstyle L}$ . Podobnie, $jest$ , niewłaściwa funkcji jeśli całka wartości bezwzględnej całki jest skończona — to znaczy, jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lewo | f (x) \ prawo | dx = L.}$

absolutne maksimum

Najwyższa wartość, jaką osiąga funkcja.

absolutne minimum

Najniższa wartość, jaką osiąga funkcja.

wartość bezwzględna

  Wartość bezwzględna lub moduł | x | liczby rzeczywistej x jest nieujemną wartością x    bez względu na jego znak . Mianowicie, | x | = x dla dodatniego x , | x | = − x dla ujemnego x (w tym przypadku − x jest dodatnie) i |0| = 0 . Na przykład wartość bezwzględna 3 to 3, a wartość bezwzględna -3 to również 3. Wartość bezwzględną liczby można traktować jako jej odległość od zera.

szereg naprzemienny

Szereg nieskończony których warunki zmieniają się między dodatnimi i ujemnymi.

test szeregów przemiennych

Jest metodą używaną do udowodnienia, że ​​szereg przemienny , którego wyrazy maleją w wartości bezwzględnej, jest szeregiem zbieżnym . Test był używany przez Gottfrieda Leibniza i jest czasami nazywany testem Leibniza , regułą Leibniza lub kryterium Leibniza .

annulus

Obiekt w kształcie pierścienia, obszar ograniczony dwoma koncentrycznymi okręgami .

funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna , funkcja pierwotna , całka pierwotna lub całka nieoznaczona funkcji f jest funkcją różniczkowalną F , której pochodna jest równa funkcji pierwotnej f . Można to wyrazić symbolicznie jako ${\ displaystyle F'= f}$ . Proces rozwiązywania funkcji pierwotnych nazywa się antyróżnicowaniem (lub całkowaniem nieokreślonym ), a jej działanie przeciwne nazywa się różniczkowaniem, czyli procesem znajdowania pochodnej. pole

łuku

pod

asymptotą

krzywej W geometrii analitycznej asymptota krzywej jest linią taką, że odległość między krzywą a linią zbliża się do zera, gdy jedna lub obie współrzędne x lub y dążą do nieskończoności . Niektóre źródła zawierają wymóg, aby krzywa nie przecinała linii w nieskończoność, ale jest to niezwykłe dla współczesnych autorów. W geometrii rzutowej i pokrewnych kontekstach, asymptota krzywej to linia styczna do krzywej w punkcie w nieskończoności .

różniczkowanie automatyczne

W matematyce i algebrze komputerowej różniczkowanie automatyczne ( AD ) , zwane także różniczkowaniem algorytmicznym lub różniczkowaniem obliczeniowym , to zestaw technik numerycznej oceny pochodnej funkcji określonej przez program komputerowy. AD wykorzystuje fakt, że każdy program komputerowy, bez względu na to, jak bardzo jest skomplikowany, wykonuje sekwencję elementarnych działań arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie itp.) oraz elementarnych funkcji (exp, log, sin, cos itp.). Poprzez wielokrotne stosowanie reguły łańcuchowej do tych operacji, pochodne dowolnego rzędu mogą być obliczane automatycznie, dokładnie z roboczą precyzją i przy użyciu co najwyżej małego stałego współczynnika większej liczby operacji arytmetycznych niż w oryginalnym programie.

średnie tempo zmian

B

współczynnik dwumianowy

Każda dodatnia liczba całkowita występująca jako współczynnik w twierdzeniu o dwumianie jest współczynnikiem dwumianowym . Zwykle współczynnik dwumianowy jest indeksowany parą liczb całkowitych n ≥ k ≥ 0 i jest zapisywany $\ Displaystyle {\ tbinom {n} {k}}.}$ { Jest to współczynnik wyrażenia x ^k w wielomianowym rozwinięciu dwumianu potęga (1 + x ) ⁿ , i jest dana wzorem

$!}}.} Twierdzenie dwumianowe (lub rozwinięcie$

) rozwinięcie potęg dwumianu .

dwumianowe ) Opisuje algebraiczne

ograniczona

funkcja funkcja f zdefiniowany na jakimś zbiorze X z wartościami rzeczywistymi lub zespolonymi nazywamy ograniczonym , jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony . Innymi słowy, istnieje liczba rzeczywista M taka, że

${\ Displaystyle | f (x) | \ równoważnik M}$

dla wszystkich x w X . O funkcji, która nie jest ograniczona, mówimy, że jest nieograniczona . Czasami, jeśli f ( x ) ≤ A dla wszystkich x w X , to mówi się , że funkcja jest ograniczona z góry przez A . Z drugiej strony, jeśli f ( x ) ≥ B dla wszystkich x w X , to mówi się, że funkcja jest ograniczona od dołu przez B .

ciąg ograniczony

.

C

rachunek różniczkowy

(z łaciny rachunek różniczkowy , dosłownie „mały kamyk”, używany do liczenia i obliczeń, jak na liczydle ) jest matematycznym badaniem ciągłych zmian, w taki sam sposób, w jaki geometria jest badaniem kształtu, a algebra jest badaniem uogólnień operacje arytmetyczne .

Zasada Cavalieriego

Zasada Cavalieriego , współczesna implementacja metody niepodzielnych , nazwana na cześć Bonaventury Cavalieri , jest następująca:

• Przypadek dwuwymiarowy : Załóżmy, że dwa obszary na płaszczyźnie są zawarte między dwiema równoległymi liniami na tej płaszczyźnie. Jeśli każda prosta równoległa do tych dwóch prostych przecina oba regiony w odcinkach linii o równej długości, to oba regiony mają równe pola.
• Przypadek trójwymiarowy : Załóżmy, że dwa obszary w przestrzeni trójwymiarowej (bryły) znajdują się między dwiema równoległymi płaszczyznami. Jeśli każda płaszczyzna równoległa do tych dwóch płaszczyzn przecina oba obszary w przekrojach poprzecznych o równej powierzchni, to te dwa obszary mają równe objętości.

Reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa jest formułą służącą do obliczania pochodnej złożenia dwóch lub więcej funkcji . To znaczy, jeśli f i g są funkcjami, to reguła łańcuchowa wyraża pochodną ich złożenia f ∘ g (funkcja, która odwzorowuje x na f ( g ( x )) ) w postaci pochodnych f i g oraz iloczyn funkcji w następujący sposób:

${\ Displaystyle (f \ circ g) '= (f' \ circ g) \ cdot g'.}$

Można to równoważnie wyrazić za pomocą zmiennej. Niech F = f ∘ g , lub równoważnie F ( x ) = f ( g ( x )) dla wszystkich x . Wtedy też można napisać

${\ Displaystyle F' (x) = f' (g (x)) g' (x).}$

Regułę łańcuchową można zapisać w notacji Leibniza w następujący sposób. Jeśli zmienna z zależy od zmiennej y , która sama zależy od zmiennej x , to y i z są zatem zmiennymi zależnymi , to z , poprzez zmienną pośrednią y , również zależy od x . Reguła łańcuchowa stwierdza zatem,

${\ Displaystyle {\ Frac {dz} {dx}} = {\ Frac {dz} {dy}} \ cdot {\ Frac {dy} {dx}}.} Obie wersje reguły łańcuchowej są ze sobą powiązane$

; z ${\ Displaystyle z = f (y)$ i ${\ Displaystyle y = g (x)}$ , wtedy

${\ Displaystyle {\ Frac {dz} {dx}} = {\ Frac {dz} {dy}} \ cdot {\ Frac {dy} {dx}} = f '(y) g' (x) = f' (g(x))g'(x).}$

W integracji odpowiednikiem reguły łańcuchowej jest reguła podstawienia .

zamiana zmiennych

Jest podstawową techniką stosowaną do upraszczania problemów, w której pierwotne zmienne są zastępowane funkcjami innych zmiennych. Intencją jest, aby po wyrażeniu w nowych zmiennych problem mógł stać się prostszy lub równoważny z lepiej zrozumianym problemem.

kofunkcja

Funkcja f jest _ kofunkcja funkcji g jeśli f ( A ) = g ( B ) ilekroć A i B są kątami dopełniającymi się . Ta definicja zwykle dotyczy funkcji trygonometrycznych . Przedrostek „co-” można znaleźć już w Canon triangulorum Edmunda Guntera ( 1620).

funkcja wklęsła

Jest przeciwieństwem funkcji wypukłej . Funkcja wklęsła jest również synonimicznie nazywany wklęsły w dół , wklęsły w dół , wypukły w górę , wypukły wieczko lub górny wypukły .

stała całkowania

Całka nieoznaczona danej funkcji (tj. zbioru wszystkich funkcji pierwotnych funkcji) w połączonej dziedzinie jest definiowana tylko do stałej addytywnej, stałej całkowania . Ta stała wyraża niejednoznaczność właściwą konstrukcji funkcji pierwotnych. Jeśli funkcja $Displaystyle f (x)} ,$ w przedziale i jest funkcją pierwotną z $\$$Displaystyle f (x$ ) wtedy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych jest określony przez funkcje $x)}$$+ C}$$to$ gdzie C jest dowolną stałą (co oznacza, że wartość dla C sprawia, że ​​jest poprawna funkcja pierwotna) Stała całkowania jest czasami pomijana na listach całek dla uproszczenia.

funkcja ciągła

Jest funkcją dla którego wystarczająco małe zmiany na wejściu skutkują dowolnie małymi zmianami na wyjściu. W przeciwnym razie mówi się, że funkcja jest nieciągłą . Funkcja ciągła z ciągłą funkcją odwrotną nazywana jest homeomorfizmem .

różniczkowalna w sposób ciągły

Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w sposób ciągły , jeśli pochodna f ′ ( x ) istnieje i sama jest funkcją ciągłą.

całkowanie konturów

W dziedzinie matematyki analiza zespolona , ​​całkowanie konturów jest metodą oceny pewnych całek wzdłuż ścieżek w płaszczyźnie zespolonej.

testy zbieżności

to metody testowania zbieżności , zbieżności warunkowej , zbieżności bezwzględnej , przedziału zbieżności lub rozbieżności nieskończonego szeregu ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ { n}}$ .

szereg zbieżny

W matematycznych szereg jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu liczb . Biorąc pod uwagę nieskończoną sekwencję $\ Displaystyle \ lewo (a_ {1}, \ a_ {2}, \ a_ {3}, \ kropki \$ po prawej ) } suma jest sumą pierwszych n $wyrazów$ czyli

${\ Displaystyle S_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Szereg jest zbieżny , jeśli sekwencja jego sum częściowych ${ \displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$ dąży do granicy ; oznacza to, że sumy cząstkowe zbliżają się coraz bardziej do danej liczby, gdy liczba ich wyrazów wzrasta. $zbieżny$ , jeśli istnieje taka liczba, że ​​dla dowolnej dowolnie małej liczby dodatniej $\ varepsilon }$ wystarczająco duża) liczba całkowita taka ${\ displaystyle$ że dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ geq \ N}$ ,

${\ Displaystyle \ lewo | S_ {n} - \ ell \ prawo \ vert \ leq \ \ varepsilon.}$

Jeśli szereg jest zbieżny, liczba $)$ nazywana jest sumą szeregu . Każdy szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym .

funkcja wypukła

W matematyce funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana w n -wymiarowym przedziale nazywana jest wypukłą (lub wypukłą w dół lub wklęsłą w ​​górę ), jeśli odcinek linii między dowolnymi dwoma punktami na wykresie funkcji leży powyżej lub na wykresie, w przestrzeni euklidesowej (lub bardziej ogólnie w przestrzeni wektorowej ) o co najmniej dwóch wymiarach. Równoważnie funkcja jest wypukła, jeśli jej epigraf (zbiór punktów na wykresie funkcji lub nad nim) jest zbiorem wypukłym . Dla podwójnie różniczkowalnej funkcji pojedynczej zmiennej, jeśli druga pochodna jest zawsze większa lub równa zeru dla całej swojej dziedziny, to funkcja jest wypukła. Dobrze znane przykłady funkcji wypukłych obejmują funkcja kwadratowa $displaystyle e$ funkcja wykładnicza mi ${x}}$ .

Reguła Cramera

W algebrze liniowej reguła Cramera jest wyraźnym wzorem na rozwiązanie układu równań liniowych z tyloma równaniami, ile jest niewiadomych, obowiązującym zawsze, gdy układ ma unikalne rozwiązanie. Wyraża rozwiązanie w kategoriach wyznaczników (kwadratowej) macierzy współczynników oraz macierzy otrzymanych z niej przez zastąpienie jednej kolumny wektorem kolumnowym prawych stron równań. Jej nazwa pochodzi od Gabriela Cramera (1704–1752), który opublikował regułę dotyczącą dowolnej liczby niewiadomych w 1750 r., Chociaż Colin Maclaurin opublikował również specjalne przypadki reguły w 1748 r. (I prawdopodobnie wiedział o niej już w 1729 r.).

punkt krytyczny

Punktem krytycznym lub punktem stacjonarnym różniczkowalnej funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej jest dowolna jej wartość dziedzina , w której jej pochodna wynosi 0.

krzywa

Krzywa (zwana także w starszych tekstach linią krzywą ) jest, ogólnie rzecz biorąc , obiektem podobnym do linii, ale nie musi być prosta .

szkicowanie krzywej

W geometrii szkicowanie krzywej (lub śledzenie krzywej ) obejmuje techniki, które można wykorzystać do uzyskania przybliżonego obrazu ogólnego kształtu płaskiej krzywej biorąc pod uwagę jego równanie bez obliczania dużej liczby punktów wymaganych do szczegółowego wykresu. Jest to zastosowanie teorii krzywych do znalezienia ich głównych cech. Tutaj wejście jest równaniem. W geometrii cyfrowej jest to metoda rysowania krzywej piksel po pikselu. Tutaj dane wejściowe to tablica (obraz cyfrowy).

D

tłumiona fala sinusoidalna

Jest funkcją sinusoidalną , której amplituda zbliża się do zera wraz ze wzrostem czasu.

stopień wielomianu

Jest to najwyższy stopień jego jednomianów (poszczególnych wyrazów) o niezerowych współczynnikach. Stopień terminu jest sumą wykładników występujących w nim zmiennych , a zatem jest nieujemną liczbą całkowitą.

pochodna

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej mierzy wrażliwość na zmianę wartości funkcji (wartości wyjściowej) względem zmiany jej argumentu (wartości wejściowej). Pochodne są podstawowym narzędziem rachunku różniczkowego . Na przykład pochodną położenia poruszającego się obiektu względem czasu jest prędkość obiektu : mierzy ona, jak szybko zmienia się położenie obiektu wraz z upływem czasu.

test pochodny

Test pochodny wykorzystuje pochodne funkcji do zlokalizowania punktów krytycznych funkcji i określ, czy każdy punkt jest lokalnym maksimum , lokalnym minimum , czy też punktem siodłowym . Testy pochodne mogą również dostarczyć informacji o wklęsłości funkcji.

funkcja różniczkowalna

Funkcja różniczkowalna jednej zmiennej rzeczywistej to funkcja, której pochodna istnieje w każdym punkcie jej dziedziny . W rezultacie wykres funkcji różniczkowalnej musi mieć ( niepionową ) styczną w każdym punkcie swojej dziedziny, być stosunkowo gładka i nie może zawierać żadnych przerw, zagięć ani guzków .

różniczka (nieskończenie mała)

Termin różniczka jest używany w rachunku różniczkowym w odniesieniu do nieskończenie małej (nieskończenie małej) zmiany pewnej zmiennej wielkości . Na przykład, jeśli x jest zmienną , wówczas zmiana wartości x jest często oznaczana jako Δ x (wymawiane delta x ). Różnica dx reprezentuje nieskończenie małą zmianę zmiennej x . Pomysł nieskończenie małej lub nieskończenie powolnej zmiany jest niezwykle użyteczny intuicyjnie i istnieje wiele sposobów, aby uczynić to pojęcie matematycznie precyzyjnym. Korzystając z rachunku różniczkowego, możliwe jest matematyczne powiązanie nieskończenie małych zmian różnych zmiennych ze sobą za pomocą pochodnych . Jeśli y jest funkcją x , to różniczka dy od y jest powiązana z dx wzorem

$Displaystyle dy = {\ Frac {dy} {dx}} \, dx,}$

\ gdzie dy / dx oznacza pochodną y względem x . Ta formuła podsumowuje intuicyjną ideę, że pochodna y względem x jest granicą stosunku różnic Δ y / Δ x , gdy Δ x staje się nieskończenie małe.

rachunek różniczkowy

Jest poddziedziną rachunku różniczkowego zajmującą się badaniem tempa zmian ilości. Jest to jeden z dwóch tradycyjnych działów rachunku różniczkowego, drugim jest rachunek całkowy , badanie obszaru pod krzywą.

równanie różniczkowe

Jest równaniem matematycznym , które wiąże pewną funkcję z jej pochodnymi . W zastosowaniach funkcje zwykle reprezentują wielkości fizyczne, pochodne reprezentują tempo ich zmian, a równanie określa związek między nimi.

operator różniczkowy

.

różniczka funkcji

W rachunku różniczkowym różniczka reprezentuje główną część zmiany funkcji y = f ( x ) w odniesieniu do zmian zmiennej niezależnej. Dy różniczka jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle dy = f' (x) \, dx,}$

gdzie ${\ Displaystyle f'(x)}$ jest pochodną f względem x , a dx jest dodatkową zmienną rzeczywistą (tak, że dy jest funkcją x i dx ). Notacja jest taka

$,$

równanie reprezentowana Leibniza dy dx , co jest zgodne z uznaniem pochodnej za iloraz różnic. Pisze się też

${\ Displaystyle df (x) = f' (x) \, dx.}$

Dokładne znaczenie zmiennych dy i dx zależy od kontekstu aplikacji i wymaganego poziomu rygoru matematycznego. Dziedzina tych zmiennych może nabrać szczególnego znaczenia geometrycznego, jeśli różniczka jest uważana za konkretną postać różniczkowa lub istotność analityczna, jeśli różniczka jest traktowana jako liniowe przybliżenie przyrostu funkcji. Tradycyjnie zmienne dx i dy są uważane za bardzo małe ( nieskończenie małe ), a ta interpretacja jest rygorystyczna w analizie niestandardowej .

zasady różnicowania

.

test bezpośredniego porównania

Test zbieżności, w którym szereg nieskończony lub całka niewłaściwa jest porównywana z szeregiem o znanych właściwościach zbieżności.

próba Dirichleta

Jest metodą badania zbieżności szeregu . Został nazwany na cześć jego autora $.$ Gustava Lejeune Dirichleta pośmiertnie w Journal de Mathématiques Pures et Appliquées w 1862 roku Test stwierdza, że jest ciągiem liczb rzeczywistych i ciąg liczb zespolonych spełniających ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$

• ${\ Displaystyle a_ {n + 1} \ równoważnik a_ {n}}$

• ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ strzałka w prawo \ infty} a_ {n} = 0}$

• ${\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ prawo | \ równoważnik M}$ dla każdej dodatniej liczby całkowitej N

, gdzie M jest jakąś stałą, to szereg

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$

zbiega się.

całkowanie dysku

Znane również w rachunku całkowym jako metoda dysku , jest sposobem obliczania objętości bryły obrotowej materiału półprzewodnikowego podczas całkowania wzdłuż osi „równoległej” do osi obrotu .

szereg rozbieżny

Jest szeregiem nieskończonym , który nie jest zbieżny , co oznacza, że ​​nieskończona sekwencja sum częściowych szeregu nie ma skończonej granicy .

nieciągłość

Funkcje ciągłe mają ogromne znaczenie w matematyce , funkcjach i zastosowaniach. Jednak nie wszystkie funkcje są ciągłe. Jeśli funkcja nie jest ciągła w punkcie swojej dziedziny , to mówi się, że ma tam nieciągłość . Zbiór wszystkich punktów nieciągłości funkcji może być zbiorem dyskretnym , zbiorem gęstym , a nawet całą dziedzinę funkcji.

iloczyn skalarny

W matematyce iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny jest operacją algebraiczną , która pobiera dwie sekwencje liczb o równej długości (zwykle wektory współrzędnych ) i zwraca pojedynczą liczbę. W geometrii euklidesowej iloczyn skalarny współrzędnych kartezjańskich dwóch wektorów jest szeroko stosowany i często nazywany iloczynem wewnętrznym (lub rzadko iloczynem projekcji ) przestrzeni euklidesowej, chociaż nie jest to jedyny iloczyn wewnętrzny, który można zdefiniować w przestrzeni euklidesowej; patrz także wewnętrzna przestrzeń produktu .

całka podwójna

Całka wielokrotna jest całką oznaczoną funkcji f ( x , y więcej z ) niż jednej zmiennej rzeczywistej , na przykład f ( x , y ) lub , . Całki funkcji dwóch zmiennych na obszarze w R ² R3 ^nazywane są całkami podwójnymi , a całki funkcji trzech zmiennych w obszarze nazywane są całkami potrójnymi .

mi

e (stała matematyczna)

Liczba e to stała matematyczna będąca podstawą logarytmu naturalnego : unikalna liczba, której logarytm naturalny jest równy jeden. Jest w przybliżeniu równa 2,71828 i jest granicą ( 1 + 1/ n ) ⁿ przy n dążącym do nieskończoności , wyrażenie, które pojawia się w badaniu procentu składanego . Można go również obliczyć jako sumę nieskończonego szeregu

${\ Displaystyle e = \ Displaystyle \ suma \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n !}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

całka eliptyczna

W rachunku całkowym , całki eliptyczne pierwotnie powstał w związku z problemem podania długości łuku elipsy . Po raz pierwszy zbadali je Giulio Fagnano i Leonhard Euler ( ok. 1750 ). Współczesna matematyka definiuje „całkę eliptyczną” jako dowolną funkcję f , którą można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {c} ^ {x} R \ lewo (t, {\ sqrt {P (t)}} \ prawo) \, dt,} gdzie$

R jest funkcją wymierną z jego dwóch argumentów P jest wielomianem stopnia 3 lub 4 bez powtarzających się pierwiastków, a c jest stałą.

Nieciągłość zasadnicza

W przypadku nieciągłości zasadniczej tylko jedna z dwóch jednostronnych granic nie musi istnieć lub być nieskończona. Rozważmy funkcję

${\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadki} \ sin {\ Frac {5} {x-1}} i {\ mbox { dla }}x<1\\0&{\mbox{ dla }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ dla }}x>1\end{przypadków}} }$

$_$ punkt nieciągłością . _ W tym przypadku ${\ displaystyle \ scriptstyle L ^ {-}}$₀ nie istnieje i $nieskończony -$ w ten sposób dwa razy warunki istotnej nieciągłości. Zatem x jest nieciągłością istotną , nieciągłością nieskończoną , czyli nieciągłością drugiego rodzaju . (Różni się to od terminu istotna osobliwość , który jest często używany podczas badania funkcji zmiennych zespolonych .

Metoda Eulera

Metoda Eulera to numeryczna metoda rozwiązywania równań różniczkowych pierwszego stopnia z zadaną wartością początkową. Jest to najbardziej podstawowa jawna metoda numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych i najprostsza metoda Runge-Kutty . Nazwa metody Eulera pochodzi od nazwiska Leonharda Eulera , który opisał ją w swojej książce Institutionum calculi integralis (opublikowanej w latach 1768–1870).

funkcja wykładnicza

W matematyce funkcja wykładnicza jest funkcją formy

${\ Displaystyle f (x) = ab ^ {x},}$

gdzie b jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a argument x występuje jako wykładnik. Dla liczb rzeczywistych c i d funkcja postaci jest również funkcją ${\ Displaystyle f (x) = ab ^ {cx + d}}$ , ponieważ można ją przepisać Jak

${\ Displaystyle ab ^ {cx + d} = \ lewo (ab ^ {d} \ prawo) \ lewo (b ^ {c} \ prawo) ^ {x}.}$

Twierdzenie o wartościach ekstremalnych Stwierdza, że ​​jeśli

funkcja f o wartościach rzeczywistych jest ciągła w przedziale domkniętym [ a , b ], to f musi osiągnąć maksimum i minimum , każde co najmniej raz. Oznacza to, że istnieją liczby c i d w [ a , b ] takie, że:

${\ Displaystyle f (c) \ geq f (x) \ geq f (d) \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} x \ in [a, b].} Powiązanym twierdzeniem jest twierdzenie o ograniczeniu, które stwierdza$

, że ​​a funkcja ciągła f w przedziale domkniętym [ a , b ] jest ograniczona na tym przedziale. Oznacza to, że istnieją liczby rzeczywiste m i M takie, że:

${\ Displaystyle m <f (x) <M \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w [a, b].}$

Twierdzenie o wartości ekstremalnej wzbogaca twierdzenie o ograniczeniu, mówiąc, że funkcja jest nie tylko ograniczona, ale osiąga również swoją najniższą górną granicę jako maksimum i największą dolną granicę jako minimum.

ekstremum

W analizie matematycznej maksima i minima (odpowiednia liczba mnoga maksimum i minimum ) a funkcja , znana zbiorczo jako ekstrema (liczba mnoga od ekstremum ), to największa i najmniejsza wartość funkcji w danym zakresie ( ekstrema lokalne lub względne ) lub w całej dziedzinie funkcji ( ekstrema globalne lub absolutne ) . Pierre de Fermat był jednym z pierwszych matematyków, który zaproponował ogólną technikę znajdowania maksimów i minimów funkcji. Zgodnie z definicją w teorii mnogości , maksimum i minimum zbioru to odpowiednio największe i najmniejsze elementy zbioru. Nieograniczone zbiory nieskończone, takie jak zbiór liczb rzeczywistych , nie mają minimum ani maksimum.

F

Formuła Faà di Bruno

Jest tożsamością w matematyce uogólniającą regułę łańcuchową na wyższe pochodne, nazwaną na cześć Francesco Faà di Bruno ( 1855 , 1857 ), chociaż nie był on pierwszym, który stwierdził lub udowodnił ten wzór. W 1800 roku, ponad 50 lat przed Faà di Bruno, francuski matematyk Louis François Antoine Arbogast podał formułę w podręczniku do rachunku różniczkowego, uważanym za pierwszą opublikowaną wzmiankę na ten temat. Być może najbardziej znana forma formuły Faà di Bruno mówi,

${\ Displaystyle {d ^ {n} \ ponad dx ^ {n}} f (g (x)) = \ suma {\ Frac {n !}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\, n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n }\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},} gdzie$

suma obejmuje wszystkie n - krotki nieujemnych liczb całkowitych ( m ₁ , …, m _n ) spełniających ograniczenie

${\ Displaystyle 1 \ cdot m_ {1} + 2 \ cdot m_ {2} + 3 \ cdot m_ {3} + \ cdots + n \ cdot m_ {n} = n.} Czasami, aby nadać mu niezapomniany wzór$

, jest napisane w taki sposób, że współczynniki mające interpretację kombinatoryczną omówioną poniżej są mniej jednoznaczne:

${\ Displaystyle {d ^ {n} \ ponad dx ^ {n}} f (g (x)) = \ suma {\ Frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n} \left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.} Łączenie wyrazów o tej samej wartości$

m 1 ₊ m 2 ₊ . .. + m _n = k i zauważenie, że m   _j musi wynosić zero dla j > n - k + 1 prowadzi do nieco prostszego wzoru wyrażonego za pomocą wielomianów Bella b _{n , k} ( x ₁ ,..., x _{n - k +1} ):

${\ Displaystyle {d ^ {n} \ ponad dx ^ {n}} f (g (x)) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) \cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).} wielomian pierwszego$

stopnia

test pierwszej pochodnej Test pierwszej pochodnej bada

monotoniczność funkcji właściwości (gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca) skupiając się na określonym punkcie w swojej dziedzinie. Jeśli funkcja „przełączy się” z rosnącej na malejącą w punkcie, wówczas funkcja osiągnie najwyższą wartość w tym punkcie. Podobnie, jeśli funkcja „przełączy się” z malejącej na rosnącą w punkcie, to osiągnie w tym punkcie najmniejszą wartość. Jeśli funkcja nie „przełączy się” i nadal będzie rosnąć lub maleć, to nie zostanie osiągnięta żadna najwyższa ani najmniejsza wartość.

Rachunek ułamkowy

Jest gałęzią analizy matematycznej który bada kilka różnych możliwości definiowania potęg liczb rzeczywistych lub potęg liczb zespolonych operatora różniczkowania re

${\ Displaystyle Df (x) = {\ dfrac {d} {dx} }f(x)}$ ,

oraz operatora integracji J

${\ Displaystyle Jf (x) = \ int _ {0} ^ {x} \! \! \! \! f (s) {ds}} i opracowanie rachunku różniczkowego dla takich$ operatorów

uogólniając klasyczny . W tym kontekście termin potęgi odnosi się do iteracyjnego zastosowania operatora liniowego do funkcji, w pewnej analogii do składu funkcji działającego na zmienną, tj.   f ^∘2 ( x ) = f ∘ f ( x ) = f ( f ( x ) ) ) .

ścięty

W geometria , frustum (liczba mnoga: frusta lub frustums ) to część bryły ( zwykle stożka lub piramidy ), która leży między jedną lub dwiema równoległymi płaszczyznami, które ją przecinają. Prawy ścięty jest równoległym ścięciem prawej piramidy lub prawego stożka.

funkcja

Jest procesem lub relacją, która łączy każdy element x zbioru X , dziedziny funkcji do pojedynczego elementu y innego zestawu Y (ewentualnie tego samego zestawu), kodomeny funkcji . Jeśli funkcja nazywa się f , to ta relacja jest oznaczona   y = f ( x ) (czytane f od x ), element x jest argumentem lub wejściem funkcji, a y jest wartością funkcji , wyjściem lub obraz x przez f . _ Symbolem używanym do reprezentacji danych wejściowych jest zmienna funkcji (często mówi się, że f jest funkcją zmiennej x ).

złożenie funkcji

Jest operacją, która przyjmuje dwie funkcje f i g i daje funkcję h taką, że h ( x ) = g ( f ( x )) . W tej operacji funkcja g jest stosowane do wyniku zastosowania funkcji f do x . Oznacza to, że funkcje f : X → Y i g : Y → Z składają się w celu uzyskania funkcji, która odwzorowuje x w X na g ( f ( x )) w Z .

fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego jest twierdzeniem , które łączy pojęcie różniczkowania funkcji z pojęciem całkowania funkcji. Pierwsza część twierdzenia, czasami nazywana pierwszym fundamentalnym twierdzeniem rachunku różniczkowego , stwierdza, że ​​jedną z funkcji pierwotnych (zwaną także całką nieoznaczoną ), powiedzmy F , pewnej funkcji f można otrzymać jako całkę f ze zmienną granicą całkowania . Oznacza to istnienie funkcji pierwotnych dla funkcji ciągłych . I odwrotnie, druga część twierdzenia, czasami nazywana drugim fundamentalnym twierdzeniem rachunku różniczkowego , stwierdza, że ​​całkę funkcji f w pewnym przedziale można obliczyć, używając dowolnej, powiedzmy F , jej nieskończenie wielu funkcji pierwotnych . Ta część twierdzenia ma kluczowe zastosowania praktyczne, ponieważ jawne znalezienie funkcji pierwotnej przez całkowanie symboliczne pozwala uniknąć całkowania numerycznego w celu obliczenia całek. Zapewnia to ogólnie lepszą dokładność numeryczną.

G

ogólna reguła Leibniza

Ogólna reguła Leibniza , nazwana na cześć Gottfrieda Wilhelma Leibniza , uogólnia regułę iloczynu (znaną również jako „reguła Leibniza”). Stwierdza, że ​​​​jeśli i ${$ funkcjami różniczkowalnymi -czasami , $to$ iloczyn $jest$$displaystyle$$n$ i jego ${\ Displaystyle n}$ ta pochodna jest dana przez

${\ Displaystyle (fg) ^ {(n)} =\suma _{k=0}^{n}{n \wybierz k}f^{(nk)}g^{(k)},}$

gdzie ${\ Displaystyle {n \ wybierz k} = {n! \ponad k!(nk)!}}$ jest współczynnikiem dwumianowym , a ${\ Displaystyle f ^ {(0)} \ equiv f.}$ Można to udowodnić za pomocą reguły iloczynu i indukcji matematycznej .

globalne maksimum

W analizie matematycznej maksima i minima (odpowiednia liczba mnoga maksimum i minimum ) funkcji , zwane łącznie ekstrema (liczba mnoga od ekstremum ), to największa i najmniejsza wartość funkcji w danym zakresie ( ekstrema lokalne lub względne ) lub w całej dziedzinie funkcji ( ekstrema globalne lub absolutne ). Pierre de Fermat był jednym z pierwszych matematyków, który zaproponował ogólną technikę znajdowania maksimów i minimów funkcji. Zgodnie z definicją w teorii mnogości , maksimum i minimum zbioru to największy i najmniejszy element zbioru. Nieograniczone zbiory nieskończone, takie jak zbiór liczb rzeczywistych , nie mają minimum ani maksimum.

minimum globalne

W analizie matematycznej maksima i minima (odpowiednie liczby mnogie maksimum i minimum ) funkcji , określane zbiorczo jako ekstrema ( liczba mnoga ekstremum ), są największą i najmniejszą wartością funkcji w danym przedziale ( miejscowy lub krewny _ ekstrema) lub na całej dziedzinie funkcji ( ekstrema globalne lub absolutne ). Pierre de Fermat był jednym z pierwszych matematyków, który zaproponował ogólną technikę znajdowania maksimów i minimów funkcji. Zgodnie z definicją w teorii mnogości maksimum i minimum zbioru to odpowiednio największe i najmniejsze elementy zbioru. Nieograniczone zbiory nieskończone, takie jak zbiór liczb rzeczywistych , nie mają minimum ani maksimum.

złota spirala

W geometrii złota spirala to spirala logarytmiczna , której współczynnik wzrostu wynosi φ , czyli złoty podział . Oznacza to, że złota spirala rozszerza się (lub oddala od początku) o współczynnik φ na każdą ćwierć obrotu, jaki wykonuje.

gradient

Jest uogólnieniem pochodnej na wiele zmiennych . Podczas gdy pochodna może być zdefiniowana na podstawie funkcji jednej zmiennej, dla funkcji kilku zmiennych , jej miejsce zajmuje gradient. Gradient jest funkcją o wartościach wektorowych , w przeciwieństwie do pochodnej, która ma wartość skalarną .

H

postęp harmoniczny

W matematyce postęp harmoniczny (lub sekwencja harmoniczna ) jest postępem utworzonym przez odwrotność ciągu arytmetycznego . Jest to ciąg postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {a}} \ {\ Frac {1} {a + d}} \ {\ Frac {1} {a + 2d}} \ {\ Frac {1} a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},}$

gdzie −a/ d nie jest liczbą naturalną , a k jest liczbą naturalną. Równoważnie sekwencja jest postępem harmonicznym, gdy każdy termin jest średnią harmoniczną sąsiednich terminów. Nie jest możliwe, aby postęp harmoniczny (inny niż trywialny przypadek, w którym a = 1 i k = 0) sumował się do liczby całkowitej . Powodem jest to, że koniecznie co najmniej jeden mianownik progresji będzie podzielny przez liczbę pierwszą , która nie dzieli żadnego innego mianownika.

wyższa pochodna

Niech f będzie funkcją różniczkowalną, a f ′ niech będzie jej pochodną. Pochodną f ′ (jeśli taką ma) zapisujemy f ′′ i nazywamy drugą pochodną f . Podobnie pochodna drugiej pochodnej, jeśli istnieje, zapisujemy f " i nazywa się trzecią pochodną f . Kontynuując ten proces, można zdefiniować, jeśli istnieje, n- tą pochodną jako pochodną ( n -1) -tej pochodnej. Te powtarzające się pochodne nazywane są pochodnymi wyższego rzędu . N - ta pochodna jest również nazywana pochodną rzędu n .

jednorodne liniowe równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe może być jednorodne pod dwoma względami. A fa

$Displaystyle f (x, y) dy = g (x, y)$

sol gdzie f i g są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia x i y . W tym przypadku zmiana zmiennej y = ux prowadzi do

$_$

postaci _ . W przeciwnym razie równanie różniczkowe jest jednorodne, jeśli jest jednorodną funkcją nieznanej funkcji i jej pochodnych. W przypadku liniowych równań różniczkowych oznacza to, że nie ma stałych wyrazów. Rozwiązania dowolnego liniowego równania różniczkowego zwyczajnego dowolnego rzędu można wywnioskować przez całkowanie z rozwiązania równania jednorodnego otrzymanego przez usunięcie składnika stałego.

funkcja hiperboliczna

Funkcje hiperboliczne są analogami zwykłych funkcji trygonometrycznych lub kołowych .

I

funkcja tożsamości

Nazywana również relacją tożsamości , mapą tożsamości lub transformacją tożsamości , jest funkcją , która zawsze zwraca tę samą wartość, która została użyta jako argument. W równaniach funkcja jest dana przez f ( x ) = x .

liczba urojona

Jest liczbą zespoloną , którą można zapisać jako liczbę rzeczywistą pomnożoną przez jednostkę urojoną i , która jest zdefiniowana przez jej właściwość i ² = −1 . Kwadrat liczby − b ^urojonej bi wynosi 2 . Na przykład 5 i jest liczbą urojoną, a jej kwadrat to −25 . Zero jest uważane za zarówno rzeczywiste, jak i urojone.

funkcja ukryta

$Displaystyle R (x_ {1}, \ ldots$ , W matematyce równanie uwikłane jest relacją postaci $x_ {n}) = 0}$ , gdzie jest kilku zmiennych (często wielomianu ). Na przykład niejawne równanie koła jednostkowego to ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$ . Funkcja niejawna to funkcja , która jest zdefiniowana niejawnie przez niejawne równanie, poprzez powiązanie jednej ze zmiennych ( wartość ) z innymi ( argumentami ). Zatem ukryta funkcja dla w kontekście $koła$ jednostkowego jest zdefiniowana domyślnie przez ${\ Displaystyle x ^ {2} + f (x) ^ {$ . To niejawne równanie definiuje $wtedy$ tylko , $x$${\ displaystyle -1 \ równoważnik x \ równoważnik 1}$ i bierze się pod uwagę tylko wartości nieujemne (lub dodatnie) dla wartości funkcji. Twierdzenie o funkcji uwikłanej zapewnia warunki, w których niektóre rodzaje relacji definiują funkcję ukrytą, a mianowicie relacje zdefiniowane jako funkcja wskaźnika zbioru zerowego pewnej funkcji wielowymiarowej różniczkowalnej w sposób ciągły .

ułamek niewłaściwy

Ułamki zwykłe można podzielić na właściwe i niewłaściwe. Gdy zarówno licznik, jak i mianownik są dodatnie, ułamek nazywamy właściwym, jeśli licznik jest mniejszy od mianownika, aw przeciwnym razie niewłaściwym. Ogólnie rzecz biorąc, ułamek zwykły jest ułamkiem właściwym, jeśli wartość bezwzględna ułamka jest ściśle mniejsza niż jeden, to znaczy, jeśli ułamek jest większy niż -1 i mniejszy niż 1. Mówi się, że jest to ułamek niewłaściwy , lub czasami ułamek ciężki, jeśli wartość bezwzględna ułamka jest większa lub równa 1. Przykładami ułamków właściwych są 2/3, –3/4 i 4/9; przykładami ułamków niewłaściwych są 9/4, –4/3 i 3/3.

całka niewłaściwa

W analizie matematycznej całka niewłaściwa jest granicą całki oznaczonej , $- \ infty }$ punkt końcowy przedziału (przedziałów) integracji zbliża się do określonej liczby rzeczywistej , $displaystyle$ lub w niektórych przypadkach, gdy oba punkty końcowe zbliżają się do limitów. Taka całka jest często zapisywana symbolicznie, podobnie jak standardowa całka oznaczona, w niektórych przypadkach z nieskończonością jako granica całkowania. W szczególności całka niewłaściwa jest granicą postaci:

$\ Displaystyle \ lim _ {b \ do \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\ ,dx,}$

lub

$\ Displaystyle \ lim _ {c \ do b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,} w którym przyjmuje się granicę w$

jednym lub inne (lub czasami oba) punkty końcowe ( Apostol 1967 , §10.23) .

punkt przegięcia

W rachunku różniczkowym punkt przegięcia , punkt przegięcia , zgięcia lub przegięcia (brytyjski angielski: przegięcie ) to punkt na ciągłej płaskiej krzywej , w której krzywa zmienia się z wklęsłej (wklęsła w dół) na wypukłą (wklęsła w górę) lub nawzajem.

chwilowa szybkość zmian

Pochodna funkcji pojedynczej zmiennej przy wybranej wartości wejściowej, jeśli istnieje, jest nachyleniem styczną do wykresu funkcji w tym punkcie. Linia styczna jest najlepszym liniowym przybliżeniem funkcji w pobliżu tej wartości wejściowej. Z tego powodu pochodna jest często opisywana jako „chwilowa szybkość zmian”, czyli stosunek chwilowej zmiany zmiennej zależnej do zmiany zmiennej niezależnej. .

prędkość chwilowa

Jeśli uznamy v za prędkość, a x za wektor przemieszczenia (zmiany położenia), to możemy wyrazić (chwilową) prędkość cząstki lub obiektu w dowolnym momencie t , jako pochodna położenia względem czasu:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {v}} = \ lim _ {{\ Delta t} \ do 0} {\ Frac {\ Delta {\ boldsymbol {x}}} {\ Delta t}} = {\ Frac {d {\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.}$

Z tego równania pochodnego w przypadku jednowymiarowym widać, że pole pod prędkością w funkcji czasu ( v vs. t wykres) to przemieszczenie, x . W kategoriach rachunku różniczkowego całka funkcji prędkości v ( t ) jest funkcją przemieszczenia x ( t ) . Na rysunku odpowiada to żółtemu obszarowi pod krzywą oznaczoną jako s ( s jest alternatywnym oznaczeniem przemieszczenia).

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {x}} = \ int {\ boldsymbol {v}} \ d {\ mathit {t}}.}$

Ponieważ pochodna położenia względem czasu daje zmianę położenia (w metrach ) podzieloną przez zmianę w czasie (w sekundach ), prędkość mierzy się w metrach na sekundę (m/s). Chociaż koncepcja prędkości chwilowej może początkowo wydawać się sprzeczna z intuicją, można ją traktować jako prędkość, z jaką obiekt poruszałby się dalej, gdyby przestał przyspieszać w tym momencie. .

całka

Całka przypisuje funkcje liczbowe w sposób, który może opisywać przemieszczenie, powierzchnię, objętość i inne pojęcia, które powstają w wyniku połączenia nieskończenie małych dane. Integracja jest jedną z dwóch głównych operacji rachunku różniczkowego, a drugą jest jej operacja odwrotna, czyli różniczkowanie . .

symbol całki

Symbol

całki ( LaTeX ) $funkcji$ pierwotnych w używany

: jest do oznaczania całek i . .

całka

Funkcja, która ma być zintegrowana w całce.

całkowanie przez części

W rachunku różniczkowym i bardziej ogólnie w analiza matematyczna , całkowanie przez części lub całkowanie częściowe to proces, który znajduje całkę iloczynu funkcji pod względem całki ich pochodnej i funkcji pierwotnej. Jest często używany do przekształcania funkcji pierwotnej iloczynu funkcji w funkcję pierwotną, dla której łatwiej można znaleźć rozwiązanie. Regułę można łatwo wyprowadzić, całkując regułę różniczkowania iloczynu . Jeśli u = u ( x ) i du = u ′ ( x ) dx , podczas gdy v = v ( x ) i dv = v ′ ( x ) dx , to całkowanie przez części stwierdza, że:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) \, dx & = {\ duży [} u (x) v (x) {\ duży ]} _{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v( a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}} lub bardziej zwięźle$

:

${\ Displaystyle \ int u \, dv = uv- \ int v \, du.}$

Matematyk Brook Taylor odkrył całkowanie przez części, po raz pierwszy publikując ten pomysł w 1715 roku . Istnieją bardziej ogólne sformułowania całkowania przez części dla Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue'a-Stieltjesa . Dyskretny odpowiednik sekwencji nazywa się sumowaniem przez części . .

całkowanie przez podstawienie

Znane również jako u -podstawianie, jest metodą rozwiązywania całek . Korzystanie z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego często wymaga znalezienia funkcji pierwotnej . Z tego i innych powodów całkowanie przez podstawienie jest ważnym narzędziem w matematyce. Jest to odpowiednik reguły łańcuchowej dla różniczkowania . .

twierdzenie o wartości pośredniej

W analizie matematycznej twierdzenie o wartości pośredniej mówi, że jeśli funkcja ciągła f , której dziedziną jest przedział , [ a , b ] , przyjmuje wartości f ( a ) i f ( b ) na każdym końcu przedziału, to przyjmuje również dowolną wartość między f ( a ) a f ( b ) w pewnym punkcie przedziału. Ma to dwa ważne następstwa :

1. Jeśli funkcja ciągła ma wartości o przeciwnych znakach wewnątrz przedziału, to ma pierwiastek w tym przedziale ( twierdzenie Bolzano ).
2. Obraz funkcji ciągłej w przedziale sam w sobie jest przedziałem. .

odwrotne funkcje trygonometryczne

(nazywane również funkcjami arcus, funkcjami antytrygonometrycznymi lub funkcjami cyklometrycznymi) są funkcjami odwrotnymi funkcji trygonometrycznych ( z odpowiednio ograniczonymi domenami ). W szczególności są one odwrotnościami sinus , cosinus , tangens , cotangens , secans i cosecans i służą do uzyskania kąta z dowolnego stosunku trygonometrycznego kąta.

J

fa

$przypadki} x ^ { 2}&{\mbox{ dla }}x<1\\0&{\mbox{ dla }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ dla }}x>1 \end{cases}}}$

dla Wtedy punkt x ₀ = 1 jest nieciągłością skokową . W tym przypadku pojedyncza granica nie istnieje, ponieważ granice jednostronne L ⁻ i L ⁺ istnieją i są skończone, ale nie są równe: ponieważ L ⁻ ≠ L ⁺ , granica L nie istnieje. Wówczas x ₀ nazywamy nieciągłością skokową , nieciągłością skokową lub nieciągłością pierwszego rodzaju . Dla tego typu nieciągłości funkcja f może mieć dowolną wartość w punkcie x ₀ .

Ł

Całkowanie W matematyce całkę nieujemnej funkcji pojedynczej zmiennej można w najprostszym przypadku traktować jako pole między wykresem tej funkcji a osią x . Całka Lebesgue'a rozszerza całkę na większą klasę funkcji. Rozszerza również domeny , w których można zdefiniować te funkcje.

Lebesgue'a

Reguła L'Hôpitala

Reguła L'Hôpitala lub reguła L'Hospitala wykorzystuje pochodne , aby pomóc ocenić granice obejmujące nieokreślone formy . Zastosowanie (lub wielokrotne zastosowanie) reguły często przekształca nieokreśloną formę w wyrażenie, które można ocenić przez podstawienie, co pozwala na łatwiejszą ocenę granicy. Reguła została nazwana na cześć XVII-wiecznego francuskiego matematyka Guillaume'a de l'Hôpitala . Chociaż wkład reguły jest często przypisywany L'Hôpital, twierdzenie to zostało po raz pierwszy wprowadzone do L'Hôpital w 1694 r. Przez szwajcarskiego matematyka Johanna Bernoulliego . Reguła L'Hôpitala stwierdza, że ​​dla funkcji f i g , które są różniczkowalne na przedziale otwartym I , z wyjątkiem być może punktu c zawartego w I , jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do c} f (x) = \ lim _ {x \ do c} g (x) = 0 {\ tekst {lub}} \ pm \ infty,}$${\ Displaystyle g '(x) \ neq 0}$ dla wszystkich x w ja z x ≠ do i $\ Displaystyle \ lim _ {x \ do c} {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ istnieje, więc

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do c} {\ Frac {f (x)}} {g (x)}} = \ lim _ {x \ do c} {\ frac {f' (x)} {g '(x)}}.}$

Różniczkowanie licznika i mianownika często upraszcza iloraz lub przekształca go w granicę, którą można obliczyć bezpośrednio.

test porównania granic

Test porównania granic pozwala określić zbieżność jednego szeregu na podstawie zbieżności drugiego.

granica funkcji

.

granice integracji

.

kombinacja liniowa

W matematyce kombinacja liniowa jest wyrażeniem utworzonym ze zbioru terminów przez pomnożenie każdego wyrazu przez stałą i dodanie wyników (np. kombinacja liniowa x i y byłaby dowolnym wyrażeniem w postaci ax + przez , gdzie a I b są stałymi). Pojęcie kombinacji liniowych ma kluczowe znaczenie dla algebry liniowej i pokrewnych dziedzin matematyki.

równanie liniowe Równanie

${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_{n}x_{n}+b=0,}$ to równanie odnoszące się do siebie dwóch lub więcej zmiennych w postaci za przy czym najwyższą potęgą każdej zmiennej jest 1.

układ liniowy

.

lista całek

.

logarytm

.

różniczkowanie logarytmiczne

.

dolna granica

.

M

twierdzenie o wartości średniej

.

funkcja monotoniczna

.

całka wielokrotna

.

Rachunek multiplikatywny

.

rachunek wielu zmiennych

.

N

logarytm naturalny

Logarytm naturalny liczby to jej logarytm do podstawy stałej matematycznej e , gdzie e jest liczbą niewymierną i przestępną w przybliżeniu równą 2,718 281 828 459 . Logarytm naturalny z x jest zwykle zapisywany jako ln x , log _ex x lub czasami, jeśli podstawa e jest niejawne, po prostu zaloguj x . Nawiasy są czasami dodawane dla przejrzystości, dając ln( x ), log _e ( x ) lub log( x ). Odbywa się to w szczególności, gdy argumentem logarytmu nie jest pojedynczy symbol, aby zapobiec dwuznaczności.

rachunek nienewtonowski

.

rachunek niestandardowy

.

notacja dla różniczkowania

.

całkowanie numeryczne

.

O

granica jednostronna

.

równanie różniczkowe zwyczajne

.

P

Twierdzenie o środku ciężkości Pappusa

(znane również jako twierdzenie Guldinusa , twierdzenie Pappusa – Guldinusa lub twierdzenie Pappusa ) jest jednym z dwóch powiązanych twierdzeń dotyczących powierzchni i objętości powierzchni i brył obrotowych.

parabola

Jest płaską krzywą , która jest lustrzanie symetryczna i ma w przybliżeniu kształt litery U. Pasuje do kilku powierzchownie różnych innych matematycznych opisów, z których można dowieść, że definiują dokładnie te same krzywe.

paraboliczny

.

pochodna cząstkowa

.

równanie różniczkowe cząstkowe

.

częściowy rozkład frakcji

.

konkretne rozwiązanie

.

funkcja fragmentarycznie zdefiniowana

Funkcja zdefiniowana przez wiele funkcji podrzędnych, które mają zastosowanie do określonych przedziałów dziedziny funkcji.

wektor pozycji

.

reguła władzy

.

integralność produktu

.

reguła produktu

.

ułamek właściwy

.

właściwa funkcja wymierna

.

Twierdzenie Pitagorasa

.

Tożsamość trygonometryczna Pitagorasa

.

Q

funkcja kwadratowa

W algebrze funkcja kwadratowa , wielomian kwadratowy , wielomian stopnia 2 lub po prostu funkcja kwadratowa , jest funkcją wielomianową z jedną lub większą liczbą zmiennych, w których wyraz najwyższego stopnia jest drugiego stopnia. Na przykład funkcja kwadratowa w trzech zmiennych x , y i z zawiera wyłącznie wyrazy x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z , i stała:

${\ Displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + przez ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j,}$

przy czym co najmniej jeden ze współczynników a, b, c, d, e lub f wyrazów drugiego stopnia jest niezerowy. Jednowymiarowa (pojedyncza zmienna) funkcja kwadratowa ma postać

${2} + bx + c \ quad a \ neq 0}$

za w jednej zmiennej x . Wykresem jednowymiarowej funkcji kwadratowej jest parabola , której oś symetrii jest równoległa do osi y , jak pokazano po prawej stronie. Jeśli funkcja kwadratowa jest równa zeru, wynikiem jest równanie kwadratowe . Rozwiązania równania jednowymiarowego nazywane są pierwiastkami funkcji jednowymiarowej. Przypadek dwuwymiarowy w odniesieniu do zmiennych x i y ma postać

${\ Displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + przez ^ {2} + cxy + dx + ey + f \, \!}$

gdzie co najmniej jedno z a, b, c nie jest równe zeru, a równanie ustawiające tę funkcję na zero daje przekrój stożkowy ( okrąg lub inną elipsę , parabolę lub hiperbolę ). Ogólnie rzecz biorąc, może istnieć dowolnie duża liczba zmiennych, w którym to przypadku wynikowa powierzchnia nazywana jest kwadratem , ale składnik najwyższego stopnia musi mieć stopień 2, na przykład x ² , xy , yz , itd.

wielomian kwadratowy

.

reguła ilorazu

Wzór na znalezienie pochodnej funkcji będącej stosunkiem dwóch funkcji.

R

radian

Jest to jednostka SI służąca do mierzenia kątów i jest standardową jednostką miary kątów używaną w wielu dziedzinach matematyki . Długość łuku koła jednostkowego jest liczbowo równa pomiarowi kąta w radianach ; jeden radian to nieco poniżej 57,3 stopnia (rozszerzenie w OEIS : A072097 ). Jednostka ta była dawniej jednostką uzupełniającą układu SI , ale ta kategoria została zniesiona w 1995 r. i obecnie radian jest uważany za jednostkę Jednostka pochodna układu SI . Oddzielnie jednostką kąta bryłowego w układzie SI jest steradian .

próba proporcji

.

funkcja odwrotna

.

reguła wzajemności

.

Całka Riemanna

.

powiązane stawki

.

usuwalna nieciągłość

.

Twierdzenie Rolle'a

.

próba roota

.

S

skalarny

.

linia sieczna

.

wielomian drugiego stopnia

.

druga pochodna

.

test drugiej pochodnej

.

równanie różniczkowe drugiego rzędu

.

seria

.

integracja powłoki

.

Reguła Simpsona

.

sinus

.

fala sinusoidalna

.

pole zbocza

.

twierdzenie o ściśnięciu

.

reguła sumy w różniczkowaniu

.

reguła sumy w całkowaniu

.

podsumowanie

.

kąt dodatkowy

.

powierzchnia

.

układ równań liniowych

.

T

tablica całek

.

szereg Taylora

.

Twierdzenie Taylora

.

styczna

.

wielomian trzeciego stopnia

.

trzecia pochodna

.

toroid

.

całkowita różnica

.

funkcje trygonometryczne

.

tożsamości trygonometryczne

.

całka trygonometryczna

.

podstawienie trygonometryczne

.

trygonometria

.

całka potrójna

.

u

górna granica

.

V

zmienna

.

wektor

.

rachunek wektorowy

.

W

pralka

.

metoda pralki

.

Zobacz też

• Zarys rachunku różniczkowego
• Słowniczek dziedzin matematyki
• Słowniczek astronomii
• Słowniczek biologii
• Słowniczek botaniki
• Słowniczek chemii
• Słowniczek ekologii
• Słowniczek inżynierii
• Słowniczek fizyki
• Słowniczek prawdopodobieństwa i statystyki