Kombinacja liniowa

W matematyce kombinacja liniowa jest wyrażeniem zbudowanym ze zbioru terminów poprzez pomnożenie każdego wyrazu przez stałą i dodanie wyników (np. kombinacja liniowa x i y byłaby dowolnym wyrażeniem w postaci ax + przez , gdzie aib są stałymi). Koncepcja kombinacji liniowych jest kluczowa dla algebry liniowej i pokrewnych dziedzin matematyki. Większość tego artykułu dotyczy kombinacji liniowych w kontekście przestrzeni wektorowej nad polem , z pewnymi uogólnieniami podanymi na końcu artykułu.

Definicja

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K . Jak zwykle elementy nazywamy wektorami V , a elementy K skalarami . Jeśli v ₁ ,..., v _n są wektorami, a a _{1 , ...} , an są skalarami, to liniowa kombinacja tych wektorów z tymi skalarami jako współczynnikami wynosi

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {v} _ {3} + \ cdots + a_ { n}\mathbf {v} _ {n}.}$

Istnieje pewna niejasność w użyciu terminu „kombinacja liniowa”, czy odnosi się on do wyrażenia, czy do jego wartości. W większości przypadków wartość jest podkreślana, jak w stwierdzeniu „zbiór wszystkich kombinacji liniowych v ₁ ,..., v _n zawsze tworzy podprzestrzeń”. Można jednak również powiedzieć „dwie różne kombinacje liniowe mogą mieć tę samą wartość”, w którym to przypadku odwołanie dotyczy wyrażenia. Subtelna różnica między tymi zastosowaniami jest istotą pojęcia liniowej zależności : rodzina F wektorów jest liniowo niezależna dokładnie wtedy, gdy jakakolwiek liniowa kombinacja wektorów w F (jako wartość) jest taka jednoznacznie (jako wyrażenie). W każdym razie, nawet gdy patrzymy na to jako wyrażenia, wszystko, co ma znaczenie w przypadku kombinacji liniowej, to współczynnik każdego v _i ; trywialne modyfikacje, takie jak permutacja terminów lub dodawanie terminów o zerowym współczynniku, nie dają wyraźnych kombinacji liniowych.

W danej sytuacji K i V mogą być określone jawnie lub mogą być oczywiste z kontekstu. W takim przypadku często mówimy o liniowej kombinacji wektorów v ₁ ,..., v _n , ze współczynnikami nieokreślonymi (poza tym, że muszą należeć do K ). Lub, jeśli S jest podzbiorem V , możemy mówić o liniowej kombinacji wektorów w S , gdzie zarówno współczynniki, jak i wektory są nieokreślone, z wyjątkiem tego, że wektory muszą należeć do zbioru S (a współczynniki muszą należeć do K ). Wreszcie możemy mówić po prostu o kombinacji liniowej , w której nic nie jest określone (z wyjątkiem tego, że wektory muszą należeć do V , a współczynniki muszą należeć do K ); w tym przypadku prawdopodobnie odnosimy się do wyrażenia, ponieważ każdy wektor w V jest z pewnością wartością jakiejś kombinacji liniowej.

Należy zauważyć, że z definicji kombinacja liniowa obejmuje tylko skończenie wiele wektorów (z wyjątkiem przypadków opisanych w Uogólnieniach poniżej). Jednak zbiór S , z którego pobierane są wektory (jeśli taki jest wymieniony), może nadal być nieskończony ; każda pojedyncza kombinacja liniowa będzie obejmować tylko skończenie wiele wektorów. Nie ma też powodu, dla którego n nie mogłoby być zerem ; w takim przypadku deklarujemy umownie, że wynikiem kombinacji liniowej jest wektor zerowy w V .

Przykłady i kontrprzykłady

Wektory euklidesowe

Niech pole K będzie zbiorem R liczb rzeczywistych i niech przestrzeń wektorowa V będzie przestrzenią euklidesową R3 ^. Rozważmy wektory e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) i e ₃ = (0,0,1) . Wtedy dowolny wektor w R ³ jest kombinacją liniową e ₁ , e ₂ i e ₃ .

Aby się przekonać, że tak jest, weź dowolny wektor ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) w R ³ i napisz:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) & = (a_ {1}, 0,0) + (0, a_ {2}, 0) + ( 0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1 )\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}. \end{wyrównane}}}$

Funkcje

Niech K będzie zbiorem C wszystkich liczb zespolonych i niech V będzie zbiorem C _C ( R ) wszystkich funkcji ciągłych od prostej rzeczywistej R do płaszczyzny zespolonej C . Rozważmy wektory (funkcje) f i g zdefiniowane przez f ( t ) := e ^it i g ( t ) := e ^{− it} . (Tutaj e jest podstawą logarytmu naturalnego , około 2,71828…, a i jest jednostką urojoną , pierwiastkiem kwadratowym z −1). Niektóre kombinacje liniowe f i g to:

• ${\ Displaystyle \ sałata t = {\ tfrac {1} {2}} \ e ^ {to} + {\ tfrac {1} {2} }\,e^{-to}}$
• ${\ Displaystyle 2 \ sin t = (-i) e ^ {to} + (i) e ^ {- to}.}$

Z drugiej strony stała funkcja 3 nie jest kombinacją liniową f i g . Aby to zobaczyć, załóżmy, że 3 można zapisać jako liniową kombinację e ^it i e ^{− it} . Oznacza to , że istniałyby złożone skalary aib takie, że ae it ⁺ be − ^{it =} 3 dla wszystkich liczb rzeczywistych t . Ustawienie t = 0 i t = π daje równania a + b = 3 i a + b = −3 , a to oczywiście nie może się zdarzyć. Zobacz tożsamość Eulera .

Wielomiany

Niech K będzie R , C , lub dowolnym ciałem i niech V będzie zbiorem P wszystkich wielomianów o współczynnikach wziętych z ciała K . Rozważmy wektory (wielomiany) p ₁ := 1, p ₂ := x + 1 i p ₃ := x ² + x + 1 .

Czy wielomian x ² − 1 jest kombinacją liniową p ₁ , p ₂ i p ₃ ? Aby się tego dowiedzieć, rozważmy dowolną liniową kombinację tych wektorów i spróbujmy zobaczyć, kiedy jest ona równa żądanemu wektorowi x ² − 1. Wybierając dowolne współczynniki a ₁ , a ₂ i a ₃ , chcemy

${\ Displaystyle a_ {1} (1) + a_ {2} (x + 1) +a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

Oznacza to mnożenie wielomianów

${\ Displaystyle (a_ {1}) + (a_ {2} x + a_ {2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

i zbierając jak potęgi x , otrzymujemy

${\ Displaystyle a_ {3} x ^ {2} + (a_ {2} + a_ {3}) x + (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3}) = 1x ^ {2} + 0x + ( -1).}$

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są równe, więc możemy wyciągnąć wniosek

${\ Displaystyle a_ {3} = 1, \ quad a_ {2} + a_ {3} = 0, \ quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

Ten układ równań liniowych można łatwo rozwiązać. Po pierwsze, pierwsze równanie mówi po prostu, że a ₃ to 1. Wiedząc o tym, możemy rozwiązać drugie równanie dla a ₂ , które wychodzi na −1. Wreszcie ostatnie równanie mówi nam, że a ₁ to także −1. Dlatego jedynym możliwym sposobem uzyskania kombinacji liniowej są te współczynniki. Rzeczywiście,

${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = -1- (x + 1 )+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

więc x ² − 1 jest liniową kombinacją p ₁ , p ₂ i p ₃ .

Z drugiej strony, co z wielomianem x ³ − 1? Jeśli spróbujemy uczynić ten wektor liniową kombinacją p ₁ , p ₂ i p ₃ , to wykonując ten sam proces co poprzednio, otrzymamy równanie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i 0x ^ {3} + a_ {3} x ^ {2} + (a_ {2} + a_ {3}) x + (a_ {1} + a_ {2} + a_ { 3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{wyrównane}}}$

Jednakże, gdy w tym przypadku ustawimy odpowiednie współczynniki równe, równanie dla x ³ jest

${\ Displaystyle 0 = 1}$

co zawsze jest fałszywe. Dlatego nie ma sposobu, aby to zadziałało, a x ³ − 1 nie jest liniową kombinacją p ₁ , p ₂ i p ₃ .

Rozpiętość liniowa

Główny artykuł: Rozpiętość liniowa

Weźmy dowolne pole K , dowolną przestrzeń wektorową V i niech v ₁ ,..., v _n będą wektorami (w V ). Interesujące jest rozważenie zbioru wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów. Ten zbiór nazywa się rozpiętością liniową (lub po prostu rozpiętością ) wektorów, powiedzmy S = { v ₁ , ..., v _n }. Piszemy rozpiętość S jako span( S ) lub sp( S ):

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {rozpiętość} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}): = \ {a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots,a_{n}\w K\}.}$

Niezależność liniowa

Główny artykuł: niezależność liniowa

Załóżmy, że dla pewnych zbiorów wektorów v ₁ ,..., v _n , pojedynczy wektor można zapisać na dwa różne sposoby jako ich liniową kombinację:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {i} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ suma _ {i} b_ {i} \ mathbf {v} _ {i} {\ tekst{ gdzie }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Jest to równoważne, odejmując je ( ${\ Displaystyle c_ {i}: = a_ {i} -b_ {i}} )$ , aby powiedzieć, że nietrywialna kombinacja wynosi zero

${\ Displaystyle \ mathbf {0} = \ suma _ {i} c_ {i} \ mathbf {v} _ {i}.}$

Jeśli to możliwe, to v ₁ ,..., v _n nazywamy liniowo zależnymi ; w przeciwnym razie są liniowo niezależne . Podobnie możemy mówić o liniowej zależności lub niezależności dowolnego zbioru S wektorów.

Jeśli S jest liniowo niezależny i rozpiętość S jest równa V , to S jest bazą dla V .

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe

Ograniczając współczynniki używane w kombinacjach liniowych, można zdefiniować powiązane pojęcia kombinacji afinicznej , kombinacji stożkowej i kombinacji wypukłej oraz związane z nimi pojęcia zbiorów domkniętych tymi operacjami.

Rodzaj kombinacji	Ograniczenia dotyczące współczynników	Nazwa zestawu	Przestrzeń modelowa
Kombinacja liniowa	bez ograniczeń	Podprzestrzeń wektorowa	${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$
Afiniczna kombinacja	${\ textstyle \ suma a_ {i} = 1}$	Podprzestrzeń afiniczna	Hiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowa	${\ Displaystyle a_ {i} \ geq 0}$	Stożek wypukły	Kwadrant , oktant lub ortant
Kombinacja wypukła	${\ Displaystyle a_ {i} \ geq 0}$ i ${\ textstyle \ suma a_ {i} = 1}$	Zestaw wypukły	Zwykły

Ponieważ są to bardziej ograniczone operacje, więcej podzbiorów zostanie pod nimi zamkniętych, więc podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni wektorowych: podprzestrzeń wektorowa jest również podprzestrzenią afiniczną, stożkiem wypukłym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią wektorową, afiniczną ani stożkiem wypukłym.

Pojęcia te często pojawiają się, gdy można przyjąć pewne liniowe kombinacje obiektów, ale nie żadne: na przykład rozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte w kombinacji wypukłej (tworzą zbiór wypukły), ale nie w kombinacjach stożkowych lub afinicznych (lub liniowych), a miary dodatnie są zamknięte w kombinacji stożkowej, ale nie są afiniczne ani liniowe - stąd miary ze znakiem określa się jako zamknięcie liniowe.

Kombinacje liniowe i afiniczne można zdefiniować na dowolnym polu (lub pierścieniu), ale kombinacja stożkowa i wypukła wymagają pojęcia „dodatniego”, a zatem można je zdefiniować tylko na uporządkowanym polu (lub uporządkowanym pierścieniu), ogólnie liczbach rzeczywistych .

stożek (niekoniecznie wypukły) ; często ogranicza się definicję do zezwalania tylko na mnożenie przez dodatnie skalary.

Wszystkie te koncepcje są zwykle definiowane jako podzbiory otaczającej przestrzeni wektorowej (z wyjątkiem przestrzeni afinicznych, które są również uważane za „przestrzenie wektorowe zapominające o pochodzeniu”), zamiast być niezależnie aksjomatyzowanymi.

Teoria operowana

Główny artykuł: Teoria operowa

$, więc$ abstrakcyjnie, w języku teorii oper , można uznać przestrzenie wektorowe za algebry nad operą (nieskończona suma bezpośrednia skończenie wiele terminów nie jest -zero; odpowiada to przyjmowaniu tylko skończonych sum), co parametryzuje kombinacje liniowe: wektor ${\ Displaystyle (2,3, -5,0, \ kropki)}$ na przykład odpowiada kombinacji liniowej ${\ Displaystyle 2 \ mathbf {v} _ {1} + 3 \ mathbf {v} _ {2} -5 \ mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$ . Podobnie, można uznać, że kombinacje afiniczne, kombinacje stożkowe i kombinacje wypukłe odpowiadają operadom podrzędnym, w których suma terminów wynosi 1, wszystkie terminy są odpowiednio nieujemne lub oba. Graficznie są to nieskończona hiperpłaszczyzna afiniczna, nieskończony hiper-oktant i nieskończony simpleks. To formalizuje, co rozumie się przez $wypukły$ lub standardowy simplex jako przestrzenie modelowe, oraz takie obserwacje, jak to, że każdy ograniczony jest obrazem simplexu. Tutaj suboperady odpowiadają bardziej ograniczonym operacjom, a tym samym bardziej ogólnym teoriom.

Z tego punktu widzenia możemy myśleć o kombinacjach liniowych jako o najbardziej ogólnym rodzaju operacji na przestrzeni wektorowej – powiedzenie, że przestrzeń wektorowa jest algebrą nad operą kombinacji liniowych, jest właśnie stwierdzeniem, że wszystkie możliwe operacje algebraiczne na wektorze przestrzeni są kombinacjami liniowymi.

Podstawowe operacje dodawania i mnożenia przez skalar, wraz z istnieniem addytywnej tożsamości i addytywnych odwrotności, nie mogą być łączone w bardziej skomplikowany sposób niż ogólna kombinacja liniowa: podstawowe operacje są zbiorem generującym dla opery wszystkich kombinacji liniowych.

Ostatecznie fakt ten leży u podstaw przydatności kombinacji liniowych w badaniu przestrzeni wektorowych.

Uogólnienia

Jeśli V jest topologiczną przestrzenią wektorową , to może istnieć sposób na zrozumienie pewnych nieskończonych kombinacji liniowych przy użyciu topologii V . Na przykład możemy mówić o 1 v ₁ + a ₂ v ₂ + a ₃ v _{3 +} ⋯, trwającym w nieskończoność. Takie nieskończone kombinacje liniowe nie zawsze mają sens; nazywamy je zbieżnymi kiedy to zrobią. Zezwolenie na bardziej liniowe kombinacje w tym przypadku może również prowadzić do innej koncepcji rozpiętości, liniowej niezależności i podstawy. Artykuły na temat różnych smaków topologicznych przestrzeni wektorowych zawierają więcej szczegółów na ich temat.

Jeśli K jest pierścieniem przemiennym , a nie ciałem, to wszystko, co zostało powiedziane powyżej o kombinacjach liniowych, można uogólnić na ten przypadek bez zmian. Jedyna różnica polega na tym, że takie przestrzenie nazywamy modułami V zamiast przestrzeniami wektorowymi. Jeśli K jest pierścieniem nieprzemiennym, koncepcja nadal się uogólnia, z jednym zastrzeżeniem: ponieważ moduły nad pierścieniami nieprzemiennymi występują w wersjach lewej i prawej, nasze kombinacje liniowe mogą również występować w dowolnej z tych wersji, niezależnie od tego, co jest odpowiednie dla danego modułu. Jest to po prostu kwestia wykonania mnożenia przez skalar po właściwej stronie.

Bardziej skomplikowany zwrot pojawia się, gdy _{V jest} bimodułem na dwóch pierścieniach, KL i KR . W takim przypadku wygląda najbardziej ogólna kombinacja liniowa

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ { n}b_{n}}$

gdzie a ₁ ,..., a _n należą do K _L , b _{1 ,} ..., b _n należą do KR , a v ₁ ,…, v _n należą do V .

Aplikacja

Ważnym zastosowaniem kombinacji liniowych są funkcje falowe w mechanice kwantowej .

Zobacz też

• Suma ważona

Cytaty

Podręcznik

•   Axler, Sheldon Jay (2015). Algebra liniowa wykonana dobrze (wyd. 3). Springera . ISBN 978-3-319-11079-0 .
•   Katznelson, Icchak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (zwięzłe) Wprowadzenie do algebry liniowej . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-4419-9 .
•   Lay, David C .; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Algebra liniowa i jej zastosowania (wyd. 5). Osoba. ISBN 978-0-321-98238-4 .
•   Dziwne, Gilbert (2016). Wprowadzenie do algebry liniowej (wyd. 5). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6 .

Sieć

• „Kombinacje liniowe” . nLaboratorium . 27 października 2015 . Źródło 16 lutego 2021 r . {{ cite web }} : CS1 maint: stan adresu URL ( link )

Linki zewnętrzne

• Liniowe kombinacje i rozpiętość: Zrozumienie liniowych kombinacji i rozpiętości wektorów , khanacademy.org.