Afiniczna kombinacja

W matematyce afiniczna kombinacja x $1, ..., x n$ jest kombinacją liniową

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ alfa _ {i} \cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},}

takie że

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ alfa _ {i}} = 1.}

Tutaj $x 1, x n$ $...$ mogą być elementami ( wektorami ) przestrzeni wektorowej nad polem $K$ , a współczynniki są elementami $K$

Elementy $x 1, ..., x n$ mogą być również punktami przestrzeni euklidesowej , a bardziej ogólnie przestrzeni afinicznej nad ciałem $K$ . W tym przypadku $jest$ elementami $K$ (lub dla przestrzeni euklidesowej $) , a kombinacja$ również punktem Zobacz Przestrzeń afiniczna § Kombinacje afiniczne i środek ciężkości , aby zapoznać się z definicją w tym przypadku.

Ta koncepcja jest fundamentalna w geometrii euklidesowej i geometrii afinicznej , ponieważ zbiór wszystkich kombinacji afinicznych zbioru punktów tworzy najmniejszą podprzestrzeń zawierającą punkty, dokładnie tak, jak liniowe kombinacje zbioru wektorów tworzą ich rozpiętość liniową .

Kombinacje afiniczne komutują się z dowolną transformacją afiniczną $T$ w tym sensie, że

{\ Displaystyle T \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ alfa _ {i} \ cdot x_ {i}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ alfa _ {i} \cdot Tx_{i}}.}

W szczególności każda afiniczna kombinacja punktów stałych danej transformacji afinicznej jest również punktem stałym ${\ displaystyle$ $T}$ , więc zbiór punktów stałych afiniczny ${\ displaystyle T}$ podprzestrzeń (w 3D: prosta lub płaszczyzna, aw trywialnych przypadkach punkt lub cała przestrzeń).

Kiedy macierz stochastyczna , $A$ , działa na wektor kolumnowy b → , wynikiem jest wektor kolumnowy, którego wpisy są afinicznymi kombinacjami b → ze współczynnikami z wierszy w $A$ .

Zobacz też

Powiązane kombinacje

Geometria afiniczna

Gallier, Jean (2001), Geometryczne metody i zastosowania , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95044-0 . Patrz rozdział 2 .

Linki zewnętrzne

Uwagi dotyczące kombinacji afinicznych.