Afiniczny kadłub

W matematyce afiniczny kadłub lub rozpiętość afiniczna zbioru S w przestrzeni euklidesowej Rn jest najmniejszym zbiorem afinicznym zawierającym S lub równoważnie przecięciem wszystkich zbiorów afinicznych ^{zawierających} S . Tutaj zbiór afiniczny można zdefiniować jako translację podprzestrzeni wektorowej .

Kadłub afiniczny aff( S ) zbioru S jest zbiorem wszystkich kombinacji afinicznych elementów zbioru S , tj.

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {aff} (S) = \ lewo \ {\ suma _ {i = 1} ^ {k} \ alfa _ {i} x_ {i} \, {\ Bigg |} \, k> 0 ,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\ Prawidłowy\}.}

Przykłady

Afiniczny kadłub zbioru pustego jest zbiorem pustym.
Afinicznym kadłubem singletona (zbioru złożonego z jednego elementu) jest sam singleton.
Afiniczny kadłub zbioru dwóch różnych punktów jest linią przechodzącą przez nie.
Afinicznym kadłubem zbioru trzech punktów nie leżących na jednej linii jest płaszczyzna przechodząca przez nie.
Powłoka afiniczna zbioru czterech punktów leżących poza płaszczyzną w R ³ to cała przestrzeń R ³ .

Nieruchomości

Dla dowolnych podzbiorów ${\ Displaystyle S, T \ subseteq X}$

${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {aff} S) = \ operatorname {aff} S}$
${\ displaystyle \ operatorname {aff} S}$ $skończony$ zbiorem zamkniętym, jeśli jest wymiarowo.
${\ Displaystyle \ nazwa operatora {aff} (S + T) = \ nazwa operatora {aff} S + \ nazwa operatora {aff} T}$
Jeśli ${\ Displaystyle 0 \ w S}$ to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {aff} S = \ nazwa operatora {rozpiętość} S}$ .
Jeśli ${\ Displaystyle s_ {0} \ w S}$ to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {aff} (S) -s_ {0} = \ nazwa operatora {rozpiętość} (S-s_ {0})}$ jest liniową podprzestrzenią ${\ displaystyle X}$ .
${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (SS) = \ operatorname {rozpiętość} (SS)}$ $\operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)$ .
- Więc w $podprzestrzenią$ wektorową $X$ displaystyle
Jeśli jest wypukła , to ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (SS) = \ Displaystyle \ bigcup _ {\ lambda >$ $S$
dla każdego ${\ Displaystyle s_ {0} \ w S}$ $s_{0}\in S$ , $)$ $\operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)$ ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {aff} S = s_ {0} + \ nazwa operatora {stożek}$ $_$ $\operatorname {cone} (S-S)$ $\$ $S-S$ gdzie najmniejszym stożkiem $($ tutaj $X}$ $C\subseteq X$ \ $}$ $c\in C$ jest stożkiem , jeśli dla wszystkich $Displaystyle rc$ $r \geq 0$ wszystkich nieujemnych $in$ $rc\in C$ ).
- Stąd $operatorname$ jest zawsze liniową podprzestrzenią równoległą do $S$ $\$ {

Powiązane zestawy

Jeśli zamiast kombinacji afinicznej użyjemy kombinacji wypukłej , to znaczy w powyższym wzorze wymagamy, aby wszystkie $nieujemne$ , otrzymujemy wypukły kadłub S którego nie można większy niż kadłub afiniczny S , ponieważ zaangażowanych jest więcej ograniczeń.
Pojęcie stożkowej kombinacji daje początek pojęciu stożkowego kadłuba
Jeśli jednak nie nałoży się żadnych ograniczeń na liczby , zamiast kombinacji afinicznej ma się kombinację liniową $a$ wynikowy zbiór to rozpiętość liniowa S , która zawiera kadłub S. _

RJ Webster, wypukłość , Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8 .