Zmiana zmiennych

W matematyce zmiana zmiennych jest podstawową techniką stosowaną do upraszczania problemów, w których pierwotne zmienne są zastępowane funkcjami innych zmiennych. Chodzi o to, aby po wyrażeniu w nowych zmiennych problem mógł stać się prostszy lub równoważny z lepiej zrozumianym problemem.

Zmiana zmiennych jest operacją związaną z podstawieniem . Są to jednak różne operacje, co można zauważyć, rozważając różniczkowanie ( reguła łańcucha ) lub integrację ( całkowanie przez podstawienie ).

Bardzo prosty przykład użytecznej zmiany zmiennej można zobaczyć w problemie znalezienia pierwiastków wielomianu szóstego stopnia:

{\ Displaystyle x ^ {6} -9x ^ {3} + 8 = 0.}

Równania wielomianowe szóstego stopnia są generalnie niemożliwe do rozwiązania za pomocą rodników (patrz twierdzenie Abela – Ruffiniego ). To szczególne równanie można jednak zapisać

{\ Displaystyle (x ^ {3}) ^ {2} -9 (x ^ {3}) + 8 = 0}

(jest to prosty przypadek rozkładu wielomianowego ). W ten sposób równanie można uprościć, definiując nową zmienną. ${\ displaystyle u = x ^ {3}}$ . Zastąpienie x przez wielomian daje ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {u}}}$

{\ Displaystyle u ^ {2} -9u + 8 = 0,}

które jest po prostu równaniem kwadratowym z dwoma rozwiązaniami:

{\ Displaystyle u = 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad u = 8.}

Rozwiązania pod względem pierwotnej zmiennej uzyskuje się przez podstawienie x ³ z powrotem w miejsce u , co daje

{\ Displaystyle x ^ {3} = 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad x ^ {3} = 8.}

Następnie, zakładając, że interesują nas tylko rozwiązania rzeczywiste , rozwiązania pierwotnego równania są

{\ Displaystyle x = (1) ^ {1/3} = 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad x =(8)^{1/3}=2.}

Prosty przykład

Rozważ układ równań

{\ Displaystyle xy + x + y = 71}

{\ Displaystyle x ^ {2} y + xy ^ {2} = 880}

gdzie i są dodatnimi liczbami całkowitymi z $x$ $y$ $displaystyle$ } (Źródło: 1991 AIME )

Rozwiązanie tego zwykle nie jest bardzo trudne, ale może być trochę uciążliwe. Możemy jednak przepisać drugie równanie jako ${\ displaystyle xy (x + y) = 880}$ . $displaystyle$ podstawień i $_ 71,st=880}$ system $s$ . Rozwiązanie tego daje ${\ Displaystyle (s, t) = (16,55)}$ i ${\ Displaystyle (s, t) = (55,16)}$ . $)$ pierwszej ${\ Displaystyle (x, y) = (11,5).}$ _ Podstawienie drugiej uporządkowanej pary daje nam ${\ Displaystyle x + y = 55, xy = 16,x>y}$ , co nie daje rozwiązań. Stąd rozwiązaniem rozwiązującym system jest ${\ Displaystyle (x, y) = (11,5)}$ .

Formalny wstęp

Niech ${\ Displaystyle A}$ , ${\ displaystyle B}$ $} między$ rozmaitościami i niech będą - dyfeomorfizm ${\ Displaystyle \ Phi: A \ rightarrow B$ $}$ , to znaczy: jest różniczkowalną w sposób ciągły, bijektywną mapą od do ${ \ Displaystyle$ $B$ z czasami $za$ $\ displaystyle r}$ różniczkowalna odwrotność od ${\ displaystyle B}$ do ${\ displaystyle A}$ . Tutaj $to być dowolna$ ( lub $zero$ ), gładka $)$ lub ( analityczna .

Mapa nazywana jest regularną $lub$ współrzędnych regularnym podstawieniem zmiennej , gdzie regularność $-ness$ się do ${\ displaystyle \ Phi$ . $y$ się , aby $y$ zastąpienie zmiennej $\ displaystyle \ Phi}$ zmienną $displaystyle$ $}$ Φ w ${\ displaystyle y}$ dla każdego wystąpienia ${\ displaystyle x}$ .

Inne przykłady

Transformacja współrzędnych

Niektóre układy można łatwiej rozwiązać, przełączając się na współrzędne biegunowe . Rozważmy na przykład równanie

{\ Displaystyle U (x, y): = (x ^ {2} + y ^ {2} ){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}

Może to być funkcja energii potencjalnej dla jakiegoś problemu fizycznego. Jeśli nie widać od razu rozwiązania, można spróbować zastąpienia

{\ Displaystyle \ Displaystyle (x, y) = \ Phi (r, \ theta)}

podane przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Phi (r, \ teta) = (r \ cos (\ teta), r \ sin (\ teta)).}

Zauważ, że jeśli biegnie poza przedziałem długości, na przykład ${\ Displaystyle [0,2 \ pi ]}$ $2$ mapa $\displaystyle \Phi}$ ${$ $\ displaystyle$ nie jest już bijekcją. Dlatego ${\ Displaystyle \ Phi}$ powinno być ograniczone na przykład do ${\ Displaystyle (0, \ infty ] \ razy [0,2 \ pi)}$ . Zauważ, jak $jest$ $,$ ponieważ nie jest $bijektywna$ w pochodzeniu ( dowolną wartość, punkt zostanie odwzorowany na (0 0)). Następnie, zastępując wszystkie ${\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2}x=1}$ oryginalnych zmiennych nowymi $1$ określonymi przez i używając tożsamości , otrzymujemy

{\ Displaystyle V (r, \ teta) = r ^ {2} {\ sqrt {1- {\ Frac {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ teta} {r ^ {2}}}}} =r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}

Teraz rozwiązania można łatwo znaleźć: ${\ Displaystyle \ sin (\ theta) = 0}$ , więc ${\ Displaystyle \ theta = 0}$ lub ${\ Displaystyle \ theta = \ pi }$ . Zastosowanie odwrotności $,$ że jest to równoważne ${\ displaystyle y = 0}$ podczas gdy ${\ displaystyle x \ not = 0$ . Rzeczywiście, widzimy, że dla ${\ displaystyle y = 0}$ funkcja znika, z wyjątkiem pochodzenia.

Zauważ, że gdybyśmy pozwolili , pochodzenie również byłoby rozwiązaniem, chociaż nie jest to rozwiązanie $pierwotnego$ Tutaj kluczowa jest bijektywność ${\ displaystyle \ Phi}$ . Funkcja jest zawsze dodatnia ( $)$ .

Różnicowanie

Reguła łańcuchowa służy do uproszczenia skomplikowanego różniczkowania. Rozważmy na przykład problem obliczania pochodnej

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ sin (x ^ {2}).}

Niech ${\ Displaystyle y = \ sin u}$ z ${\ displaystyle u = x ^ {2}.}$ Wtedy:

{\ displaystyle {\begin{wyrównane}}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy }{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{Ta część to reguła łańcuchowa.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\ sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos (x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{wyrównane}}}

Integracja

Trudne całki można często obliczać, zmieniając zmienne; jest to możliwe dzięki regule zastępowania i jest analogiczne do użycia powyższej reguły łańcuchowej. Trudne całki można również rozwiązać, upraszczając całkę za pomocą zmiany zmiennych podanych przez odpowiednią macierz i wyznacznik jakobianu . Używanie wyznacznika Jakobiana i odpowiadającej mu zmiany zmiennej, którą on daje, jest podstawą układów współrzędnych, takich jak biegunowe, cylindryczne i sferyczne układy współrzędnych.

Zamiana formuły zmiennych ze względu na miarę Lebesgue'a

Następujące twierdzenie pozwala nam powiązać całki względem miary Lebesgue'a z równoważną całką względem miary pullback przy parametryzacji G. Dowód wynika z przybliżeń zawartości Jordana.

Załóżmy, że jest otwartym podzbiorem $Displaystyle$ $\ mathbb {R} ^ {n}}$ sol $n}}$ $\ Displaystyle G: \ Omega \ do \ mathbb {R}$ $dyfeomorfizmem$ jest .

Jeśli jest mierzalną funkcją Lebesgue'a na ${\ Displaystyle f$ to $}$ $\$ jest mierzalną Lebesgue'a na $\ Displaystyle \ Omega}$ . fa ${\ Displaystyle f \ geq 0}$ lub ${\ Displaystyle f \ w L ^ {1} (G (\ Omega), m)},$ następnie ${\ Displaystyle \ int _ {G (\ Omega)} f (x) dx = \ int _ {\ Omega} f \ circ G (x) | {\ tekst {det}} D_ {x} G | dx }$ .

Jeśli $\ Omega}$ $sol$ $i$ jest ${\ Displaystyle m (G (E)) = \ int _ {E} | {\ tekst {det}} D_ {x} G | dx}$ Lebesgue'a, to jest mierzalny Lebesgue'a, .

Jako następstwo tego twierdzenia, możemy obliczyć pochodne Radona-Nikodyma zarówno miar pullback $jak$ $pushforward$ pod .

Miara wycofania i formuła transformacji

Miara wycofania w kategoriach transformacji jest zdefiniowana jako $T$ $mu (T (A)) }$ . Formuła zmiany zmiennych dla miar wycofania to

${\ Displaystyle \ int _ {T (\ Omega)} gd \ mu = \ int _ {\ Omega} g \ circ TdT ^ {*} \mu}$ .

Miara pushforward i formuła transformacji

Miara pushforward w kategoriach transformacji jest definiowana jako $ZA$ $\ Displaystyle T_ {*} \ mu: = \ mu (T ^ {$ . Formuła zmiany zmiennych dla miar pushforward to

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} gd \ mu = \ int _ {T (\ Omega)} g \ circ ( T^{-1})dT_{*}\mu }$ .

Jako następstwo formuły zmiany zmiennych dla miary Lebesgue'a mamy to

Pochodna Radona-Nikodyma cofnięcia względem miary Lebesgue'a: ${\ Displaystyle {\ Frac {dT ^ {*} m} {dm}} (x) = | {\ tekst {det}} D_ {x} T |}$
Pochodna Radona-Nikodyma funkcji pushforward względem miary Lebesgue'a: ${\ Displaystyle {\ Frac {dT_ {*} m} {dm}} (x) = | {\ tekst {det}} D_ {x} T ^ {-1} |}$

Z którego możemy uzyskać

Wzór na zmianę zmiennych dla miary pullback: ${\ Displaystyle \ int _ {T (\ Omega)} gd \ mu = \ int _ {\ Omega} g \ circ TdT ^ {*} \ mu = \ int _ {\ Omega} g \ circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
Wzór na zamianę zmiennych dla miary pushforward: ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} gd \ mu = \ int _ {T (\ Omega)} g \ circ TdT_ {*} \ mu = \ int _ {T (\ Omega)} g \circ T|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

Równania różniczkowe

Zmiany zmiennych dla różniczkowania i całkowania są nauczane na elementarnym rachunku różniczkowym , a kroki rzadko są wykonywane w całości.

Bardzo szerokie zastosowanie zmian zmiennych jest widoczne przy rozważaniu równań różniczkowych, w których zmienne niezależne można zmieniać za pomocą reguły łańcuchowej lub zmieniać zmienne zależne, co powoduje konieczność przeprowadzenia pewnego różniczkowania. Zmiany egzotyczne, takie jak mieszanie zmiennych zależnych i niezależnych w przekształceniach punktowych i kontaktowych , mogą być bardzo skomplikowane, ale pozwalają na dużą swobodę.

Bardzo często ogólna forma zmiany jest zastępowana problemem i parametrami wybieranymi po drodze, aby jak najlepiej uprościć problem.

Skalowanie i przesuwanie

Chyba najprostszą zmianą jest skalowanie i przesuwanie zmiennych, czyli zastępowanie ich nowymi zmiennymi, które są „rozciągane” i „przesuwane” o stałe wielkości. Jest to bardzo powszechne w praktycznych zastosowaniach, aby uzyskać parametry fizyczne z problemów. Dla n- ^tego rzędu zmiana po prostu skutkuje

Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = {\ Frac {y_ {\ text{skala}}}{x_{\text{skala}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\kapelusz {y}}}{d{\kapelusz {x}}^{n }}}}

Gdzie

{\ Displaystyle x = {\ kapelusz {x}} x _ {\ tekst {skala}} + x _ {\ tekst {przesunięcie}}}

{\ Displaystyle y = {\ kapelusz {y}} y _ {\ tekst {skala}} + y_ {\ tekst {przesunięcie}}.}

Można to łatwo wykazać za pomocą reguły łańcuchowej i liniowości różniczkowania. Ta zmiana jest bardzo powszechna w praktycznych zastosowaniach, aby uzyskać parametry fizyczne z problemów, na przykład problemu z wartościami granicznymi

{\ Displaystyle \ mu {\ Frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = {\ Frac {dp} {dx}} \ quad; \ quad u (0)=u(L)=0}

opisuje równoległy przepływ płynu między płaskimi, litymi ścianami oddalonymi o odległość δ; μ $ciśnienia$ lepkość i gradient _ _ Skalowanie zmiennych staje się problemem

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} {\ kapelusz {u}}} {d {\ kapelusz {y}} ^ {2}}} = 1 \ quad ;\quad {\kapelusz {u}}(0)={\kapelusz {u}}(1)=0}

Gdzie

{\ Displaystyle y = {\ kapelusz {y}} L \ qquad {\ tekst {i}} \ qquad u = {\ kapelusz {u}} {\ Frac {L ^ {2}} {\ mu}}} {\ frak {dp}{dx}}.}

Skalowanie jest przydatne z wielu powodów. Upraszcza analizę zarówno poprzez zmniejszenie liczby parametrów, jak i po prostu upraszczając problem. Właściwe skalowanie może znormalizować zmienne, to znaczy sprawić, że będą miały sensowny zakres bez jednostek, taki jak 0 do 1. Wreszcie, jeśli problem wymaga rozwiązania numerycznego, im mniej parametrów, tym mniej obliczeń.

Pęd a prędkość

Rozważ układ równań

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} m {\ kropka {v}} i = - {\ Frac {\ częściowe H} {\ częściowe x} }\\[5pt]m{\kropka {x}}&={\frac {\częściowe H}{\częściowe v}}\end{wyrównane}}}

dla danej funkcji ${\ Displaystyle H (x, v)}$ . Masę można wyeliminować przez (trywialne) podstawienie ${\ Displaystyle \ Phi (p) = 1/m \ cdot p}$ . Oczywiście jest to mapa bijektywna od ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ do ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . Pod podstawieniem system staje się ${\ Displaystyle v = \ Phi (p)}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {p}} & = - {\ Frac {\ częściowe H} {\ częściowe x}} \\ [5pt] {\kropka {x}}&={\frac {\częściowe H}{\częściowe p}}\end{wyrównane}}}

Mechanika Lagrange'a

Biorąc pod uwagę pole siłowe, równania ruchu Newtona to ${\ Displaystyle \ varphi (t, x, v)$ }

{\ Displaystyle m {\ ddot {x}} = \ varphi (t, x, v).}

Lagrange zbadał, jak te równania ruchu zmieniają się w wyniku dowolnego podstawienia zmiennych ${\ Displaystyle x = \ Psi (t, y)}$ , ${\ Displaystyle v = {\ Frac {\ częściowe \ Psi (t, y)} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe \ psi (t, y)} {\ częściowe y}} \ cdot w. }$

Odkrył, że równania

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {L}} {\ częściowy y}} = {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t} }{\frac {\częściowy {L}}{\częściowy {w}}}}

$,$ Newtona dla funkcji gdzie T a V energią potencjalną.

W rzeczywistości, gdy podstawienie jest dobrze dobrane (wykorzystując na przykład symetrie i ograniczenia układu), równania te są znacznie łatwiejsze do rozwiązania niż równania Newtona we współrzędnych kartezjańskich.

Zobacz też