Historia rachunku różniczkowego

Rachunek różniczkowy , pierwotnie nazywany rachunkiem nieskończenie małym , jest dyscypliną matematyczną skupiającą się na granicach , ciągłości , pochodnych , całkach i szeregach nieskończonych . Wiele elementów rachunku różniczkowego pojawiło się w starożytnej Grecji, następnie w Chinach i na Bliskim Wschodzie, a jeszcze później ponownie w średniowiecznej Europie i Indiach. Rachunek nieskończenie mały został opracowany pod koniec XVII wieku przez Izaaka Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza niezależnie od siebie. Spór o pierwszeństwo doprowadził do Kontrowersje dotyczące rachunku różniczkowego Leibniza-Newtona , które trwały aż do śmierci Leibniza w 1716 r. Rozwój rachunku różniczkowego i jego zastosowań w naukach trwa do dnia dzisiejszego.

Etymologia

W edukacji matematycznej rachunek różniczkowy oznacza kursy elementarnej analizy matematycznej , które są głównie poświęcone badaniu funkcji i granic. Słowo rachunek różniczkowy to po łacinie „mały kamyk” ( zdrobnienie od calx istnieje oznaczające „kamień”), znaczenie, które nadal w medycynie . Bo takich kamyków używano do odliczania odległości, liczenia głosów i robienia liczydła arytmetyki, słowo to zaczęło oznaczać metodę obliczeń. W tym sensie używano go w języku angielskim przynajmniej już w 1672 r., kilka lat przed publikacjami Leibniza i Newtona.

Oprócz rachunku różniczkowego i rachunku całkowego termin ten jest również szeroko stosowany do nazywania określonych metod obliczeniowych. Przykłady tego obejmują rachunek zdań w logice, rachunek wariacyjny w matematyce, rachunek procesów w informatyce i rachunek szczęścia w filozofii.

Wcześni prekursorzy rachunku różniczkowego

Zobacz też: Historia matematyki

Starożytny

Archimedes wykorzystał metodę wyczerpania do obliczenia pola wewnątrz koła

Egipt i Babilonia

Zobacz także: matematyka starożytnego Egiptu i matematyka babilońska

Okres starożytny wprowadził niektóre idee, które doprowadziły do ​​rachunku całkowego , ale wydaje się, że nie rozwinął tych idei w sposób rygorystyczny i systematyczny. Obliczenia objętości i powierzchni, jeden cel rachunku całkowego, można znaleźć w egipskim papirusie moskiewskim (ok. 1820 pne), ale wzory podane są tylko dla konkretnych liczb, niektóre są tylko w przybliżeniu prawdziwe i nie pochodzą z dedukcji rozumowanie. Babilończycy mogli odkryć regułę trapezów podczas astronomicznych obserwacji Jowisza .

Grecja

Zobacz też: matematyka grecka

Archimedes zastosował metodę wyczerpania do obliczenia pola pod parabolą w swoim dziele Kwadratura paraboli .

Od czasów matematyki greckiej Eudoksos (ok. 408–355 pne) do obliczania powierzchni i objętości stosował metodę wyczerpania , która zapowiada pojęcie granicy, podczas gdy Archimedes (ok. 287–212 pne) rozwinął tę ideę , wymyślając heurystyki , które przypominają metody rachunku całkowego. Greckim matematykom przypisuje się również znaczące wykorzystanie nieskończenie małych . Demokryt jest pierwszą odnotowaną osobą, która poważnie rozważała podział obiektów na nieskończoną liczbę przekrojów, ale jego niezdolność do racjonalizacji dyskretnych przekrojów z gładkim nachyleniem stożka uniemożliwiła mu zaakceptowanie tego pomysłu. Mniej więcej w tym samym czasie Zenon z Elei jeszcze bardziej zdyskredytował nieskończenie małe, wyrażając paradoksy , które pozornie tworzą.

Archimedes rozwinął tę metodę dalej, jednocześnie wymyślając metody heurystyczne, które przypominają nieco współczesne koncepcje w swoich Kwadratach paraboli , Metodach oraz O kuli i cylindrze . Nie należy jednak sądzić, że nieskończenie małe były w tym czasie stawiane na rygorystycznych podstawach. Tylko wtedy, gdy zostało ono uzupełnione odpowiednim dowodem geometrycznym, greccy matematycy uznawali twierdzenie za prawdziwe. Dopiero w XVII wieku metoda została sformalizowana przez Cavalieriego jako metoda niepodzielnych i ostatecznie włączona przez Newtona w ogólne ramy rachunku całkowego . Archimedes był pierwszym, który znalazł styczną do krzywej innej niż okrąg, metodą zbliżoną do rachunku różniczkowego. Badając spiralę, podzielił ruch punktu na dwie składowe, jedną składową ruchu promieniowego i jedną składową ruchu kołowego, a następnie kontynuował dodawanie tych dwóch ruchów składowych razem, znajdując w ten sposób styczną do krzywej. Pionierzy rachunku różniczkowego, tacy jak Isaac Barrow i Johann Bernoulli, byli pilnymi uczniami Archimedesa; patrz np. CS Roero (1983).

Chiny

Zobacz też: chińska matematyka

Metoda wyczerpania została niezależnie wynaleziona w Chinach przez Liu Hui w IV wieku naszej ery w celu znalezienia pola koła. W V wieku Zu Chongzhi opracował metodę, którą później nazwano zasadą Cavalieriego , aby znaleźć objętość kuli .

Średniowieczny

Bliski Wschód

Zobacz także: Matematyka w średniowiecznym islamie

Ibn al-Haytham, XI-wieczny arabski matematyk i fizyk

Na Bliskim Wschodzie Hasan Ibn al-Haytham , zlatynizowany jako Alhazen ( ok. 965 – ok. 1040 n.e.) wyprowadził wzór na sumę potęg czwartych . Uzyskane wyniki wykorzystał do przeprowadzenia czegoś, co obecnie można by nazwać całkowaniem , gdzie wzory na sumy kwadratów i potęg czwartych pozwoliły mu obliczyć objętość paraboloidy . Roshdi Rashed argumentował, że XII-wieczny matematyk Sharaf al-Dīn al-Tūsī musiał użyć pochodnej wielomianów sześciennych w swoim Traktat o równaniach . Wniosek Rasheda został zakwestionowany przez innych uczonych, którzy argumentują, że mógł on uzyskać swoje wyniki innymi metodami, które nie wymagają znajomości pochodnej funkcji.

Indie

Zobacz także: matematyka indyjska

Niektóre idee dotyczące rachunku różniczkowego pojawiły się później w matematyce indyjskiej, w szkole astronomii i matematyki w Kerali . Madhava z Sangamagrama w XIV wieku, a później matematycy ze szkoły Kerala, określili składniki rachunku różniczkowego, takie jak szereg Taylora i przybliżenia szeregów nieskończonych . Jednak nie połączyli wielu różnych pomysłów w ramach dwóch jednoczących tematów pochodnej i całki , nie pokazali związku między nimi i nie zmienili rachunku różniczkowego w potężne narzędzie do rozwiązywania problemów, które mamy dzisiaj.

Europa

Matematyczne badanie ciągłości zostało wznowione w XIV wieku przez oksfordzkich kalkulatorów i francuskich współpracowników, takich jak Nicole Oresme . Udowodnili „ twierdzenie Mertona o średniej prędkości ”: że ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym pokonuje taką samą odległość, jak ciało poruszające się ze stałą prędkością, którego prędkość jest równa połowie prędkości końcowej ciała przyspieszanego.

Nowoczesne prekursory

całki

Podstawę rachunku całkowego stworzyło dzieło Johannesa Keplera Stereometrica Doliorum opublikowane w 1615 roku. Kepler opracował metodę obliczania powierzchni elipsy poprzez dodanie długości wielu promieni wykreślonych z ogniska elipsy.

Znaczącym dziełem był traktat, wywodzący się z metod Keplera, opublikowany w 1635 r. przez Bonaventurę Cavalieri na temat jego metody niepodzielnych . Twierdził, że objętości i powierzchnie należy obliczać jako sumy objętości i powierzchni nieskończenie cienkich przekrojów. Odkrył wzór kwadraturowy Cavalieriego ^, który dał pole pod krzywymi xn wyższego stopnia. Zostało to wcześniej obliczone w podobny sposób dla paraboli przez Archimedesa w The Method , ale uważa się, że traktat ten zaginął w XIII wieku i został ponownie odkryty dopiero na początku XX wieku, więc byłby nieznany Cavalieri. Praca Cavalieriego nie była dobrze szanowana, ponieważ jego metody mogły prowadzić do błędnych wyników, a nieskończenie małe ilości, które wprowadził, były początkowo haniebne.

Torricelli rozszerzył pracę Cavalieriego na inne krzywe, takie jak cykloida , a następnie wzór został uogólniony na potęgi ułamkowe i ujemne przez Wallisa w 1656 r. W traktacie z 1659 r. Fermatowi przypisuje się genialną sztuczkę do bezpośredniej oceny całki dowolnej funkcji potęgowej. Fermat uzyskał również technikę znajdowania środków ciężkości różnych figur płaskich i bryłowych, co wpłynęło na dalsze prace nad kwadraturą.

Pochodne

W XVII wieku europejscy matematycy Isaac Barrow , René Descartes , Pierre de Fermat , Blaise Pascal , John Wallis i inni omawiali ideę pochodnej . W szczególności w Methodus ad disquirendam maximam et minima oraz w De tangentibus linearum curvarum wydanym w 1636 r. Fermat wprowadził pojęcie adekwatności , co reprezentowało równość do nieskończenie małego terminu błędu. Metodę tę można było wykorzystać do wyznaczenia maksimów, minimów i stycznych do różnych krzywych i była ona ściśle związana z różniczkowaniem.

Isaac Newton napisał później, że jego własne wczesne pomysły dotyczące rachunku różniczkowego wywodziły się bezpośrednio ze „sposobu rysowania stycznych przez Fermata”.

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego

Formalne badanie rachunku różniczkowego połączyło nieskończenie małe Cavalieriego z rachunkiem różnic skończonych opracowanym w Europie mniej więcej w tym samym czasie i adekwatnością Fermata. Połączenie zostało osiągnięte przez Johna Wallisa , Isaaca Barrowa i Jamesa Gregory'ego , dwóch ostatnich udowadniających poprzedników drugiego fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego około 1670 roku.

James Gregory , pod wpływem wkładu Fermata zarówno w styczność, jak i kwadraturę, był wtedy w stanie udowodnić ograniczoną wersję drugiego podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego , że całki można obliczyć za pomocą dowolnej funkcji pierwotnej.

Pierwszy pełny dowód fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego przedstawił Isaac Barrow .

Inne zmiany

Zacieniony obszar jednej jednostki miary kwadratowej, gdy x = 2,71828... Odkrycie liczby Eulera e i wykorzystanie jej z funkcjami e ^x i logarytmem naturalnym zakończyło teorię całkowania rachunku funkcji wymiernych.

Jednym z warunków ustanowienia rachunku funkcji zmiennej rzeczywistej było znalezienie funkcji pierwotnej dla funkcji wymiernej ${\ Displaystyle f (x) \ = \ {\ Frac {1} {x}}.}$ Ten problem można sformułować jako kwadraturę prostokątnej hiperboli xy = 1. W 1647 roku Gregoire de Saint-Vincent zauważył, że wymagana funkcja F zadowolony ${\ Displaystyle F (st) = F (s) + F (t)}$ tak, że ciąg geometryczny stał się pod F ciągiem arytmetycznym . AA de Sarasa powiązał tę cechę ze współczesnymi algorytmami zwanymi logarytmami , które oszczędzały arytmetykę, przekształcając mnożenie w dodawanie. Więc F był najpierw znany jako logarytm hiperboliczny . Po Eulera wykorzystana e = 2,71828..., a F została zidentyfikowana jako funkcja odwrotna funkcji wykładniczej , stała się logarytmem naturalnym , spełniającym ${\ Displaystyle {\ Frac {dF} {dx}} \ = \ {\ Frac {1} {x}}.}$

Pierwszy dowód twierdzenia Rolle'a został podany przez Michela Rolle'a w 1691 roku przy użyciu metod opracowanych przez holenderskiego matematyka Johanna van Waverena Hudde'a . Twierdzenie o wartości średniej w jego współczesnej formie zostało sformułowane przez Bernarda Bolzano i Augustina-Louisa Cauchy'ego (1789–1857) również po powstaniu nowoczesnego rachunku różniczkowego. Ważny wkład wnieśli również Barrow , Huygens i wielu innych.

Newtona i Leibniza

Izaaka Newtona

Gottfrieda Leibniza

Zobacz także: kontrowersje dotyczące rachunku różniczkowego Leibniza-Newtona

Przed Newtonem i Leibnizem słowo „rachunek różniczkowy” odnosiło się do dowolnego zbioru matematyki, ale w następnych latach „rachunek różniczkowy” stał się popularnym określeniem dziedziny matematyki opartej na ich spostrzeżeniach. Newton i Leibniz, opierając się na tej pracy, niezależnie rozwinęli otaczającą teorię rachunku nieskończenie małych pod koniec XVII wieku. Ponadto Leibniz wykonał wiele pracy, opracowując spójną i użyteczną notację i koncepcje. Newton dostarczył kilku najważniejszych zastosowań fizyki, zwłaszcza rachunku całkowego .

W połowie XVII wieku matematyka europejska zmieniła swój główny skarbiec wiedzy. W porównaniu z poprzednim stuleciem, w którym punktem wyjścia badań była matematyka hellenistyczna , Newton, Leibniz i jemu współcześni coraz częściej zwracali się ku pracom bardziej nowoczesnych myślicieli.

Newton zajął się rachunkiem różniczkowym w ramach swoich badań w fizyce i geometrii . Postrzegał rachunek różniczkowy jako naukowy opis generowania ruchu i wielkości . Dla porównania, Leibniz skupił się na problemie stycznym i doszedł do przekonania, że ​​rachunek różniczkowy jest metafizycznym wyjaśnieniem zmiany. Co ważne, sednem ich spostrzeżeń było sformalizowanie właściwości odwrotnych między całką a różniczką funkcji . To spostrzeżenie było przewidywane przez ich poprzedników, ale to oni jako pierwsi pomyśleli o rachunku różniczkowym jako systemie, w którym stworzono nową retorykę i terminy opisowe.

Niuton

Newton nie ukończył żadnej ostatecznej publikacji formalizującej jego rachunek fluktuacyjny ; raczej wiele jego odkryć matematycznych zostało przekazanych w korespondencji, mniejszych artykułach lub jako elementy osadzone w jego innych ostatecznych kompilacjach, takich jak Principia i Opticks . Newton rozpoczął naukę matematyki jako wybrany spadkobierca Isaaca Barrowa w Cambridge . Jego zdolności zostały rozpoznane wcześnie i szybko nauczył się aktualnych teorii. W 1664 roku Newton wniósł swój pierwszy ważny wkład, rozwijając twierdzenie o dwumianach , które rozszerzył o wykładniki ułamkowe i ujemne . Newtonowi udało się rozszerzyć stosowalność twierdzenia o dwumianach, stosując algebrę wielkości skończonych do analizy szeregów nieskończonych . Wykazał chęć postrzegania nieskończonych szeregów nie tylko jako przybliżonych narzędzi, ale także jako alternatywnych form wyrażania terminu.

Wiele krytycznych spostrzeżeń Newtona miało miejsce w latach zarazy 1665–1666, które później opisał jako „kwiecień mojego wieku pod względem wynalazczości i matematyki oraz filozofii [przyrodniczej] bardziej niż kiedykolwiek wcześniej”. To właśnie podczas jego izolacji wywołanej przez dżumę pierwsza pisemna koncepcja rachunku strumieniowego została zapisana w niepublikowanym De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas . W tym artykule Newton określił pole pod krzywą najpierw obliczając chwilowe tempo zmian, a następnie ekstrapolując całkowity obszar. Zaczął od rozumowania na temat nieskończenie małego trójkąta, którego pole jest funkcją x i y . Następnie doszedł do wniosku, że nieskończenie mały wzrost odciętej stworzy nową formułę, w której x = x + o (co ważne, o to litera, a nie cyfra 0). Następnie ponownie obliczył pole za pomocą twierdzenia o dwumianach, usunął wszystkie wielkości zawierające literę o i ponownie utworzył wyrażenie algebraiczne dla tego obszaru. Co znamienne, Newton „wymazałby” wtedy ilości zawierające o , ponieważ wyrażenia „pomnożone przez to będą niczym w stosunku do reszty”.

W tym momencie Newton zaczął zdawać sobie sprawę z centralnej właściwości inwersji. Stworzył wyrażenie na pole pod krzywą, rozważając chwilowy wzrost w punkcie. W efekcie podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego zostało wbudowane w jego obliczenia. Podczas gdy jego nowa formuła oferowała niesamowity potencjał, Newton doskonale zdawał sobie wówczas sprawę z jej logicznych ograniczeń. Przyznaje, że „błędów w matematyce nie należy lekceważyć, bez względu na to, jak małe” i że to, co osiągnął, zostało „raczej krótko wyjaśnione niż dokładnie zademonstrowane”.

W celu nadania rachunkom rachunku różniczkowego bardziej rygorystycznych wyjaśnień i ram, Newton skompilował w 1671 r. Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . W tej książce ścisły empiryzm Newtona ukształtował i zdefiniował jego rachunek fluktuacyjny. Nieformalnie wykorzystywał ruch chwilowy i nieskończenie małe. Używał matematyki jako metodyki narzędzie do wyjaśniania świata fizycznego. Podstawą zrewidowanego rachunku Newtona stała się ciągłość; jako taki na nowo zdefiniował swoje obliczenia w kategoriach ciągłego płynnego ruchu. Dla Newtona zmienne wielkości nie są agregatami nieskończenie małych elementów, ale są generowane przez niezaprzeczalny fakt ruchu. Podobnie jak w przypadku wielu jego prac, Newton opóźnił publikację. Methodus Fluxionum zostało opublikowane dopiero w 1736 roku.

Newton próbował uniknąć używania nieskończenie małych, tworząc obliczenia oparte na stosunkach zmian. W Methodus Fluxionum zdefiniował tempo generowanych zmian jako fluxion , które reprezentował kropkowaną literą, a generowaną ilość jako płynną . Na przykład, jeśli i ${\ Displaystyle {$$}}$$}}$ płynne, to i ${\ Displaystyle {\ kropka$${y$ są ich odpowiednimi strumieniami. Ten zrewidowany rachunek stosunków był nadal rozwijany i został dojrzale sformułowany w tekście De Quadratura Curvarum z 1676 r., W którym Newton zdefiniował współczesną pochodną jako ostateczny stosunek zmian, który zdefiniował jako stosunek między ulotnymi przyrostami (stosunek strumieni ) wyłącznie w danym momencie. Zasadniczo ostateczny stosunek jest stosunkiem, w jakim przyrosty znikają w nicość. Co ważne, Newton wyjaśnił istnienie ostatecznego stosunku, odwołując się do ruchu;

„Przez prędkość ostateczną rozumie się bowiem to, z jaką ciało jest poruszane, ani przed osiągnięciem ostatniego miejsca, gdy ruch ustanie, ani później, ale w tej samej chwili, gdy przybywa… ostateczny stosunek wielkości ulotnych wynosi należy rozumieć stosunek ilości nie przed ich zniknięciem, nie po, ale z którym znikają”

Newton rozwinął swój rachunek strumieniowy, próbując uniknąć nieformalnego użycia nieskończenie małych w swoich obliczeniach.

Leibniza

Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis , Acta Eruditorum, Lipsk, październik 1684. Pierwsza strona publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego.

Wykresy, do których odwołuje się artykuł Leibniza z 1684 roku

Podczas gdy Newton rozpoczął rozwój swojego rachunku strumieniowego w latach 1665–1666, jego odkrycia zostały szeroko rozpowszechnione dopiero później. W międzyczasie Leibniz również starał się stworzyć swój rachunek różniczkowy. W porównaniu z Newtonem, który zaczął uczyć się matematyki w młodym wieku, Leibniz rozpoczął rygorystyczne studia matematyczne z dojrzałym intelektem. Był erudytą , a jego zainteresowania intelektualne i osiągnięcia dotyczyły metafizyki , prawa , ekonomii , polityki , logiki i matematyki . Aby zrozumieć rozumowanie Leibniza w rachunku różniczkowym, należy pamiętać o jego pochodzeniu. W szczególności jego metafizyka , która opisywała wszechświat jako monadologię , oraz jego plany stworzenia precyzyjnej logiki formalnej, dzięki której „ogólna metoda, w której wszystkie prawdy rozumu zostałyby sprowadzone do pewnego rodzaju obliczeń”.

W 1672 roku Leibniz spotkał matematyka Huygensa , który przekonał Leibniza do poświęcenia znacznej ilości czasu na naukę matematyki. Do 1673 roku zaczął czytać Traité des Sinus du Quarte Cercle Pascala i właśnie podczas swoich w dużej mierze samodydaktycznych badań Leibniz powiedział , że „zapaliło się światło”. Podobnie jak Newton, Leibniz postrzegał styczną jako stosunek, ale deklarował, że jest to po prostu stosunek między rzędnymi a odciętymi . Kontynuował to rozumowanie, argumentując, że całka była w rzeczywistości sumą rzędnych nieskończenie małych przedziałów na odciętych; w efekcie suma nieskończonej liczby prostokątów. Z tych definicji odwrotna zależność lub różniczka stała się jasna i Leibniz szybko zdał sobie sprawę z potencjału stworzenia zupełnie nowego systemu matematycznego. Tam, gdzie Newton w ciągu swojej kariery stosował kilka podejść oprócz podejścia wykorzystującego nieskończenie małe , Leibniz uczynił z tego kamień węgielny swojej notacji i rachunku różniczkowego.

W rękopisach z okresu od 25 października do 11 listopada 1675 r. Leibniz zapisał swoje odkrycia i eksperymenty z różnymi formami zapisu. Był doskonale świadomy używanych terminów notacyjnych, a jego wcześniejsze plany stworzenia precyzyjnej symboliki logicznej stały się oczywiste. Ostatecznie Leibniz opisał nieskończenie małe przyrosty odciętych i rzędnych dx i dy , $całki$ także sumę nieskończenie wielu nieskończenie cienkich prostokątów jako długie s (∫ ), które stało się obecnym symbolem .

Chociaż notacja Leibniza jest używana we współczesnej matematyce, jego podstawa logiczna różniła się od naszej obecnej. Leibniz obejmował nieskończenie małe i pisał obszernie, aby „nie robić z nieskończenie małej tajemnicy, jak to zrobił Pascal”. Według Gillesa Deleuze'a , zera Leibniza „są niczym, ale nie są absolutnymi niczym, są odpowiednio niczym” (cytując tekst Leibniza „Uzasadnienie rachunku nieskończenie małych przez rachunek algebry zwykłej”). Alternatywnie, definiuje je jako „mniej niż jakakolwiek dana ilość”. Dla Leibniza świat był zbiorem nieskończenie małych punktów i brak naukowych dowodów na ich istnienie nie przeszkadzał mu. Nieskończenie małe dla Leibniza były wielkościami idealnymi innego typu niż liczby znaczące. Prawdę o ciągłości udowodniło samo istnienie. Dla Leibniza zapewniona była zasada ciągłości, a tym samym ważność jego rachunku różniczkowego. Trzysta lat po pracy Leibniza, Abraham Robinson wykazał, że używanie nieskończenie małych wielkości w rachunku różniczkowym może mieć solidne podstawy.

Dziedzictwo

Powstanie rachunku różniczkowego wyróżnia się jako wyjątkowy moment w matematyce. Rachunek różniczkowy jest matematyką ruchu i zmian i jako taki, jego wynalezienie wymagało stworzenia nowego systemu matematycznego. Co ważne, Newton i Leibniz nie stworzyli tego samego rachunku różniczkowego i nie wymyślili rachunku różniczkowego współczesnego. Chociaż obaj byli zaangażowani w proces tworzenia systemu matematycznego do radzenia sobie ze zmiennymi wielkościami, ich elementarna podstawa była inna. Dla Newtona zmiana była wielkością zmienną w czasie, a dla Leibniza była to różnica obejmująca sekwencję nieskończenie bliskich wartości. Warto zauważyć, że terminy opisowe, które każdy system stworzył w celu opisania zmiany, były inne.

Historycznie toczyło się wiele dyskusji na temat tego, czy to Newton, czy Leibniz jako pierwszy „wynalazł” rachunek różniczkowy. Ten argument, kontrowersje dotyczące rachunku różniczkowego Leibniza i Newtona , z udziałem Leibniza, który był Niemcem, i Anglika Newtona, doprowadziły do ​​trwającego ponad sto lat rozłamu w europejskiej społeczności matematycznej. Leibniz jako pierwszy opublikował swoje badania; jednak dobrze wiadomo, że Newton rozpoczął swoją pracę kilka lat przed Leibnizem i rozwinął już teorię stycznych, zanim Leibniz zainteresował się tą kwestią. Nie wiadomo, jak bardzo mogło to wpłynąć na Leibniza. Pierwsze oskarżenia wysuwali studenci i zwolennicy obu wielkich uczonych na przełomie wieków, ale po 1711 roku obaj zaangażowali się osobiście, oskarżając się nawzajem o plagiat .

Spór o pierwszeństwo doprowadził do oddzielenia anglojęzycznych matematyków od matematyków z Europy kontynentalnej na wiele lat. Dopiero w latach dwudziestych XIX wieku dzięki wysiłkom Towarzystwa Analitycznego rachunek analityczny Leibniza został zaakceptowany w Anglii. Dziś zarówno Newtonowi, jak i Leibnizowi przypisuje się niezależne opracowanie podstaw rachunku różniczkowego. Jednak to Leibnizowi przypisuje się nadanie nowej dyscyplinie nazwy, pod którą nazywa się ją dzisiaj: „rachunek różniczkowy”. Newton nazwał to „nauką o przepływach i fluktuacjach ”.

Praca zarówno Newtona, jak i Leibniza znajduje odzwierciedlenie w notacji używanej dzisiaj. Newton $pochodnej$ notację funkcji fa . _ Leibniz wprowadził symbol $całki$ i zapisał pochodną funkcji y zmiennej x as , z których oba są $\ Frac {dy} {dx}}}$ { nadal w użyciu.

Od czasów Leibniza i Newtona wielu matematyków przyczyniło się do ciągłego rozwoju rachunku różniczkowego. Jedna z pierwszych i najbardziej kompletnych prac dotyczących zarówno rachunku nieskończenie małych, jak i rachunku całkowego została napisana w 1748 roku przez Marię Gaetana Agnesi .

Maria Gaetana Agnesi

Rozwój

Rachunek wariacyjny

rachunek wariacyjny zaczyna się od problemu Johanna Bernoulliego (1696). Natychmiast zwrócił na to uwagę Jakoba Bernoulliego , ale Leonhard Euler jako pierwszy rozwinął ten temat. Jego wkład rozpoczął się w 1733 r., a jego Elementa Calculi Variationum nadało nauce nazwę. Joseph Louis Lagrange wniósł duży wkład w teorię, a Adrien-Marie Legendre (1786) ustanowił metodę, nie do końca zadowalającą, rozróżniania maksimów i minimów. Do tej dyskryminacji przyczynili się Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michaił Wasiljewicz Ostrogradski (1834) i Carl Gustav Jakob Jacobi (1837). Ważną ogólną pracą jest praca Sarrusa (1842), która została skondensowana i ulepszona przez Augustina Louisa Cauchy'ego (1844). Inne cenne traktaty i pamiętniki napisali Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfreda Clebscha (1858) i Carla (1885), ale być może najważniejszym dziełem stulecia jest dzieło Karla Weierstrassa . Można stwierdzić, że jego kurs teorii był pierwszym, który oparł rachunek różniczkowy na solidnych i rygorystycznych podstawach.

Metody operacyjne

Główny artykuł: Rachunek operacyjny

Antoine Arbogast (1800) jako pierwszy oddzielił symbol operacji od symbolu ilości w równaniu różniczkowym. Wydaje się , że Francois-Joseph Servois (1814) jako pierwszy podał prawidłowe reguły na ten temat. Charles James Hargreave (1848) zastosował te metody w swoich wspomnieniach o równaniach różniczkowych, a George Boole swobodnie je stosował. Hermann Grassmann i Hermann Hankel świetnie wykorzystali tę teorię, pierwszy w badaniu równań , drugi w swojej teorii liczb zespolonych .

całki

Niels Henrik Abel jako pierwszy rozważył w sposób ogólny pytanie, jakie równania różniczkowe można scałkować w skończonej postaci za pomocą funkcji zwyczajnych, badanie rozszerzone przez Liouville'a . Cauchy wcześnie zajął się ogólną teorią wyznaczania całek oznaczonych , a przedmiot ten był widoczny w XIX wieku. Całki Frullaniego , praca Davida Bierensa de Haana nad teorią i jego rozbudowane tablice, Lejeune Dirichlet wykłady zawarte w traktacie Meyera oraz liczne wspomnienia Legendre'a , Poissona , Plany , Raabe'a , Sohnckego , Schlömilcha , Elliotta , Leudesdorfa i Kroneckera należą do godnych uwagi wkładów.

Całki Eulera zostały najpierw zbadane przez Eulera , a następnie przez Legendre'a, przez którego zostały sklasyfikowane jako całki Eulera pierwszego i drugiego gatunku w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n-1} (1-x) ^ {n-1} \, dx }$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {n-1} \, dx}$

chociaż nie były to dokładne formy badań Eulera.

Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą :

$\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {n-1} dx = (n-1) !,}$

ale całka jest zbieżna dla wszystkich dodatnich $rzeczywistych$ i definiuje analityczną kontynuację funkcji silni na całej płaszczyźnie zespolonej , z wyjątkiem biegunów zerowych i ujemnych liczb całkowitych. Legendre przypisał mu symbol i teraz nazywa się $gamma$ funkcją . Oprócz tego, że jest analityczny w stosunku do dodatnich liczb rzeczywistych ma również wyjątkową właściwość definiującą ⁺ , ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ log \ Gamma}$ jest wypukła , co estetycznie uzasadnia tę analityczną kontynuację funkcji silni w stosunku do jakiejkolwiek innej analitycznej kontynuacji. Lejeune Dirichlet wniósł do tematu ważne twierdzenie (Liouville, 1839), które zostało opracowane przez Liouville'a , Catalończyka , Leslie Ellisa i innych. Raabe (1843–44), Bauer (1859) i Gudermann (1845) pisali o ocenie ${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$ i ${\ Displaystyle \ log \ Gamma (x)}$ . Wielki stół Legendre'a pojawił się w 1816 roku.

Aplikacje

Zastosowanie rachunku nieskończenie małych do problemów w fizyce i astronomii było współczesne początkom nauki. Przez cały XVIII wiek mnożyły się te zastosowania, aż u jego schyłku Laplace i Lagrange przenieśli cały zakres badań sił do sfery analizy. Lagrange'owi (1773) zawdzięczamy wprowadzenie teorii potencjału do dynamiki, chociaż nazwa „ funkcja potencjału ” i podstawowe wspomnienie przedmiotu zawdzięczamy Zielony (1827, wydrukowany w 1828). Nazwa „ potencjał ” pochodzi od Gaussa (1840), a rozróżnienie między potencjałem a funkcją potencjalną — od Clausiusa . Z jego rozwojem związane są nazwiska Lejeune Dirichleta , Riemanna , von Neumanna , Heinego , Kroneckera , Lipschitza , Christoffela , Kirchhoffa , Beltramiego i wielu czołowych fizyków stulecia.

W tym artykule niemożliwe jest omówienie wielkiej różnorodności innych zastosowań analizy do problemów fizycznych. Wśród nich są badania Eulera nad wibrującymi akordami; Sophie Germain o elastycznych membranach; Poisson, Lamé , Saint-Venant i Clebsch o elastyczności ciał trójwymiarowych; Fourier o dyfuzji ciepła ; Fresnel o świetle ; Maxwella , Helmholtza i Hertza _ elektryczność ; Hansen, Hill i Gyldén o astronomii ; Maxwell o sferycznych harmonicznych ; Lord Rayleigh o akustyce ; oraz wkład Lejeune Dirichleta, Webera , Kirchhoffa , F. Neumanna , Lorda Kelvina , Clausiusa , Bjerknesa , MacCullagha i Fuhrmanna do fizyki w ogóle. Szczególnie należy wspomnieć o pracach Helmholtza, który wniósł wkład w teorie dynamiki, elektryczności itp. i wykorzystał swoje wielkie zdolności analityczne do podstawowych aksjomatów mechaniki, jak również do tych z czystej matematyki.

Co więcej, rachunek nieskończenie mały został wprowadzony do nauk społecznych, poczynając od ekonomii neoklasycznej . Dziś jest cennym narzędziem ekonomii głównego nurtu.

Zobacz też

• Geometria analityczna
• Historia logarytmów
• Historia matematyki
• Rachunek niestandardowy

Dalsza lektura

•   Roero, CS (2005). „Gottfried Wilhelm Leibniz, pierwsze trzy artykuły o rachunku różniczkowym (1684, 1686, 1693)” . W Grattan-Guinness, I. (red.). Przełomowe pisma w zachodniej matematyce 1640–1940 . Elsevier. s. 46–58. ISBN 978-0-444-50871-3 .
• Roero, CS (1983). „Jakob Bernoulli, uważny student twórczości Archimedesa: notatki na marginesie wydania Barrowa”. Torebka. Historia Sci. Mata . 3 (1): 77–125.
• Boyer, Carl (1959). Historia rachunku różniczkowego i jego rozwój koncepcyjny . Nowy Jork: Dover Publications. Publikacja książki z 1939 r. (drugi druk w 1949 r.) pod innym tytułem.
•   Calinger, Ronald (1999). Kontekstowa historia matematyki . Toronto: Prentice Hall. ISBN 978-0-02-318285-3 .
•   Reyes, Mitchell (2004). „Retoryka w matematyce: Newton, Leibniz, rachunek różniczkowy i retoryczna siła nieskończoności”. Kwartalnik przemówień . 90 (2): 159–184. doi : 10.1080/0033563042000227427 . S2CID 145802382 .
•   Grattan-Guinness, Ivor (2000). Tęcza matematyki: historia nauk matematycznych (wyd. 1 pbk). Nowy Jork: WW Norton. ISBN 978-0393320305 . Rozdziały 5 i 6
• Hoffman, Ruth Irene (1937). O rozwoju i zastosowaniu koncepcji rachunku nieskończenie małych przed Newtonem i Leibnizem (mgr). Uniwersytet Kolorado.

Linki zewnętrzne

• Historia rachunku różniczkowego w archiwum The MacTutor History of Mathematics , 1996.
• Najwcześniejsze znane zastosowania niektórych słów matematyki: rachunek różniczkowy i analiza
• Newton Papers, Biblioteka Cyfrowa Uniwersytetu Cambridge
• (w języku angielskim i arabskim) The Excursion of Calculus , 1772