Cyfra numeryczna

Dziesięć cyfr cyfr arabskich w kolejności wartości.

Cyfra numeryczna (często skracana do samej cyfry ) to pojedynczy symbol używany samodzielnie (np. „2”) lub w kombinacjach (np. „25”) do reprezentowania liczb w pozycyjnym systemie liczbowym. Nazwa „cyfra” wzięła się stąd, że dziesięć cyfr ( łac. digiti oznaczające palce) na dłoniach odpowiada dziesięciu symbolom systemu liczbowego o wspólnej podstawie 10 , czyli cyfrom dziesiętnym (starożytny łaciński przymiotnik decem oznaczający dziesięć).

Dla danego systemu liczbowego o podstawie liczby całkowitej , wymagana liczba różnych cyfr jest określona przez wartość bezwzględną podstawy. Na przykład system dziesiętny (podstawa 10) wymaga dziesięciu cyfr (od 0 do 9), podczas gdy system dwójkowy (podstawa 2) wymaga dwóch cyfr (0 i 1).

Przegląd

W podstawowym systemie cyfrowym liczba jest ciągiem cyfr, które mogą mieć dowolną długość. Każda pozycja w sekwencji ma wartość miejsca , a każda cyfra ma wartość. Wartość cyfry jest obliczana przez pomnożenie każdej cyfry w sekwencji przez jej wartość miejsca i zsumowanie wyników.

Wartości cyfrowe

Każda cyfra w systemie liczbowym reprezentuje liczbę całkowitą. Na przykład w systemie dziesiętnym cyfra „1” reprezentuje liczbę całkowitą jeden , aw systemie szesnastkowym litera „A” reprezentuje liczbę dziesięć . System liczb pozycyjnych ma jedną unikalną cyfrę dla każdej liczby całkowitej od zera do podstawy systemu liczbowego , ale z wyłączeniem .

Zatem w pozycyjnym systemie dziesiętnym liczby od 0 do 9 można wyrazić za pomocą odpowiednich cyfr od „0” do „9” na skrajnej prawej pozycji „jednostek”. Liczbę 12 można wyrazić cyfrą „2” w pozycji jedności i cyfrą „1” w pozycji „dziesiątek”, na lewo od „2”, natomiast liczbę 312 można wyrazić trzema cyframi: „3” w pozycji „setki”, „1” w pozycji „dziesiątki” i „2” w pozycji „jednostki”.

Obliczanie wartości miejsc

System liczb dziesiętnych wykorzystuje separator dziesiętny , zwykle kropkę w języku angielskim lub przecinek w innych językach europejskich , do oznaczenia „miejsca jedynego” lub „miejsca jednostek”, które ma wartość miejsca jeden. Każde kolejne miejsce na lewo od tego ma wartość miejsca równą wartości miejsca poprzedniej cyfry pomnożonej przez podstawę . Podobnie każde kolejne miejsce na prawo od separatora ma wartość miejsca równą wartości miejsca poprzedniej cyfry podzielonej przez podstawę. Na przykład w cyfrze 10.34 (zapisane w podstawie 10 ),

0 znajduje się bezpośrednio na lewo od separatora, więc znajduje się w miejscu jedności lub jedności i jest nazywany cyfrą jedności lub cyfrą jedności ;

1 na lewo od miejsca jedności znajduje się na miejscu dziesiątek i nazywa się cyfrą dziesiątek ;

3 znajduje się na prawo od miejsca jedności, więc jest na miejscu dziesiątek i jest nazywana cyfrą dziesiątek ;

cyfra 4 na prawo od miejsca dziesiątego znajduje się na miejscu setnym i nazywana jest cyfrą setnych .

Całkowita wartość liczby to 1 dziesiątka, 0 jedności, 3 dziesiąte i 4 setne. Zauważ, że zero, które nie wnosi żadnej wartości do liczby, wskazuje, że 1 jest na miejscu dziesiątek, a nie jedności.

Wartość miejsca dowolnej cyfry w liczbie można określić za pomocą prostego obliczenia, które samo w sobie jest uzupełnieniem logiki stojącej za systemami liczbowymi. Obliczenie polega na pomnożeniu danej cyfry przez podstawę podniesioną o wykładnik n − 1 , gdzie n oznacza pozycję cyfry od separatora; wartość n jest dodatnia (+), ale dzieje się tak tylko wtedy, gdy cyfra znajduje się na lewo od separatora. A po prawej cyfra jest mnożona przez podstawę podniesioną o minus (-) n . Na przykład w numerze 10.34 (zapisane w podstawie 10),

\ 1 jest drugie na lewo od separatora, więc na podstawie obliczeń jego wartość wynosi

Displaystyle n-1 = 2-1 = 1}

{\ displaystyle 1 \ razy 10 ^ {1} = 10}

} 4 jest drugie na prawo od separatora, więc na podstawie obliczeń jego wartość wynosi

{\ displaystyle n = -2

{\ Displaystyle 4 \ razy 10 ^ {- 2} = {\ Frac {4} {100}}}

Historia

Glify używane do reprezentowania cyfr hindusko-arabskiego systemu liczbowego.
Europejczyk (pochodzący z zachodnioarabskiego)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
arabsko-indyjski	٠	١	ć	٣	ć	ć	ć	٧	٨	٩
Wschodnioarabsko-indyjski (perski i urdu)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
dewanagari (hindi)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Tamil		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Za pierwszy prawdziwie zapisany system liczb pozycyjnych uważa się system liczb hindusko-arabskich . System ten został ustanowiony w VII wieku w Indiach, ale nie był jeszcze w swojej nowoczesnej formie, ponieważ użycie cyfry zero nie było jeszcze powszechnie akceptowane. Zamiast zera czasami cyfry oznaczano kropkami, aby wskazać ich znaczenie, lub używano spacji jako symbolu zastępczego. Pierwsze szeroko uznane użycie zera miało miejsce w 876 roku. Oryginalne cyfry były bardzo podobne do współczesnych, nawet do glifów używanych do przedstawiania cyfr.

Cyfry systemu liczbowego Majów

W XIII wieku cyfry zachodnioarabskie zostały zaakceptowane w europejskich kręgach matematycznych ( Fibonacci użył ich w swoim Liber Abaci ). Do powszechnego użytku zaczęły wchodzić w XV wieku. Pod koniec XX wieku praktycznie wszystkie niekomputerowe obliczenia na świecie były wykonywane przy użyciu cyfr arabskich, które w większości kultur zastąpiły rodzime systemy liczbowe.

Inne historyczne systemy liczbowe wykorzystujące cyfry

Dokładny wiek cyfr Majów jest niejasny, ale możliwe, że jest starszy niż system hindusko-arabski. System był dwudziestkowy (podstawa 20), więc ma dwadzieścia cyfr. Majowie używali symbolu muszli do reprezentowania zera. Cyfry pisano pionowo, z jednościami na dole. Majowie nie mieli odpowiednika współczesnego separatora dziesiętnego , więc ich system nie mógł reprezentować ułamków zwykłych .

Tajski system liczbowy jest identyczny z hindusko-arabskim systemem liczbowym, z wyjątkiem symboli używanych do przedstawiania cyfr. Używanie tych cyfr jest mniej powszechne w Tajlandii niż kiedyś, ale nadal są używane razem z cyframi arabskimi.

Cyfry prętowe, pisane formy prętów liczących , używane niegdyś przez chińskich i japońskich matematyków, to dziesiętny system pozycyjny, który może reprezentować nie tylko liczby zerowe, ale także ujemne. Same pręty liczące są starsze niż system liczbowy hindusko-arabski. Cyfry Suzhou to warianty cyfr prętów.

Cyfry prętów (pionowe)
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

–0	–1	–2	–3	–4	–5	–6	–7	–8	–9

Nowoczesne systemy cyfrowe

W informatyce

dwójkowe (podstawa 2), ósemkowe (podstawa 8) i szesnastkowe ( podstawa 16), szeroko stosowane w informatyce , wszystkie są zgodne z konwencjami hindusko-arabskiego systemu liczbowego . System dwójkowy używa tylko cyfr „0” i „1”, podczas gdy system ósemkowy używa cyfr od „0” do „7”. System szesnastkowy wykorzystuje wszystkie cyfry z systemu dziesiętnego oraz litery od „A” do „F”, które reprezentują odpowiednio liczby od 10 do 15. Gdy używany jest system binarny, termin „bit (bity)” jest zwykle używany jako alternatywa dla „cyfry”, będąc połączeniem terminu „cyfra binarna”. Podobne terminy istnieją dla innych systemów liczbowych, takich jak „trit (s)” dla systemu trójskładnikowego i „dit (s) dla systemu dziesiętnego, chociaż są one rzadziej używane.

Niezwykłe systemy

Czasami używano trójskładnikowych i zrównoważonych systemów trójskładnikowych . Oba są systemami bazowymi 3.

Zrównoważony trójskładnik jest niezwykły, ponieważ ma wartości cyfr 1, 0 i –1. Okazuje się, że zrównoważony układ trójskładnikowy ma pewne użyteczne właściwości, a system ten został wykorzystany w eksperymentalnych rosyjskich Setun .

Kilku autorów w ciągu ostatnich 300 lat zauważyło łatwość notacji pozycyjnej , która jest równoznaczna ze zmodyfikowaną reprezentacją dziesiętną . Przytoczono pewne zalety stosowania cyfr liczbowych reprezentujących wartości ujemne. W 1840 r. Augustin-Louis Cauchy opowiadał się za stosowaniem reprezentacji cyfr ze znakiem, aw 1928 r. Florian Cajori przedstawił swój zbiór odniesień do liczb ujemnych . Koncepcja reprezentacji cyfr ze znakiem została również podjęta w projektowaniu komputerów .

Cyfry w matematyce

Pomimo istotnej roli cyfr w opisywaniu liczb, są one stosunkowo nieistotne dla współczesnej matematyki . Niemniej jednak istnieje kilka ważnych koncepcji matematycznych, które wykorzystują reprezentację liczby jako ciąg cyfr.

Cyfrowe korzenie

Cyfrowy pierwiastek to jednocyfrowa liczba uzyskana przez zsumowanie cyfr danej liczby, a następnie zsumowanie cyfr wyniku i tak dalej, aż do uzyskania liczby jednocyfrowej.

Wyrzucanie dziewiątek

Wyrzucanie dziewiątek to procedura ręcznego sprawdzania działań arytmetycznych. Aby to opisać, niech reprezentuje ${\ displaystyle$ pierwiastek , jak opisano powyżej. $f (x)}$ $ZA$ wykorzystuje fakt to ${\ Displaystyle f (f (A) + f (B)) = f (C)}$ . W procesie wyrzucania dziewiątek obliczane są obie strony tego ostatniego równania , a jeśli nie są one równe, pierwotne dodawanie musiało być błędne.

Repunity i repcyfry

Repunity to liczby całkowite, które są reprezentowane tylko przez cyfrę 1. Na przykład 1111 (tysiąc sto jedenaście) to repunit. Repcyfry to uogólnienie repunitów; są to liczby całkowite reprezentowane przez powtarzające się wystąpienia tej samej cyfry. Na przykład 333 jest powtórzoną cyfrą. Pierwszość repunitów jest przedmiotem zainteresowania matematyków .

Liczby palindromiczne i liczby Lychrela

Liczby palindromiczne to liczby, które czytają tak samo, gdy ich cyfry są odwrócone. Liczba Lychrela to dodatnia liczba całkowita, która nigdy nie daje liczby palindromicznej, gdy jest poddawana iteracyjnemu procesowi dodawania do siebie z odwróconymi cyframi. Kwestia, czy istnieją jakieś liczby Lychrela o podstawie 10, jest otwartym problemem w matematyce rekreacyjnej ; najmniejszy kandydat to 196 .

Historia starożytnych liczb

Pomoce do liczenia, a zwłaszcza posługiwanie się częściami ciała (liczenie na palcach), z pewnością były używane w czasach prehistorycznych, tak jak obecnie. Istnieje wiele odmian. Oprócz liczenia dziesięciu palców, niektóre kultury liczą kostki, przestrzeń między palcami u rąk i nóg, a także palce. Kultura Oksapmin z Nowej Gwinei wykorzystuje system 27 miejsc w górnej części ciała do reprezentowania liczb.

Aby zachować informacje liczbowe, od czasów prehistorycznych używano liczników wyrzeźbionych w drewnie, kości i kamieniu. Kultury epoki kamienia, w tym starożytne rdzenne grupy amerykańskie , używały rachunków do gier hazardowych, usług osobistych i towarów handlowych.

Metoda przechowywania informacji liczbowych w glinie została wynaleziona przez Sumerów między 8000 a 3500 pne. Robiono to za pomocą małych glinianych żetonów o różnych kształtach, które były nawleczone jak koraliki na sznurek. Począwszy od około 3500 rpne gliniane żetony były stopniowo zastępowane znakami liczbowymi odciskanymi okrągłym rylcem pod różnymi kątami na glinianych tabliczkach (pierwotnie pojemnikach na żetony), które następnie wypalano. Około 3100 pne liczby pisane zostały oddzielone od rzeczy, które się liczy i stały się liczbami abstrakcyjnymi.

Pomiędzy 2700 a 2000 pne w Sumerze okrągły rylec był stopniowo zastępowany ryglem trzcinowym, którego używano do wyciskania klinowych znaków klinowych w glinie. Te klinowe znaki liczbowe przypominały okrągłe znaki liczbowe, które zastąpiły, i zachowały dodatkową notację wartości znaku okrągłych znaków liczbowych. Systemy te stopniowo zbliżały się do wspólnego sześćdziesiętnego system liczbowy; był to system wartości miejsca składający się tylko z dwóch odciśniętych znaków, pionowego klina i jodełki, które mogły również przedstawiać ułamki. Ten sześćdziesiętny system liczbowy został w pełni rozwinięty na początku okresu Starej Babilonii (około 1950 rpne) i stał się standardem w Babilonii.

sześćdziesiętne były mieszanym systemem podstaw , który zachowywał naprzemienną podstawę 10 i podstawę 6 w sekwencji klinowych pionowych klinów i szewronów. Do 1950 roku pne był to notacji pozycyjnej . Cyfry sześćdziesiątkowe zaczęły być szeroko stosowane w handlu, ale były również używane w obliczeniach astronomicznych i innych. System ten został wyeksportowany z Babilonii i używany w całej Mezopotamii oraz przez każdy naród śródziemnomorski, który używał standardowych babilońskich jednostek miary i liczenia, w tym Greków, Rzymian i Egipcjan. Numeracja sześćdziesiętna w stylu babilońskim jest nadal używana do pomiaru we współczesnych społeczeństwach czas (minuty na godzinę) i kąty (stopnie).

Historia współczesnych liczb

W Chinach armie i zapasy były liczone za pomocą modułowych zestawień liczb pierwszych . Unikalne liczby żołnierzy i miary ryżu pojawiają się jako unikalne kombinacje tych zestawień. Wielką wygodą arytmetyki modułowej jest to, że łatwo ją mnożyć. To sprawia, że zastosowanie arytmetyki modułowej dla przepisów jest szczególnie atrakcyjne. Konwencjonalne zestawienia są dość trudne do mnożenia i dzielenia. W dzisiejszych czasach arytmetyka modularna jest czasami stosowana w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów .

Najstarszym greckim systemem były cyfry attyckie , ale w IV wieku pne zaczęto używać alfabetu quasidecimal (patrz cyfry greckie ). Żydzi zaczęli używać podobnego systemu ( cyfry hebrajskie ), a najstarszymi znanymi przykładami są monety z około 100 roku pne.

Cesarstwo Rzymskie używało zestawień pisanych na wosku, papirusie i kamieniu i z grubsza przestrzegało greckiego zwyczaju przypisywania liter różnym numerom. System cyfr rzymskich pozostawał w powszechnym użyciu w Europie, dopóki notacja pozycyjna nie weszła do powszechnego użytku w XVI wieku.

Majowie z Ameryki Środkowej używali mieszanego systemu o podstawie 18 i podstawy 20, prawdopodobnie odziedziczonego po Olmekach , w tym zaawansowanych funkcji , takich jak notacja pozycyjna i zero . Wykorzystali ten system do wykonania zaawansowanych obliczeń astronomicznych, w tym bardzo dokładnych obliczeń długości roku słonecznego i orbity Wenus .

Imperium Inków prowadziło dużą gospodarkę nakazową, używając kipu , liczenia wykonanego przez wiązanie kolorowych włókien. Znajomość kodowania sęków i kolorów została stłumiona przez hiszpańskich konkwistadorów w XVI wieku i nie przetrwała, chociaż w regionie andyjskim nadal używane są proste urządzenia rejestrujące przypominające kipu .

Niektóre autorytety uważają, że arytmetyka pozycyjna rozpoczęła się wraz z powszechnym użyciem prętów liczących w Chinach. Najwcześniejsze pisemne zapisy pozycyjne wydają się być rachunku różniczkowego prętów w Chinach około 400. Zero zostało po raz pierwszy użyte w Indiach w VII wieku n.e. przez Brahmagupta .

Współczesny pozycyjny system liczb arabskich został opracowany przez matematyków w Indiach i przekazany matematykom muzułmańskim wraz z tablicami astronomicznymi przywiezionymi do Bagdadu przez ambasadora Indii około 773 roku.

Z Indii kwitnący handel między islamskimi sułtanami a Afryką przeniósł tę koncepcję do Kairu . Matematycy arabscy rozszerzyli system o ułamki dziesiętne , a Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī napisał o tym ważną pracę w IX wieku. Współczesne cyfry arabskie zostały wprowadzone do Europy wraz z tłumaczeniem tego dzieła w XII wieku w Hiszpanii i Liber Abaci Leonarda z Pizy z 1201 r. W Europie kompletny system indyjski z zerem wywodzi się od Arabów w XII wieku.

System binarny (podstawa 2) propagowany był w XVII wieku przez Gottfrieda Leibniza . Leibniz opracował tę koncepcję na wczesnym etapie swojej kariery i powrócił do niej, kiedy recenzował kopię I Ching z Chin. Liczby binarne weszły do powszechnego użytku w XX wieku dzięki aplikacjom komputerowym.

Liczebniki w najpopularniejszych systemach

zachodnioarabski	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Asomiya (asamski); bengalski	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Dewanagari	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
wschodnioarabski	٠	١	ć	٣	ć	ć	ć	٧	٨	٩
perski	٠	١	ć	٣	۴	۵	۶	٧	٨	٩
Gurmukhi	੦	੧	੨	੩	੪	੫	੬	੭	੮	੯
urdu
Chiński (codzienny)	〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
chiński (formalny)	零	壹	贰/貳	叁/叄	肆	伍	陆/陸	柒	捌	玖
chiński (Suzhou)	〇	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩
Ge'ez (etiopski)		፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
gudżarati	૦	૧	૨	૩	૪	૫	૬	૭	૮	૯
Hieroglificzny Egipcjanin		𓏺	𓏻	𓏼	𓏽	𓏾	𓏿	𓐀	𓐁	𓐂
język japoński	零 / 〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
kannada	೦	೧	೨	೩	೪	೫	೬	೭	೮	೯
khmerski (Kambodża)	០	១	២	៣	៤	៥	៦	៧	៨	៩
Lao	໐	໑	໒	໓	໔	໕	໖	໗	໘	໙
Limbu	᥆	᥇	᥈	᥉	᥊	᥋	᥌	᥍	᥎	᥏
malajalam	൦	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯
mongolski	᠐	᠑	᠒	᠓	᠔	᠕	᠖	᠗	᠘	᠙
Birmańczyk	၀	၁	၂	၃	၄	၅	၆	၇	၈	၉
Oria	୦	୧	୨	୩	୪	୫	୬	୭	୮	୯
rzymski		I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
Szan	႐	႑	ဋ္ဌ	႓	႔	႕	႖	႗	႘	႙
syngaleski		𑇡	𑇢	𑇣	𑇤	𑇥	𑇦	𑇧	𑇨	𑇩
Tamil	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯
telugu	౦	౧	౨	౩	౪	౫	౬	౭	౮	౯
tajski	๐	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙
tybetański	༠	༡	༢	༣	༤	༥	༦	༧	༨	༩
Nowy Tai Lue	᧐	᧑	᧒	᧓	᧔	᧕	᧖	᧗	᧘	᧙
jawajski	꧐	꧑	꧒	꧓	꧔	꧕	꧖	꧗	꧘	꧙

Dodatkowe cyfry

	1	5	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	500	1000	10000	10 ⁸
chiński (prosty)	一	五	十	二十	三十	四十	五十	六十	七十	八十	九十	百	五百	千	万	亿
Chiński (złożony)	壹	伍	拾	贰拾	叁拾	肆拾	伍拾	陆拾	柒拾	捌拾	玖拾	佰	伍佰	仟	萬	億
Ge'ez (etiopski)	፩	፭	፲	፳	፴	፵	፶	፷	፸	፹	፺	፻	፭፻	፲፻	፼	፼፼
rzymski	I	V	X	XX	XXX	XL	Ł	LX	LXX	LXXX	XC	C	D	M	X

Zobacz też

Szesnastkowy
Cyfra binarna ( bit ), Kwantowa cyfra binarna ( qubit )
Cyfra trójskładnikowa ( trit ), cyfra trójskładnikowa kwantowa ( qutrit )
Cyfra dziesiętna ( dit )
Cyfra szesnastkowa ( Hexit )
Cyfra naturalna ( nat , nit )
Cyfra Napera ( nepit )
Znacząca cyfra
Duże liczby
Liczby tekstowe
Liczydło
Historia wielkich liczb
Lista tematów systemu liczbowego

Notacja liczbowa w różnych pismach