Podstawa mieszana

Systemy liczbowe z mieszaną podstawą to niestandardowe systemy liczbowe pozycyjne, w których podstawa numeryczna zmienia się w zależności od pozycji. Taka reprezentacja liczbowa ma zastosowanie, gdy wielkość jest wyrażona za pomocą sekwencji jednostek, z których każda jest wielokrotnością następnej mniejszej, ale nie przez ten sam współczynnik. Takie jednostki są powszechne na przykład przy mierzeniu czasu; czas 32 tygodni, 5 dni, 7 godzin, 45 minut, 15 sekund i 500 milisekund można wyrazić jako liczbę minut w notacji z mieszaną podstawą jako:

... 32, 5, 7, 45; 15 500 ... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000

lub jako

32 _∞ 5 ₇ 7 ₂₄ 45 ₆₀ .15 ₆₀ 500 ₁₀₀₀

W formacie tabelarycznym cyfry są zapisane nad ich podstawą, a średnik wskazuje punkt podstawy . W formacie liczbowym każda cyfra ma przypisaną podstawę jako indeks dolny, a punkt podstawy jest oznaczony kropką lub kropką . Podstawą każdej cyfry jest liczba odpowiednich jednostek, które składają się na kolejną większą jednostkę. W konsekwencji nie ma podstawy (zapisanej jako ∞) dla pierwszej (najbardziej znaczącej) cyfry, ponieważ tutaj „kolejna większa jednostka” nie istnieje (i zauważ, że nie można dodać większej jednostki „miesiąc” lub „rok " do sekwencji jednostek, ponieważ nie są one całkowitymi wielokrotnościami "tygodnia").

Przykłady

Najbardziej znanym przykładem mieszanych systemów radix jest pomiar czasu i kalendarze. Zachodnie podstawy czasu obejmują dziesiętne stulecia, dekady i lata, a także miesiące dwunastkowe, dni trójdzielne (i nietrójdzielne oraz (w lutym) oktowigesymalne i enneawigesymalne), nałożone na tygodnie dwupięciorzędowe i siedmiodniowe . Jeden wariant wykorzystuje trójdzielne , tygodnie czwartorzędowe i dni siedemnaste. Czas jest dalej dzielony przez cztery godziny, sześćdziesiętne minuty i sekundy, a następnie ich ułamki dziesiętne.

Standardowy formularz dla dat to 2021-04-10 16:31:15, który w tej definicji byłby mieszaną liczbą podstawy, ale jest inny, ponieważ liczba dni w miesiącu jest różna dla każdego miesiąca i lat przestępnych.

Mieszany system liczbowy oparty na podstawach często może skorzystać na zestawieniu tabelarycznym. System opisujący 604800 sekund tygodnia, począwszy od północy w niedzielę, wygląda następująco:

Źródło	7	24	60	60
Określenie	dzień	godzina	minuta	drugi
Wartość miejsca (sekundy)	86400	3600	60	1

Tłumaczenia cyfr…

dzień	0=niedziela, 1=poniedziałek, 2=wtorek, 3=środa, 4=czwartek, 5=piątek, 6=sobota
godzina	od 0 do 23

0 W tym systemie liczbowym cyfra o mieszanej podstawie 3 ₇ 17 ₂₄ 51 ₆₀ 57 ₆₀ sekund byłaby interpretowana jako 17:51:57 w środę, a 0 _{7 24} 02 ₆₀ 24 ₆₀ byłaby 00:02:24 w niedzielę. Notacje ad hoc dla mieszanych systemów liczbowych są powszechne.

Kalendarz Majów składa się z kilku nakładających się na siebie cykli o różnych korzeniach. Krótkie liczenie tzolk'in nakłada się na dni nazwane w systemie dziesiętnym z dniami numerowanymi w systemie trójdzielnym . Haab ' składa się z dni dziewiątych, miesięcy ósemkowych i lat o podstawie 52 tworzących rundę . Ponadto długa liczba dni dwudziestkowych, winal ósemkowy , potem dwudziestkowy tun , k'atun , b'ak'tun , itp. śledzi daty historyczne.

Drugim przykładem obecnie używanego systemu liczbowego o mieszanej podstawie jest projektowanie i używanie waluty , w której drukuje się lub wybija ograniczony zestaw nominałów w celu przedstawienia dowolnej kwoty pieniężnej; ilość pieniędzy jest następnie reprezentowana przez liczbę monet lub banknotów każdego nominału. Przy podejmowaniu decyzji, które nominały utworzyć (a tym samym, które rady mieszać), dąży się do kompromisu między minimalną liczbą różnych nominałów a minimalną liczbą pojedynczych monet wymaganych do przedstawienia typowych ilości. Na przykład w Wielkiej Brytanii banknoty są drukowane za 50, 20, 10 i 5 funtów, a monety są wybijane za 2, 1 funta, 50 pensów, 20 pensów, 10 pensów, 5 pensów, 2 pensów i 1 pensa. the 1-2-5 serii preferowanych wartości .

Przed dziesiętnością kwoty pieniężne w Wielkiej Brytanii były opisywane w funtach, szylingach i pensach, przy czym 12 pensów za szyling i 20 szylingów za funt, tak że na przykład „1 7 s 6 d” odpowiadało mieszanej podstawie liczebnik 1 _∞ 7 ₂₀ 6 ₁₂ .

Zwyczajowe jednostki Stanów Zjednoczonych to na ogół systemy o mieszanej podstawie, z mnożnikami różniącymi się od jednej jednostki wielkości do drugiej w taki sam sposób, jak jednostki czasu.

Reprezentacja z mieszaną podstawą jest również istotna dla wersji algorytmu Cooley-Tukey FFT z mieszaną podstawą, w których indeksy wartości wejściowych są rozszerzane w reprezentacji o mieszanej podstawie, indeksy wartości wyjściowych są rozszerzane w odpowiednim mieszanym - reprezentacja radix z odwróconą kolejnością podstaw i cyfr, a każda podtransformacja może być traktowana jako transformata Fouriera w jednej cyfrze dla wszystkich wartości pozostałych cyfr.

Manipulacja

Liczbami o mieszanej podstawie o tej samej podstawie można manipulować za pomocą uogólnienia ręcznych algorytmów arytmetycznych. Konwersję wartości z jednej mieszanej bazy na drugą można łatwo przeprowadzić, najpierw konwertując wartości miejsc z jednego systemu na drugi, a następnie stosując cyfry z jednego systemu do tych.

APL i J obejmują operatorów do konwersji do iz systemów o mieszanej podstawie.

System liczb czynnikowych

Główny artykuł: czynnikowy system liczbowy

Inną propozycją jest tzw. system liczb silni :

Źródło	8	7	6	5	4	3	2	1
Wartość miejsca	7!	6!	5!	4!	3!	2!	1!	0!
Umieść wartość w systemie dziesiętnym	5040	720	120	24	6	2	1	1
Najwyższa dozwolona cyfra	7	6	5	4	3	2	1	0

Na przykład największą liczbą, którą można przedstawić za pomocą sześciu cyfr, byłoby 543210, co równa się 719 dziesiętnie : 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! Na pierwszy rzut oka może to nie być jasne, ale system liczbowy oparty na silni jest jednoznaczny i kompletny. Każdą liczbę można przedstawić w jeden i tylko jeden sposób, ponieważ suma odpowiednich silni pomnożona przez indeks to zawsze następna silnia minus jeden:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} (([i + 1] + 1) -1) \ cdot ([i] + 1)! = ([n + 1] + 1) !-1}$

Istnieje naturalne odwzorowanie między liczbami całkowitymi 0, ..., n ! − 1 i permutacje n elementów w porządku leksykograficznym, który wykorzystuje silniową reprezentację liczby całkowitej, po której następuje interpretacja jako kod Lehmera .

Powyższe równanie jest szczególnym przypadkiem następującej ogólnej reguły dla dowolnej reprezentacji bazowej (standardowej lub mieszanej), która wyraża fakt, że każda reprezentacja bazowa (standardowa lub mieszana) jest jednoznaczna i kompletna. Każdą liczbę można przedstawić w jeden i tylko jeden sposób, ponieważ suma odpowiednich wag pomnożona przez indeks to zawsze następna waga minus jeden:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} (m_ {i + 1} -1) \ cdot M_ {i}=M_{n+1}-1}$ , gdzie ${\ Displaystyle M_ {i} = \ prod _ {j = 1} ^ {i} m_ {j}, m_ {j}> 1, M_ {0} = 1}$ ,

co można łatwo udowodnić za pomocą indukcji matematycznej .

•   Donalda Knuta . Sztuka programowania komputerowego , tom 2: algorytmy półnumeryczne , wydanie trzecie. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2 . Strony 65–66, 208–209 i 290.
• Jerzego Cantora . Über einfache Zahlensysteme , Zeitschrift für Math. i Physik 14 (1869), 121–128.

Linki zewnętrzne

• Kalkulator mieszanej podstawy — Kalkulator mieszanej podstawy w języku C#