system katapajadi

System KaTaPaYadi – Wartości

) of numerical notation is an Indian to numeralsnumbers System Kaṭapayadi ( Devanagari : कटपयादि, znany również jako Paralppēru , malajalam : പരൽപ്പേര് ) notacji <a i=8>numerycznej starożytny indyjski <a i=10>alfasylabowy system liczbowy przedstawiający litery na <a i=14><a i=15>cyfry łatwego zapamiętania <a i=17>liczb słów lub <a i=20><a i=21>wersetów or verses . Przypisując więcej niż jedną literę do jednej cyfry i unieważniając niektóre inne litery jako bezwartościowe, system ten zapewnia elastyczność w tworzeniu znaczących słów z liczb, które można łatwo zapamiętać.

Historia

Najstarsze dostępne dowody na użycie systemu Katapayadi (sanskryt: कटपयादि) pochodzą z Grahacāraṇibandhana autorstwa Haridatta w 683 roku n.e. Użyto go w Laghu·bhāskarīya·vivaraṇa napisanej przez Śankarę narayaṇę w 869 roku n.e.

Niektórzy twierdzą, że system pochodzi od Vararuci . W niektórych tekstach astronomicznych popularnych w Kerali pozycje planet były zakodowane w systemie Katapayadi. Za pierwsze takie dzieło uważa się Chandra-vakyani z Vararuci , którego tradycyjnie przypisuje się IV wiek n.e. Dlatego gdzieś na początku pierwszego tysiąclecia można racjonalnie oszacować pochodzenie systemu Katapayadi .

Aryabhata w swoim traktacie Ārya·bhaṭīya używał podobnego, bardziej złożonego systemu do przedstawiania liczb astronomicznych . Nie ma ostatecznych dowodów na to, czy Ka-ṭa-pa-yā-di wywodzi się z numeracji Āryabhaṭa .

Geograficzny zasięg użytkowania

Prawie wszystkie dowody na użycie systemu Ka-ṭa-pa-yā-di pochodzą z południowych Indii , zwłaszcza z Kerali . Niewiele wiadomo o jego zastosowaniu w północnych Indiach. Jednak na sanskryckim astrolabium odkrytym w północnych Indiach stopnie wysokości są zaznaczone w systemie Katapayadi . Jest przechowywany w Bibliotece Sarasvati Bhavan Uniwersytetu Sampurnanand Sanskrit w Varanasi .

System Ka-ṭa-pa-yā-di nie ogranicza się do Indii. W Birmie odkryto kilka palijskich chronogramów opartych na systemie Ka-ṭa-pa-yā-di .

Zasady i praktyki

Poniższy werset znaleziony w Sadratnamala Śankarawarmana wyjaśnia mechanizm systemu.

नञावचश्च शून्यानि संख्या: कटपयादय:। मिश्रे तूपान्त्यहल् संख्या न च चिन्त्यो हलस् वर: ॥

Transliteracja:

nanyāvacaśca śūnyāni saṃkhyāḥ katapayadayaḥ miśre tupantyahal saṃkhyā na ca cintyo halasvaraḥ

Tłumaczenie: na (न), ña (ञ) i a (अ)-s, tj. samogłoski reprezentują zero . Dziewięć liczb całkowitych jest reprezentowanych przez grupę spółgłosek zaczynającą się od ka , ṭa , pa , ya . W koniunkcji spółgłoskowej liczy się tylko ostatnia ze spółgłosek. Spółgłoskę bez samogłoski należy zignorować.

Wyjaśnienie: Przypisanie liter do cyfr jest zgodne z następującym układem (odpowiednio w skryptach dewanagari, kannada, telugu i malajalam)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ka क ಕ క ക	kha ख ಖ ఖ ഖ	ga ग ಗ గ ഗ	gha घ ಘ ఘ ഘ	nga ङ ಙ ఙ ങ	ca च ಚ చ ച	cha छ ಛ ఛ ഛ	ja ज ಜ జ ജ	jha झ ಝ ఝ ഝ	nya ञ ಞ ఞ ഞ
Ta ट ಟ ట ട	Tha ठ ಠ ఠ ഠ	Da ड ಡ డ ഡ	ḍha ढ ಢ ఢ ഢ	ṇa ण ಣ ణ ണ	ta त ತ త ത	tak थ ಥ థ ഥ	da द ದ ద ദ	dha ध ಧ ధ ധ	na न ನ న ന
pa प ಪ ప പ	pha फ ಫ ఫ ഫ	ba ब బ ബ	bha भ ಭ భ ഭ	ma म ಮ మ മ	–	–	–	–	–
tak य ಯ య യ	ra र ರ ర ര	la ल ల ల ല	va व ವ వ വ	śa श ಶ శ ശ	Sa ष ಷ ష ഷ	sa स ಸ స സ	ha ह ಹ హ ഹ	–	–

• Spółgłoski mają przypisane cyfry zgodnie z powyższą tabelą. Na przykład ba (ब) to zawsze 3, podczas gdy 5 może być reprezentowane przez nga (ङ) lub ṇa (ण) lub ma (म) lub śha (श).
• Wszystkie samodzielne samogłoski, takie jak a (अ) i ṛ (ऋ), są przypisane do zera.
• W przypadku koniunkcji spółgłoski dołączone do niesamogłoski będą bezwartościowe. Na przykład kya (क्य) jest utworzone przez k (क्) + y (य्) + a (अ). Jedyną spółgłoską stojącą z samogłoską jest ya (य). Zatem odpowiednią cyfrą dla kya (क्य) będzie 1.
• W systemie nie ma możliwości reprezentacji separatora dziesiętnego .
• Indianie używali do numerowania systemu cyfr hindusko-arabskich , tradycyjnie zapisywanych rosnącymi wartościami miejsc od lewej do prawej. Jest to zgodne z regułą „अङ्कानां वामतो गतिः”, co oznacza, że ​​liczby idą od prawej do lewej.

Wariacje

• Spółgłoska ḷ (malajalam: ള, Devanāgarī: ळ, kannada: ಳ) jest używana w pracach wykorzystujących system Kaṭapayadi, podobnie jak tabela sinusów Madhawy .
• Praktycy późnego średniowiecza nie odwzorowują samodzielnych samogłosek na zero. Ale czasami jest uważany za bezwartościowy.

Stosowanie

Matematyka i astronomia

• Tablica sinusów Mādhavy skonstruowana przez XIV-wiecznego matematyka z Kerali - astronoma Mādhavę z Saṅgama · grama wykorzystuje system Katapayadi do zapisania sinusów trygonometrycznych kątów.
• Karaṇa·paddhati , napisana w XV wieku, ma następującą ślokę dla wartości pi (π)

അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-

സ്സമാഹതാശ്ചക്രകല ാവിഭക്താഃ

<a i=3>ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാലൈർ-

വ്യാസസ്തദര്‍ദ്ധം ത്രിഭമൗര്‍വിക സ്യാത്‌

Transliteracja

anūnanūnnānananunnnanityai

ssmāhatāścakra kalāvibhaktoḥ

caṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair

vyāsastadarddhaṃ tribhamaurvika syāt

Daje obwód koła o średnicy, anūnanūnnānanananunnanityai (10 000 000 000) jako caṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair (31415926536).

• Sad·ratna·māla Śankary Varmana używa systemu Katapayadi. Pierwszy werset rozdziału 4 Sad·ratna·mālā kończy się wersem:

(स्याद्) भद्राम्बुधिसिद्धजन्मगणितश ्रद्धा स्म यद् भूपगी:

Transliteracja

(syād) bhadrāmbudhisiddhajanmagaṇitaśraddhā sma yad bhūpagīḥ

Rozdzielenie spółgłosek w odpowiedniej frazie daje,

भ bha	द् d	रा Ra	म् m	बु bu	द् d	धि dhi	सि si	द् d	ध dha	ja	न् przym	म ma	ग ga	णि ṇi	त ta	श् ś	र ra	द् d	धा dha	स् s	म ma	tak	द् d	भू bhu	प pa	गी gī
4	–	2	–	3	–	9	7	–	9	8	–	5	3	5	6	–	2	–	9	–	5	1	–	4	1	3

Odwracając cyfry do współczesnego użycia malejącego porządku miejsc dziesiętnych, otrzymujemy 314159265358979324 , co jest wartością pi (π) do 17 miejsc po przecinku, z wyjątkiem ostatniej cyfry, która może być zaokrąglona do 4.

• Ten werset szyfruje wartość pi (π) do 31 miejsc po przecinku.

 गोपीभाग्यमधुव्रात-शृङ्गिशोदधिसन्धिग॥ खलजीवितखाताव गलहालारसंधर॥  

 || ಖಲಜೀವಿತಖಾತಾವ ಗಲಹಾಲಾರಸಂಧರ ||  

Ten werset bezpośrednio daje dziesiętny odpowiednik liczby pi podzielonej przez 10: pi/10 = 0,31415926535897932384626433832792

| ఖలజీవితఖాతావ గలహాలారసంధర ||

Tradycyjnie kolejność cyfr jest odwracana, aby utworzyć liczbę, w systemie katapayadi. W tej śloce ta zasada jest łamana.

Muzyka karnatyczna

Melakarta zgodnie z systemem Katapayadi

• Melakarta ragas muzyki karnatyckiej jest nazwana w taki sposób , że pierwsze dwie sylaby nazwy podają jej numer. Ten system jest czasami nazywany Ka-ta-pa-ya-di sankhya. Swary „ Pa” są ustalone, a oto jak uzyskać inne swary z numeru melakarta.

1. Melakartas od 1 do 36 mają Ma1, a te od 37 do 72 mają Ma2.
2. Pozostałe nuty uzyskuje się przez zanotowanie (części całkowitej) ilorazu i reszty, gdy jeden mniejszy niż liczba melakarta jest dzielony przez 6. Jeśli liczba melakarta jest większa niż 36, przed wykonaniem tego kroku odejmij 36 od liczby melakarta.
3. Pozycje „Ri” i „Ga”: raga będzie miała:
   • Ri1 i Ga1 , jeśli iloraz wynosi 0
   • Ri1 i Ga2 , jeśli iloraz wynosi 1
   • Ri1 i Ga3 , jeśli iloraz wynosi 2
   • Ri2 i Ga2 , jeśli iloraz wynosi 3
   • Ri2 i Ga3 , jeśli iloraz wynosi 4
   • Ri3 i Ga3 , jeśli iloraz wynosi 5
4. Pozycje „Da” i „Ni”: raga będzie miała:
   • Da1 i Ni1 , jeśli reszta wynosi 0
   • Da1 i Ni2 , jeśli reszta wynosi 1
   • Da1 i Ni3 , jeśli reszta wynosi 2
   • Da2 i Ni2 , jeśli reszta wynosi 3
   • Da2 i Ni3 , jeśli reszta wynosi 4
   • Da3 i Ni3 , jeśli reszta wynosi 5

• Zobacz swary w muzyce karnatyckiej, aby uzyskać szczegółowe informacje na temat powyższej notacji.

Raga Dheerasankarabharanam

Schemat katapayadi łączy dha $2$ i ra ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ , stąd numer melakarta ragi to 29 (92 odwrócone). 29 mniej niż 36, stąd Dheerasankarabharanam ma Ma1. Podziel 28 (1 mniej niż 29) przez 6, iloraz to 4, a reszta to 4. Dlatego ta raga ma Ri2, Ga3 (iloraz to 4) i Da2, Ni3 (reszta to 4). Dlatego skala tej ragi to Sa Ri2 Ga3 Ma1 Pa Da2 Ni3 SA .

Raga MechaKalyani

Ze schematu kodowania Ma ${\ Displaystyle \ leftrightarrow}$ 5, Cha ${\ Displaystyle \ leftrightarrow}$ 6. Stąd numer melakarta ragi to 65 (56 odwrócony). 65 jest większe niż 36. Więc MechaKalyani ma Ma2. Ponieważ liczba ragi jest większa niż 36, odejmij od niej 36. 65–36 = 29. 28 (1 mniej niż 29) podzielone przez 6: iloraz=4, reszta=4. Występuje Ri2 Ga3. Występuje Da2 Ni3. Więc MechaKalyani ma notatki Sa Ri2 Ga3 Ma2 Pa Da2 Ni3 SA .

Wyjątek dla Simhendramadhyamam

Zgodnie z powyższym obliczeniem powinniśmy otrzymać Sa ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ 7, Ha ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ 8, podając liczbę 87 zamiast 57 dla Simhendramadhyamam. Idealnie powinno to być Sa ${\ Displaystyle \ leftrightarrow}$ 7, Ma ${\ Displaystyle \ leftrightarrow}$ 5, podając liczbę 57. Uważa się więc, że imię powinno być zapisane jako Sihmendramadhyamam (jak w przypadku Bra hmana w Sanskryt).

Reprezentacja dat

Ważne daty pamiętano, przeliczając je za pomocą systemu Katapayadi . Daty te są ogólnie przedstawiane jako liczba dni od początku Kali Yugi . Czasami nazywa się to kalidina sankhya .

• CE Kalendarz malajalam znany jako kollavarsham (malajalam: കൊല്ലവർഷം) został przyjęty w Kerali począwszy od 825 roku n.e., <a i=5><a i=6>przebudowując Data ta jest pamiętana jako āchārya vāgbhadā , przeliczona przy użyciu Katapayadi na 1434160 dni od początku Kali Yugi .
• Narayaniyam , napisany przez Melpathura Narayana Bhattathiri , kończy się wersem āyurārogyasaukhyam (ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം), co oznacza długie życie, zdrowie i szczęście.

W malajalam	ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം
w dewanagari	आयुरारोग्यसौख्यम्
w IAST	āyurarogyasaukhyam
Wartość zgodnie z Katapayadi	1712210

Ta liczba to czas, w którym praca została zakończona, reprezentowana jako liczba dni od początku Kali Yugi , zgodnie z kalendarzem malajalam .

Inni

• Niektórzy ludzie używają systemu Katapayadi do nadawania imion noworodkom.
• Poniższy werset skompilowany w języku malajalam przez Koduṅṅallura Kuññikkuṭṭan Taṃpurān przy użyciu Katapayadi to liczba dni w miesiącach kalendarza gregoriańskiego .

പുലർന്നാലോ

കലക്കിലാം <a i=1>ഇല്ല ാ

ഇല്ലാ പാലെന്നു ഗോപാലന്‍ – ആംഗ്ലമാസദിനം ക്രമാല്‍

palahāre pālu <a i=3>nallū

palahāre pālu nallū, pularnnālo kalakkilāṃ

gopālan – āṃgḷamāsadinaṃ kramāl Tłumaczenie: Mleko jest najlepsze na śniadanie, rano należy je zamieszać.

Ale Gopālan mówi, że nie ma mleka – liczba dni w angielskich miesiącach w kolejności.

Konwersja par liter za pomocą Kaṭapayadi daje - pala (പല) to 31, hāre (ഹാരേ) to 28, pālu പാലു = 31, nallū (ന്നാലോ) is 30, kala (ഇല്ലാ) is 30, (പാലെ) is 31, (നല്ലൂ) to 30, pular (പുലർ) to 31, nnālo ( <a i=4>ന്നാലോ <a i=5>കല ) to 31, kkilāṃ ക്കിലാം) to 31, illā ( <a i=10>ഇല്ലാ ( <a i=12>പാലെ idź (ന്നു ഗോ) wynosi 30, palan (പാലൻ) wynosi 31.

Zobacz też

• Cyfry Abjada
• Akszarapalli
• Numeracja Aryabhata
• systemu Bhutasamkhji
• Gematria
• Cyfry greckie
• Szkoła astronomii i matematyki w Kerali
• Tabela sinusów Madhawy
• Główny system mnemoniczny
• Notarikon
• Temurah (kabała)
• Alfasylabiczny system liczbowy

Dalsza lektura

•   AA Hattangadi, Explorations in Mathematics, Universities Press (Indie) Pvt. Ltd., Hyderabad (2001) ISBN 81-7371-387-1 [3]