Jyā, koti-jyā i utkrama-jyā
Jyā , koti-jyā i utkrama-jyā to trzy funkcje trygonometryczne wprowadzone przez indyjskich matematyków i astronomów. Najwcześniejszym znanym indyjskim traktatem zawierającym odniesienia do tych funkcji jest Surya Siddhanta . Są to funkcje łuków okręgów, a nie funkcje kątów. są ściśle związane ze współczesnymi funkcjami trygonometrycznymi sinusa i cosinusa . W rzeczywistości początki współczesnych terminów „sinus” i „cosinus” sięgają sanskryckich słów jyā i koti-jyā.
Definicja
Niech „łuk AB” oznacza łuk , którego dwoma końcami są A i B okręgu o środku O. Jeśli prostopadły BM zostanie upuszczony z B do OA, to:
- jyā łuku AB = BM
- koti-jyā łuku AB = OM
- utkrama-jyā łuku AB = MA
Jeśli promień okręgu wynosi R , a długość łuku AB wynosi s , to kąt oparty na łuku AB w punkcie O, mierzony w radianach, wynosi θ = s / R . Trzy funkcje indyjskie są powiązane ze współczesnymi funkcjami trygonometrycznymi w następujący sposób:
- jyā ( arc AB ) = R grzech ( s / R )
- koti-jyā ( arc AB ) = R sałata ( s / R )
- utkrama-jyā ( arc AB ) = R ( 1 - sałata ( s / R ) ) = R versin ( s / R )
Terminologia
Łuk koła jest jak łuk i dlatego nazywa się dhanu lub chāpa , co w sanskrycie oznacza „łuk”. Linia prosta łącząca dwa końce łuku koła jest jak cięciwa łuku i ta linia jest cięciwą koła. Ten akord nazywa się jyā , co w sanskrycie oznacza „cięcinę”, prawdopodobnie tłumacząc χορδή Hipparcha w tym samym znaczeniu [ potrzebne źródło ] . Słowo jiva jest również używany jako synonim jyā w literaturze geometrycznej. W pewnym momencie indyjscy astronomowie i matematycy zdali sobie sprawę, że obliczenia byłyby wygodniejsze, gdyby użyć połówek akordów zamiast pełnych akordów i powiązać półakordy z połówkami łuków. Półakordy nazywano ardha-jyā lub jyā-ardha . Terminy te zostały ponownie skrócone do jyā , pomijając kwalifikator ardha , który oznaczał „połowę”.
Sanskryckie słowo koṭi oznacza „ostrze, wierzchołek”, a konkretnie „ zakrzywiony koniec łuku ”. W trygonometrii zaczęło oznaczać „dopełnienie łuku do 90 °”. Zatem koṭi-jyā jest „ jyā komplementarnego łuku”. W traktatach indyjskich, zwłaszcza w komentarzach, koṭi-jyā jest często skracane jako kojyā . Termin koṭi oznacza również „bok trójkąta prostokątnego”. Tak więc koti-jyā może również oznaczać inny cathetus trójkąta prostokątnego, przy czym pierwszym cathetus jest jyā . [ wymagane wyjaśnienie ]
Utkrama oznacza „odwrócony”, dlatego utkrama-jyā oznacza „odwrócony akord”. Wartości tabelaryczne utkrama-jyā pochodzą z wartości tabelarycznych jyā poprzez odjęcie elementów od promienia w odwrotnej kolejności. [ potrzebne wyjaśnienie ] To jest naprawdę [ potrzebne wyjaśnienie ] strzała między łukiem a cięciwą i stąd nazwano ją również bāṇa , iṣu lub śara , wszystko to znaczy „strzała”.
Łuk koła, którego środek pokrywa się z kątem 90°, nazywany jest vritta-pāda (kwadratem koła). Każdy znak zodiaku definiuje łuk 30°, a trzy kolejne znaki zodiaku określają vritta-pāda . Jyā vritta -pada jest promieniem koła. Astronomowie indyjscy ukuli termin tri-jyā na określenie promienia koła podstawowego, przy czym termin tri-jyā wskazuje na „ jyā trzech znaków”. Promień jest również nazywany vyasardha , viskambhardha , vistarārdha itp., wszystko oznaczające „półśrednicę”.
Zgodnie z jedną konwencją funkcje jyā i koti-jyā są odpowiednio oznaczane przez „Rsin” i „Rcos” traktowane jako pojedyncze słowa. Inne oznaczają jyā i koti-jyā odpowiednio przez „Sin” i „Cos” (pierwsze litery są dużymi literami, w przeciwieństwie do pierwszych liter, które są małymi literami w zwykłych funkcjach sinus i cosinus).
Od jya do sinusa
Początki współczesnego terminu sine sięgają sanskryckiego słowa jyā , a dokładniej jego synonimu jīvá . Termin ten został przyjęty w średniowiecznej matematyce islamskiej , transliterowany w języku arabskim jako jība ( جيب ). Ponieważ arabski jest zapisywany bez krótkich samogłosek - a jako zapożyczenie długa samogłoska jest tutaj oznaczona jako yāʾ - zinterpretowano to jako homograph jaib , jayb ( جيب ), co oznacza „pierś”. Tekst zawiera XII-wieczną łacinę tłumacz użył łacińskiego odpowiednika słowa „biust”, sinus . Kiedy jyā stała się sinusem , sugerowano, że przez analogię kojyā stała się co-sinusem . Jednak we wczesnośredniowiecznych tekstach cosinus nazywany jest dopełniaczem sinus „sinusem dopełnienia”, co sugeruje, że podobieństwo do kojyā jest przypadkowe.