Odwrotne funkcje hiperboliczne

Promień przechodzący przez $scriptstyle (\ cosh \, a, \, \ sinh \, a)}$ jednostkową $\ Displaystyle \ scriptstyle x ^ {2} \ - \ y ^ {2}$ sinh $1$$,$ gdzie jest dwukrotnie większy od obszaru między , hiperbolą i osią x $\ displaystyle \ scriptstyle x}$

Odwrotne funkcje hiperboliczne

W matematyce odwrotne funkcje hiperboliczne są funkcjami odwrotnymi funkcji hiperbolicznych .

Dla danej wartości funkcji hiperbolicznej odpowiednia odwrotna funkcja hiperboliczna zapewnia odpowiedni kąt hiperboliczny . Wielkość kąta hiperbolicznego jest równa polu odpowiedniego sektora hiperbolicznego hiperboli xy = 1 , czyli dwukrotności pola odpowiedniego sektora hiperboli jednostkowej x ² − y ² = 1 , podobnie jak kąt kołowy jest dwa razy większy obszar okrągłego sektora koło jednostkowe . Niektórzy autorzy nazywają odwrotne funkcje hiperboliczne „ funkcjami obszaru ”, aby zrealizować kąty hiperboliczne.

Funkcje hiperboliczne występują w obliczeniach kątów i odległości w geometrii hiperbolicznej . Występuje również w rozwiązaniach wielu liniowych równań różniczkowych (takich jak równanie definiujące sieć trakcyjną ), równania sześcienne i równanie Laplace'a we współrzędnych kartezjańskich . Równania Laplace'a są ważne w wielu dziedzinach fizyki , w tym w teorii elektromagnetycznej , wymianie ciepła , dynamice płynów i szczególna teoria względności .

Notacja

ISO 80000-2 składają się z ar- , po którym następuje skrót odpowiedniej funkcji hiperbolicznej (np. arsinh, arcosh). Przedrostek arc-, po którym następuje odpowiednia funkcja hiperboliczna (np. arcsinh, arccosh), jest również powszechnie spotykany, przez analogię do nazewnictwa odwrotnych funkcji trygonometrycznych . Są to błędne nazwy, ponieważ przedrostek arc jest skrótem od arcus , podczas gdy przedrostek ar oznacza obszar ; funkcje hiperboliczne nie są bezpośrednio związane z łukami.

Inni autorzy wolą używać notacji arg sinh, argcosh, argtanh itd., gdzie przedrostek arg jest skrótem łacińskiego argumentum . W informatyce jest to często skracane do asinh .

Notacja sinh ⁻¹ ( x ) , cosh ⁻¹ ( x ) itd. jest również używana, pomimo faktu, że należy uważać, aby uniknąć błędnej interpretacji indeksu górnego −1 jako potęgi, w przeciwieństwie do skrótu oznaczającego funkcja odwrotna (np. cosh ⁻¹ ( x ) kontra cosh ( x ) ⁻¹ ).

Definicje w kategoriach logarytmów

Ponieważ funkcje hiperboliczne są funkcjami wymiernymi ex ^{x ,} których licznik i mianownik są stopnia co najwyżej drugiego, funkcje te można rozwiązać w kategoriach ex ^x , używając wzoru kwadratowego ; następnie logarytm naturalny daje następujące wyrażenia dla odwrotnych funkcji hiperbolicznych.

W przypadku złożonych argumentów odwrotne funkcje hiperboliczne, pierwiastek kwadratowy i logarytm są funkcjami wielowartościowymi , a równości w następnych podsekcjach można postrzegać jako równości funkcji wielowartościowych.

Dla wszystkich odwrotnych funkcji hiperbolicznych (z wyjątkiem odwrotnego cotangensa hiperbolicznego i odwrotnego cosecansa hiperbolicznego) dziedzina funkcji rzeczywistej jest spójna .

Odwrotny sinus hiperboliczny

Odwrotny sinus hiperboliczny (inaczej sinus hiperboliczny obszaru ) (łac. Area sinus hyperbolicus ):

${\ Displaystyle \ operatorname {arsinh} x = \ ln \ lewo (x + {\ sqrt {x ^ {2} + 1}} \ prawo)}$

Dziedziną są liczby rzeczywiste.

Odwrotny cosinus hiperboliczny

Odwrotny cosinus hiperboliczny (inaczej cosinus hiperboliczny obszaru ) (łac. Area cosinus hyperbolicus ):

${\ Displaystyle \ operatorname {arcosh} x = \ ln \ lewo (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ prawo)}$

Dziedziną jest domknięty przedział [1, +∞ ) .

Odwrotny tangens hiperboliczny

Odwrotny tangens hiperboliczny (znany również jako tangens hiperboliczny rea ) (łac. Area tangens hyperbolicus ):

${\ Displaystyle \ operatorname {artanh} x = {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo ({\ Frac {1 + x} 1-x}}\prawo)}$

Dziedziną jest przedział otwarty (−1, 1) .

Odwrotny cotangens hiperboliczny

Odwrotny cotangens hiperboliczny (inaczej cotangens hiperboliczny obszaru ) (łac. Area cotangens hyperbolicus ):

${\ Displaystyle \ operatorname {arcoth} x = {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo ({\ Frac {x + 1} x-1}}\prawo)}$

Dziedziną jest suma przedziałów otwartych (−∞, −1) i (1, +∞) .

Odwrotna sieczna hiperboliczna

Odwrotny sieczny hiperboliczny (inaczej sieczny hiperboliczny powierzchni ) (łac. Area secans hyperbolicus ):

${\ Displaystyle \ operatorname {arsech} x = \ ln \ lewo ({\ Frac {1} x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{ 2}}}}{x}}\prawo)}$

Dziedziną jest przedział półotwarty (0, 1] .

Odwrotny cosecans hiperboliczny

Odwrotny cosecans hiperboliczny (inaczej cosecans hiperboliczny obszaru ) (łac. Area cosecans hyperbolicus ):

${\ Displaystyle \ operatorname {arcsch} x = \ ln \ lewo ({\ Frac {1} {x}} + {\ sqrt {{\ Frac { 1}{x^{2}}}+1}}\prawo)}$

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 0.

Formuły dodawania

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsinh} u \ pm \ nazwa operatora {arsinh} v = \ nazwa operatora {arsinh} \ lewo (u {\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcosh} u \ pm \ nazwa operatora {arcosh} v = \ nazwa operatora {arcosh} \ lewo (uv \ pm {\ sqrt {(u ^ {2} -1) (v ^ {2}-1)}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {artanh} u \ pm \ nazwa operatora {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcoth} u \ pm \ nazwa operatora {arcoth} v = \ nazwa operatora {arcoth} \ lewo ({\ frac {1 \pm uv}{u\pm v}}\right)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {arsinh} u + \ nazwa operatora {arcosh} v & = \ nazwa operatora {arsinh} \ left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u ^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{wyrównane}}}$

Inne tożsamości

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2 \ nazwa operatora {arcosh} x & = \ nazwa operatora {arcosh} (2x ^ {2} -1) & \ quad {\ hbox {dla}} x \ geq 1 \\ 4 \ nazwa operatora {arcosh} x&=\nazwa operatora {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ dla }}x\geq 1\\2\nazwa operatora {arsinh} x&=\ nazwa_operatora {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\\4\nazwa_operatora {arsinh} x&=\nazwa_operatora {arcosh} (8x^{4}+8x ^{2}+1)&\quad {\hbox{dla}}x\geq 0\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle \ ln (x) = \ nazwa operatora {arcosh} \ lewo ({\ Frac {x ^ {2} + 1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac { x^{2}-1}{x^{2}+1}}\prawo)}$

Złożenie funkcji hiperbolicznych i odwrotnych funkcji hiperbolicznych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ sinh (\ nazwa operatora {arcosh} x) = {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ quad {\ tekst {dla}} \ quad | x |> 1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x <1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{ \sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x} {\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{wyrównane}}}$

Złożenie odwrotnych funkcji hiperbolicznych i trygonometrycznych

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsinh} \ lewo (\ tan \ alfa \ prawo) = \ nazwa operatora {artanh} \ lewo (\ sin \ alfa \ prawo) = \ ln \ lewo ({\ frac {1+ \ sin \ alfa }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$

${\ Displaystyle \ ln \ lewo (\ lewo | \ tan \ alfa \ prawo | \ prawo) = - \ nazwa operatora {artanh} \ lewo (\ cos 2 \ alfa \ prawo)}$

Konwersje

${\ Displaystyle \ ln x = \ nazwa operatora {artanh} \ lewo ({\ Frac {x ^ {2} -1} {x ^ {2} + 1}} \ prawo) = \ nazwa operatora {arsinh} \ lewo ({{ \frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {artanh} x = \ nazwa operatora {arsinh} \ lewo ({\ Frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ prawej) = \ pm \ nazwa operatora {arcosh} \ lewo({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\prawo)}$

${ \displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left ({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcosh} x = \ lewo | \ nazwa operatora {arsinh} \ lewo ({\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ prawo) \ prawo | = \ lewo | \ nazwa operatora {artanh} \ lewo({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\prawo)\prawo|}$

Pochodne

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dx}} \ nazwa operatora {arsinh} x & {} = {\ Frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}}, { \text{ dla wszystkich rzeczywistych }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}} ,{\text{ dla wszystkich liczb rzeczywistych}}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}} ,{\text{ dla wszystkich rzeczywistych }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2} }},{\text{ dla wszystkich rzeczywistych }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ dla wszystkich liczb rzeczywistych}}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{} ={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ dla wszystkich rzeczywistych }}x{\text{, oprócz }}0\\\ koniec {wyrównany}}}$

Dla przykładowego różniczkowania: niech θ = arsinh x , więc (gdzie sinh ² θ = (sinh θ ) ² ):

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ \ operatorname {arsinh} x} {dx}} = {\ Frac {d \ theta} {d \ sinh \ theta}} = {\ Frac {1} {\ cosh \ theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

Rozszerzenia serii

Szeregi rozszerzające można uzyskać dla powyższych funkcji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {arsinh} x & = x - \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ prawo) {\ Frac {x ^ {3}} {3}} + \ left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5 }{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\ left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}} {2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {arcosh} x & = \ ln (2x) - \ lewo (\ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ prawo) {\ Frac {x ^ { -2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left( {\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&= \ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right) {\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {artanh} x & = x + {\ Frac {x ^ {3}} {3}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5}} + {\ frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}, \qquad \left|x\right|<1\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {arcsch} x = \ nazwa operatora {arsinh} {\ Frac {1} {x}} & = x ^ {-1} - \ lewo ({\ Frac {1} }{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac { x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} }{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{ 2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end {wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {arsech} x = \ nazwa operatora {arcosh} {\ Frac {1} {x}} & = \ ln {\ Frac {2} {x}} - \ lewo (\ left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\ w prawo){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x ^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\ frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\ koniec {wyrównany}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {arcoth} x = \ nazwa operatora {artanh} {\ Frac {1} {x}} & = x ^ {-1} + {\ Frac {x ^ {-3} }{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\suma _{n= 0}^{\infty}{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{wyrównane}}}$

Asymptotyczne rozwinięcie dla arsinh jest podane przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsinh} x = \ ln (2x) + \ sum \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ lewo ({-1} \ prawo) ^ {n-1} {\ frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$

Wartości główne na płaszczyźnie zespolonej

Jako funkcje zmiennej zespolonej , odwrotne funkcje hiperboliczne są wielowartościowymi funkcjami analitycznymi , z wyjątkiem skończonej liczby punktów. Dla takiej funkcji często definiuje się wartość główną , która jest jednowartościową funkcją analityczną, która pokrywa się z jedną określoną gałęzią funkcji wielowartościowej, w dziedzinie składającej się z płaszczyzny zespolonej, w której skończona liczba łuków (zwykle połowa linie lub segmenty linii ) zostały usunięte. Łuki te nazywają się cięcia gałęzi . Aby określić gałąź, to znaczy określić, która wartość funkcji wielowartościowej jest brana pod uwagę w każdym punkcie, ogólnie definiuje się ją w określonym punkcie i wyprowadza wartość wszędzie w dziedzinie definicji wartości głównej przez analityczną kontynuację . Jeśli to możliwe, lepiej jest zdefiniować wartość główną bezpośrednio — bez odwoływania się do kontynuacji analitycznej.

Na przykład dla pierwiastka kwadratowego wartość główną definiuje się jako pierwiastek kwadratowy, który ma dodatnią część rzeczywistą . Definiuje to funkcję analityczną o pojedynczej wartości, która jest zdefiniowana wszędzie, z wyjątkiem niedodatnich wartości rzeczywistych zmiennych (gdzie dwa pierwiastki kwadratowe mają zerową część rzeczywistą). $wartość$ funkcji pierwiastka kwadratowego jest oznaczona . Podobnie główna wartość logarytmu, oznaczona $część$ dalszej części, jest zdefiniowana jako wartość, dla której urojona ma najmniejszą wartość bezwzględną. Definiuje się go wszędzie poza niedodatnimi wartościami rzeczywistymi zmiennej, dla których dwie różne wartości logarytmu osiągają minimum.

Dla wszystkich odwrotnych funkcji hiperbolicznych wartość główną można zdefiniować za pomocą głównych wartości pierwiastka kwadratowego i funkcji logarytmicznej. Jednak w niektórych przypadkach formuły § Definicje w kategoriach logarytmów nie dają prawidłowej wartości głównej, ponieważ dają dziedzinę definicji, która jest zbyt mała, aw jednym przypadku niepołączona .

Główna wartość odwrotnego sinusa hiperbolicznego

Główna wartość odwrotnego sinusa hiperbolicznego jest dana przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsinh} z = \ nazwa operatora {log} (z + {\ sqrt {z ^ {2} + 1}} \,) \,.}$

Argument pierwiastka kwadratowego jest niedodatnią liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z należy do jednego z przedziałów [ i , + i ∞) i (− i ∞, − i ] osi urojonej. logarytm jest rzeczywisty, więc jest dodatni.Tak więc ta formuła definiuje główną wartość dla arsinh, z przecięciami gałęzi [ i , + i ∞) i (− i ∞, − i ] . Jest to optymalne, ponieważ przecięcia gałęzi muszą łączyć punkty osobliwe i oraz - i do nieskończoności.

Główna wartość odwrotnego cosinusa hiperbolicznego

Wzór na odwrotny cosinus hiperboliczny podany w § Odwrotny cosinus hiperboliczny nie jest wygodny, ponieważ podobnie jak główne wartości logarytmu i pierwiastka kwadratowego, główna wartość arcosh nie zostałaby zdefiniowana dla urojonego z . Zatem pierwiastek kwadratowy należy rozłożyć na czynniki, co prowadzi do

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcosh} z = \ nazwa operatora {Log} (z + {\ sqrt {z + 1}}} {\ sqrt {z-1}} \,) \,.}$

Główne wartości pierwiastków kwadratowych są zdefiniowane, z wyjątkiem przypadku, gdy z należy do przedziału rzeczywistego (−∞, 1] . Jeśli argument logarytmu jest rzeczywisty, to z jest rzeczywiste i ma ten sam znak. Zatem powyższy wzór definiuje główną wartość arcosh poza rzeczywistym przedziałem (−∞, 1] , który jest zatem unikalnym cięciem gałęzi.

Wartości główne odwrotności tangensa hiperbolicznego i cotangensa hiperbolicznego

Sugerują to wzory podane w § Definicje w kategoriach logarytmów

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {artanh} z & = {\ frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2 }}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{wyrównane}}}$

do określenia głównych wartości odwrotnej tangensa hiperbolicznego i cotangensa. W tych wzorach argument logarytmu jest rzeczywisty wtedy i tylko wtedy, gdy z jest rzeczywiste. Dla artanh ten argument jest w rzeczywistym przedziale (−∞, 0] , jeśli z należy albo do (−∞, −1] albo do [1, ∞) . Dla arcoth argument logarytmu jest w (−∞ , 0] , wtedy i tylko wtedy, gdy z należy do przedziału rzeczywistego [−1, 1] .

Dlatego te wzory definiują dogodne wartości główne, dla których przecięcia gałęzi to (−∞, −1] i [1, ∞) dla odwrotnej tangensa hiperbolicznego i [−1, 1] dla odwrotnego cotangensa hiperbolicznego.

W związku z lepszą oceną numeryczną w pobliżu przecięć gałęzi, niektórzy autorzy stosują następujące definicje wartości głównych, chociaż druga wprowadza wyjmowalną osobliwość przy z = 0 . Te dwie definicje $1$$>$ 1 $>$ \ . Te z ${\ displaystyle \ operatorname {arcoth}}$${\ Displaystyle z \ w [0,1)$ dla rzeczywistych wartości $}$ z .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {artanh} z & = {\ tfrac {1} {2}} \ nazwa operatora {Log} \ lewo ({1 + z} \ prawo) - {\ tfrac {1} 2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{ \frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\ koniec {wyrównany}}}$

Główna wartość odwrotnego cosecansa hiperbolicznego

W przypadku odwrotnego cosecansa hiperbolicznego wartość główną definiuje się jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcsch} z = \ nazwa operatora {Log} \ lewo ({\ Frac {1} {z}} + {\ sqrt {{ \frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)}$ .

Jest zdefiniowany, gdy argumenty logarytmu i pierwiastka kwadratowego nie są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Główna wartość pierwiastka kwadratowego jest zatem zdefiniowana poza przedziałem [− i , i ] linii urojonej. Jeśli argument logarytmu jest rzeczywisty, to z jest niezerową liczbą rzeczywistą, a to implikuje, że argument logarytmu jest dodatni.

Zatem wartość główna jest określona przez powyższy wzór poza przecięciem gałęzi , składającym się z przedziału [− i , i ] linii urojonej.

Dla z = 0 istnieje punkt osobliwy, który jest zawarty w cięciu gałęzi.

Główna wartość odwrotnej siecznej hiperbolicznej

Tutaj, podobnie jak w przypadku odwrotnego cosinusa hiperbolicznego, musimy rozłożyć pierwiastek kwadratowy na czynniki. Daje to wartość główną

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsech} z = \ nazwa operatora {Log} \ lewo ({\ Frac {1} {z}} + {\ sqrt {{\ Frac {1} {z}} + 1}} \, { \sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}$

Jeśli argument pierwiastka kwadratowego jest rzeczywisty, to z jest rzeczywiste i wynika z tego, że obie główne wartości pierwiastków kwadratowych są zdefiniowane, z wyjątkiem sytuacji, gdy z jest rzeczywiste i należy do jednego z przedziałów (−∞, 0] i [1, +∞) . Jeśli argument logarytmu jest rzeczywisty i ujemny, to z jest również rzeczywiste i ujemne. Wynika z tego, że główna wartość arsech jest dobrze zdefiniowana przez powyższy wzór poza dwoma przecięciami gałęzi , rzeczywistymi przedziałami (−∞, 0] i [1, +∞) .

Dla z = 0 istnieje punkt osobliwy, który jest zawarty w jednym z cięć gałęzi.

Reprezentacja graficzna

W poniższym graficznym przedstawieniu głównych wartości odwrotnych funkcji hiperbolicznych cięcia gałęzi pojawiają się jako nieciągłości koloru. Fakt, że przecięcia całej gałęzi pojawiają się jako nieciągłości, pokazuje, że tych głównych wartości nie można rozszerzyć na funkcje analityczne zdefiniowane w większych dziedzinach. Innymi słowy, zdefiniowane powyżej cięcia gałęzi są minimalne.

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsinh} (z)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcosh} (z)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {artanh} (z)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {arcoth} (z)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arsech} (z)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arcsch} (z)}$

Odwrotne funkcje hiperboliczne w zespolonej płaszczyźnie Z: kolor w każdym punkcie płaszczyzny reprezentuje zespoloną wartość odpowiedniej funkcji w tym punkcie

Zobacz też

• Złożony logarytm
• Sieczny rozkład hiperboliczny
• ISO 80000-2
• Lista całek odwrotnych funkcji hiperbolicznych

Bibliografia

• Herbert Busemann i Paul J. Kelly (1953) Geometria rzutowa i metryki rzutowe , strona 207, Academic Press .

Linki zewnętrzne

• „Odwrotne funkcje hiperboliczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]