Wartość główna

W matematyce , szczególnie w analizie złożonej , głównymi wartościami funkcji wielowartościowej są wartości wzdłuż jednej wybranej gałęzi tej funkcji , tak że jest ona jednowartościowa . Prosty przypadek powstaje w przypadku pierwiastka kwadratowego z dodatniej liczby rzeczywistej . Na przykład 4 ma dwa pierwiastki kwadratowe: 2 i -2; z nich pierwiastek dodatni 2 jest uważany za pierwiastek główny i oznaczany jako ${\ displaystyle {\ sqrt {4}}.}$

Motywacja

Rozważmy złożoną funkcję logarytmiczną $log z$ . Definiuje się ją jako liczbę zespoloną $w$ taką, że

{\ displaystyle e ^ {w} = z.}

Załóżmy teraz na przykład, że chcemy znaleźć $log i$ . Oznacza to, że chcemy rozwiązać

{\ displaystyle e ^ {w} = ja}

dla $w$ . Wartość $iπ /2$ jest rozwiązaniem.

Istnieją jednak inne rozwiązania, o czym świadczy rozważenie położenia $i$ w płaszczyźnie zespolonej , a zwłaszcza jego argumentu $arg i$ . Możemy obrócić $π /2$ radianów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od 1, aby początkowo osiągnąć $i$ , ale jeśli obrócimy się dalej o kolejne $2 π ,$ ponownie osiągniemy $i .$ Możemy więc stwierdzić, że $i (π /2 + 2 π)$ jest również rozwiązaniem dla $log i$ . Staje się jasne, że do naszego rozwiązania początkowego możemy dodać dowolną wielokrotność $2 πi$ , aby otrzymać wszystkie wartości $log i$ .

Ma to jednak konsekwencje, które mogą być zaskakujące w porównaniu z funkcjami o wartościach rzeczywistych: $log i$ nie ma jednej określonej wartości. Dla $log z$ mamy

{\ Displaystyle \ log {z} = \ ln {|z |} + ja \ lewo (\ operatorname {arg} \ z \ prawo) = \ ln {|z | }+i\lewo(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\prawo)}

dla liczby całkowitej $k$ , gdzie $Arg z$ jest (głównym) argumentem z $zdefiniowanym$ jako leżący w przedziale ${\ displaystyle (- \ pi, \ \ pi ]}$ . Ponieważ główny argument jest unikalny dla a dana liczba zespolona $nie$ $jest$ przedziale. Każda wartość $k$ określa tak zwaną gałąź ( lub arkusz ), jednowartościowy składnik wielowartościowej funkcji log.

Gałąź odpowiadająca $k = 0$ nazywana jest gałęzią główną i wzdłuż tej gałęzi wartości, jakie przyjmuje funkcja, nazywane są wartościami głównymi .

Sprawa ogólna

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli $f (z)$ jest wielowartościowe, oznacza się główną gałąź $f$

{\ Displaystyle \ operatorname {pv} \, f (z)}

tak, że dla $z$ $w$ dziedzinie f , pv $f (z) jest$ jednowartościowe.

Główne wartości funkcji standardowych

Funkcje elementarne o wartościach zespolonych mogą mieć wiele wartości w niektórych dziedzinach. Wartość główną niektórych z tych funkcji można uzyskać poprzez rozłożenie funkcji na prostsze, dzięki czemu wartość główną prostych funkcji można łatwo uzyskać.

Funkcja logarytmu

Zbadaliśmy powyższą funkcję logarytmu , tj.

{\ Displaystyle \ log {z} = \ ln {|z |} + ja \ lewo (\ operatorname {arg} \ z \ prawo).}

$Arg z jest z$ natury wielowartościowy. Często definiuje $i$ argument jakiejś liczby zespolonej jako mieszczący się pomiędzy ${\ displaystyle - \ pi}$ (wyłącznie) a (włącznie), więc przyjmujemy to za główną wartość argumentu piszemy funkcję argumentu na tej gałęzi $Arg z$ (przez duże A). Używając $Arg z$ zamiast $arg z$ , otrzymujemy wartość główną logarytmu i piszemy

{\ Displaystyle \ operatorname {pv} \ log {z} = \ operatorname {log} \, z = \ ln {| z |} + i \ lewo (\ operatorname {Arg} \, z \ prawo).}

Pierwiastek kwadratowy

Dla liczby zespolonej główną wartością pierwiastka kwadratowego jest: ${\ displaystyle z = re ^ {\ phi i} \,}$

\ Displaystyle \ operatorname {pv} {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {r}} \, e ^ {i \ phi / 2}}

z argumentem ${\ Displaystyle - \ pi <\ phi \ równoważnik \ pi.}$

Złożona argumentacja

porównanie funkcji atan i atan2

Główną wartość argumentu liczby zespolonej mierzoną w radianach można zdefiniować jako:

wartości w zakresie ${\ Displaystyle [0,2 \ pi)}$
wartości w zakresie ${\ Displaystyle (- \ pi, \ pi]}$

Do obliczenia tych wartości można użyć funkcji:

atan2 z wartością główną w zakresie ${\ Displaystyle (- \ pi, \ pi]}$
atan z wartością główną w zakresie ${\ Displaystyle ({\ tfrac {- \ pi}}, {\ tfrac {\ pi} {2}}]}$

Zobacz też