Główny oddział

W matematyce gałąź główna to funkcja, która wybiera jedną gałąź („wycinek”) funkcji wielowartościowej . Najczęściej dotyczy to funkcji zdefiniowanych na płaszczyźnie zespolonej .

Przykłady

Główna gałąź arg(z)

Odwrotności trygonometryczne

Gałęzie główne są używane w definicji wielu odwrotnych funkcji trygonometrycznych , takich jak wybór w celu zdefiniowania tego

{\ Displaystyle \ arcsin: [-1, + 1] \ strzałka w prawo \ lewo [- {\ Frac {\ pi} {2}}, { \frac {\pi }{2}}\right]}

albo to

{\ Displaystyle \ arccos: [-1, + 1] \ strzałka w prawo [0, \ pi]}

.

Potęgowanie do potęg ułamkowych

Bardziej znaną funkcją gałęzi głównej, ograniczoną do liczb rzeczywistych, jest dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi $1/2$ .

Weźmy na przykład relację $y = x 1/2$ , gdzie $x$ jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.

Ta relacja może być spełniona przez dowolną wartość $y$ równą pierwiastkowi kwadratowemu z $x$ (dodatnią lub ujemną). Zgodnie z konwencją, √ x jest używane do oznaczenia dodatniego pierwiastka kwadratowego z $x$ .

W tym przypadku dodatnia funkcja pierwiastka kwadratowego jest traktowana jako główna gałąź relacji wielowartościowej $x 1/2$ .

Złożone logarytmy

Jednym ze sposobów zobaczenia gałęzi głównej jest przyjrzenie się funkcji wykładniczej i logarytmowi , tak jak jest to definiowane w analizie zespolonej .

Funkcja wykładnicza jest jednowartościowa, gdzie $e z$ jest zdefiniowane jako:

\ Displaystyle e ^ {z} = e ^ {a} \ sałata b + ie ^ {a} \ grzech b

gdzie ${\ displaystyle z = a + ib}$ .

Jednak okresowy charakter zaangażowanych funkcji trygonometrycznych jasno pokazuje, że logarytm nie jest tak jednoznacznie określony. Jednym ze sposobów, aby to zobaczyć, jest spojrzenie na następujące elementy:

{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ log z) = \ log {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

I

{\ Displaystyle \ operatorname {Im} (\ log z) = \ operatorname {atan2} (b, a) + 2 \ pi k}

gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą, a $atan2$ kontynuuje wartości funkcji $arctan (b/a)$ z ich głównego zakresu wartości ${\ Displaystyle (- \ pi / 2, \; \ pi / 2]}$ , co odpowiada głównemu zakresowi wartości $arg (z)$ -funkcji $]}$ $( - \ pi, \$ , obejmujące wszystkie cztery ćwiartki na płaszczyźnie zespolonej.

Dowolny $log z liczb$ zdefiniowany przez takie kryteria ma tę właściwość, że $e log z = z$ .

W ten sposób funkcja logarytmiczna jest funkcją wielowartościową (często określaną jako „wielofunkcyjna” w kontekście analizy złożonej). Cięcie gałęzi, zwykle wzdłuż ujemnej osi rzeczywistej, może ograniczyć część urojoną tak, że leży ona między $-π$ a $π$ . To są wybrane wartości główne .

To jest główna gałąź funkcji dziennika. Często jest definiowany wielką literą, $Log z$ .

Zobacz też

Linki zewnętrzne