Niecałkowita podstawa numeracji

Reprezentacja niecałkowita wykorzystuje liczby niecałkowite jako podstawę lub podstawę pozycyjnego systemu liczbowego . Dla niecałkowitej podstawy β > 1 wartość

${\ Displaystyle x = d_ {n} \ kropki d_ {2} d_ {1} d_ {0}.d_ {-1} d_ {-2} \ kropki d_ {-m }}$

Jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = \ beta ^ {n} d_ {n} + \ cdots + \ beta ^ {2} d_ {2} + \ beta d_ {1} + d_ {0} \\ & \qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{wyrównane} }}$

Liczby d _i są nieujemnymi liczbami całkowitymi mniejszymi niż β . Jest to również znane jako rozszerzenie β , pojęcie wprowadzone przez Rényi (1957) i po raz pierwszy szczegółowo zbadane przez Parry'ego (1960) . Każda liczba rzeczywista ma co najmniej jedno (prawdopodobnie nieskończone) rozwinięcie β . Zbiór wszystkich rozszerzeń β , które mają skończoną reprezentację, jest podzbiorem pierścienia Z [ β , β ⁻¹ ].

Istnieją zastosowania rozszerzeń β w teorii kodowania ( Kautz 1965 ) i modelach kwazikryształów ( Burdik i in. 1998 ; Thurston 1989 ).

Budowa

β są uogólnieniem rozwinięć dziesiętnych . Chociaż nieskończone rozwinięcia dziesiętne nie są unikalne (na przykład 1,000... = 0,999... ), wszystkie skończone rozwinięcia dziesiętne są unikalne. Jednak nawet skończone β niekoniecznie są unikalne, na przykład φ + 1 = φ ² dla β = φ , złoty podział . Kanoniczny wybór rozwinięcia β danej liczby rzeczywistej można określić za pomocą następującego algorytmu zachłannego , głównie ze względu na Rényi (1957) i sformułowane w sposób podany tutaj przez Frougny (1992) .

Niech β > 1 będzie podstawą, a x nieujemną liczbą rzeczywistą. Oznaczmy przez ⌊ x ⌋ funkcję podłogi x (czyli największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą x ) i niech { x } = − ⌊ x ⌋ będzie x częścią ułamkową x . Istnieje liczba całkowita k taka, że ​​β ^k ≤ x < β ^{k +1} . Ustawić

${\ Displaystyle d_ {k} = \ lfloor x/\ beta ^ {k} \ rfloor}$

I

${\ displaystyle r_ {k} = \ {x / \ beta ^ {k} \}. \,}$

Dla k − 1 ≥ j > −∞ , wstaw

${\ Displaystyle d_ {j} = \ lfloor \ beta r_ {j + 1} \ rfloor \ quad r_ {j} = \ {\ beta r_ {j + 1} \}.}$

Innymi słowy, kanoniczne rozszerzenie β x jest definiowane przez wybranie największego d _k takiego, że β ^k d _k ≤ x , a następnie wybranie największego d _{k −1} takiego, że β ^k d _k + β ^{k −1} d _{k − 1} ≤ x i tak dalej. W ten sposób wybiera leksykograficznie ciąg reprezentujący x .

W przypadku podstawy liczby całkowitej definiuje to zwykłe rozwinięcie podstawy dla liczby x . Ta konstrukcja rozszerza zwykły algorytm na możliwie niecałkowite wartości β .

Konwersja

Wykonując powyższe kroki, możemy utworzyć rozwinięcie β $0}$ liczby rzeczywistej (kroki są identyczne dla n , chociaż n należy najpierw pomnożyć przez $geq$ −1 , aby był dodatni, wynik należy pomnożyć przez −1 , aby ponownie był ujemny).

Najpierw musimy zdefiniować naszą wartość k (wykładnik najbliższej potęgi β większej niż n , a także liczbę cyfr w , gdzie ${\ Displaystyle n _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ lfloor n_ {\ beta} \ rfloor}$ jest zapisane w bazie β ). Wartość k dla n i β można zapisać jako:

${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {\ beta} (n) \ rfloor + 1}$

Po znalezieniu wartości k można zapisać jako d , gdzie ${\ displaystyle n_ {\ beta}}$

${\ Displaystyle d_ {j} = \ lfloor (n/\ beta ^ {j}) {\ bmod {\ beta} }\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}}$

dla k - 1 ≥ jot > -∞ . Pierwsze k wartości d pojawiają się po lewej stronie miejsca dziesiętnego.

Można to również zapisać w następującym pseudokodzie :

   
	     
	  
	  

	          
		  function  toBase  (  n  ,  b  )  {  k  =  podłoga  (  log  (  b  ,  n  ))  +  1  precyzja  =  8  wynik  =  ""  for  (  i  =  k  -  1  ,  i  >  -  precyzja  -  1  ,  i  --  )  {  if  (  wynik  .      
		
		      
		    
		  
	

	 
 długość  ==  k  )  wynik  +=  "."  cyfra  =  podłoga  ((  n  /  b  ^  i  )  mod  b  )  n  -=  cyfra  *  b  ^  i  wynik  +=  cyfra  }  return  wynik  } 

$} ,$$\ geq 0$ { Displaystyle nie konwertuje każdej cyfry na ich poprawne symbole liczby ujemne. Na przykład, jeśli wartość cyfry to 10 , będzie reprezentowana jako 10 zamiast A .

Przykładowy kod implementacji

Do podstawy π

• JavaScript :

           
           
         0   0
  
         
  
       funkcja  toBasePI  (  liczba  ,  precyzja  =  8  )  {  niech  k  =  Math  .  piętro  (  Math  .  log  (  liczba  )  /  Math  .  log  (  Math  .  PI  ))  +  1  ;  jeśli  (  k  <  )  k  =  ;  niech  cyfry  =  [];  Do          
                  
            (  niech  i  =  k  -  1  ;  ja  >  (  -  1  *  precyzja  )  -  1  ;  i  --  )  {  niech  cyfra  =  Math  .  floor  ((  num  /  Math  .  pow  (  Math  .  PI  ,  i  ))  %  Math  .  PI  );  liczba  -=     
          
  
             0
              
      
  
         
           0 
  
        cyfra  *  Matematyka  .  pow  (  Mat  .  PI  ,  i  );  cyfry  .  pchnij  (  cyfra  );  if  (  liczba  <=  )  przerwij  ;  }  if  (  cyfry  .  długość  >  k  )  cyfr  .  splot  (  k  ,  ,  "."  );  cyfry  zwrotne  .  dołączyć 
   (  ""  );  } 
  

Od podstawy π

• JavaScript:

    
         
         0
  
         0
         
  
          0   funkcja  fromBasePI  (  liczba  )  {  niech  liczbaPodział  =  liczba  .  podziel  (  /\./g  );  niech  liczbaDługość  =  liczbaPodział  [  ].  długość  ;  niech  wyjście  =  ;  niech  cyfry  =  liczba Podziel  .  dołącz  (  ""  );  dla  (  niech  i  =  ;  i  <    
               
      
  
       
   cyfry  .  długość  ;  i  ++  )  {  wynik  +=  cyfry  [  i  ]  *  Math  .  pow  (  Mat  .  PI  ,  liczbaDługość  -  i  -  1  );  }  zwróć  dane wyjściowe  ;  } 
  

Przykłady

Podstawa √ 2

Podstawa √ 2 zachowuje się bardzo podobnie do podstawy 2 , ponieważ wszystko, co trzeba zrobić, aby zamienić liczbę z binarnej na podstawę √ 2 , to umieścić cyfrę zero między każdą cyfrą binarną; na przykład 1911 ₁₀ = 11101110111 ₂ staje się 101010001010100010101 _{√ 2 ,} a 5118 ₁₀ = 10011111111110 ₂ staje się 1000001010101010101010100 _{√ 2} . Oznacza to, że każdą liczbę całkowitą można wyrazić w podstawie √ 2 bez potrzeby kropki dziesiętnej. Podstawy można również użyć do pokazania związku między bokiem kwadratu a jego przekątną , ponieważ kwadrat o boku 1 _{√ 2} będzie miał przekątną 10 _{√ 2} , a kwadrat o boku 10 _{√ 2} będzie mają przekątną 100 _{√ 2} . Innym zastosowaniem podstawy jest pokazanie współczynnika srebra , ponieważ jego reprezentacja w podstawie √ 2 to po prostu 11 _{√ 2} . Dodatkowo pole ośmiokąta foremnego o boku 1 _{√ 2} wynosi 1100 _{√ 2} , pole ośmiokąta foremnego o boku 10 _{√ 2} wynosi 110000 _{√ 2} , pole ośmiokąta foremnego o boku 100 _{√ 2} wynosi 11000000 _{√ 2} , itd…

Złota podstawa

Główny artykuł: podstawa złotego podziału

W złotej podstawie niektóre liczby mają odpowiednik więcej niż jednej podstawy dziesiętnej: są niejednoznaczne . Na przykład: 11 _φ = 100 _φ .

podstawa ψ

Istnieją również liczby o podstawie ψ, które są również niejednoznaczne. Na przykład 101 _ψ = 1000 _ψ .

podstawa _

Przy podstawie e logarytm naturalny zachowuje się jak logarytm wspólny , jak ln(1 _e ) = 0, ln(10 _e ) = 1, ln(100 _e ) = 2 i ln(1000 _e ) = 3.

Podstawa e jest najbardziej ekonomicznym wyborem podstawy β > 1 ( Hayes 2001 ), gdzie ekonomia podstawy jest mierzona jako iloczyn podstawy i długości ciągu symboli potrzebnych do wyrażenia danego zakresu wartości.

Podstawa π

Podstawę π można wykorzystać do łatwiejszego pokazania zależności między średnicą koła a jego obwodem , który odpowiada jego obwodowi ; ponieważ obwód = średnica × π, okrąg o średnicy 1 _π będzie miał obwód 10 _π , okrąg o średnicy 10 _π będzie miał obwód 100 _π itd. Ponadto, ponieważ pole = π × promień ² , okrąg o promieniu 1 _π będzie miało pole 10 _π , koło o promieniu 10 _π będzie miało pole 1000 _π , a koło o promieniu 100 _π będzie miało pole 100 000 _π .

Nieruchomości

W żadnym systemie liczb pozycyjnych każda liczba nie może być wyrażona jednoznacznie. Na przykład w systemie dziesiętnym liczba 1 ma dwie reprezentacje: 1,000... i 0,999... . Zbiór liczb z dwiema różnymi reprezentacjami jest gęsty w liczbach rzeczywistych ( Petkovšek 1990 ), ale kwestia klasyfikacji liczb rzeczywistych z unikalnymi rozszerzeniami β jest znacznie bardziej subtelna niż w przypadku baz liczb całkowitych ( Glendinning & Sidorov 2001 ).

Innym problemem jest klasyfikacja liczb rzeczywistych, których rozwinięcia β są okresowe. Niech β > 1, a Q ( β ) będzie najmniejszym rozszerzeniem pola wymiernych zawierających β . Wtedy każda liczba rzeczywista w [0,1) mająca okresowe β musi leżeć w Q ( β ). Z drugiej strony, odwrotność nie musi być prawdziwa. Odwrotna sytuacja zachodzi, jeśli β jest liczbą Pisota ( Schmidt 1980 ), chociaż warunki konieczne i wystarczające nie są znane.

Zobacz też

• Koder beta
• Niestandardowe pozycyjne systemy liczbowe
• Rozwinięcie dziesiętne
• Serie mocy
• Numeracja Ostrowskiego

•    Bugeaud, Yann (2012), Dystrybucja modulo jeden i przybliżenie diofantyczne , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 193, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11169-0 , Zbl 1260.11001
•     Burdik, C.; Frougny Ch.; Gazeau, JP; Krejcar, R. (1998), „Beta-całkowite jako naturalne systemy zliczania kwazikryształów”, Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (30): 6449–6472, Bibcode : 1998JPhA...31.6449B , CiteSeerX 10.1. 1.30.5106 , doi : 10.1088/0305-4470/31/30/011 , ISSN 0305-4470 , MR 1644115 .
•    Frougny, Christiane (1992), „Jak pisać liczby całkowite w bazie niecałkowitej” , LATIN '92 , Notatki z wykładów z informatyki, tom. 583/1992, Springer Berlin/Heidelberg, s. 154–164, doi : 10.1007/BFb0023826 , ISBN 978-3-540-55284-0 , ISSN 0302-9743 .
•    Glendinning, Paweł ; Sidorov, Nikita (2001), „Unikalne reprezentacje liczb rzeczywistych w bazach innych niż całkowite” , Mathematical Research Letters , 8 (4): 535–543, doi : 10.4310/mrl.2001.v8.n4.a12 , ISSN 1073- 2780 , MR 1851269 .
• Hayes, Brian (2001), „Trzecia baza” , American Scientist , 89 (6): 490–494, doi : 10.1511/2001.40.3268 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 24.03.2016 .
•    Kautz, William H. (1965), „Kody Fibonacciego do sterowania synchronizacją”, Instytut Inżynierów Elektryków i Elektroników. Transakcje dotyczące teorii informacji , IT-11 (2): 284–292, doi : 10.1109/TIT.1965.1053772 , ISSN 0018-9448 , MR 0191744 .
•     Parry, W. (1960), „O rozszerzeniach β liczb rzeczywistych”, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 11 (3–4): 401–416, doi : 10,1007/bf02020954 , hdl : 10338.dmlcz/120535 , ISSN 0001-5954 , MR 0142719 , S2CID 116417864 .
•     Petkovšek, Marko (1990), „Liczby niejednoznaczne są gęste”, The American Mathematical Monthly , 97 (5): 408–411, doi : 10.2307/2324393 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324393 , MR 1048915 .
•     Rényi, Alfréd (1957), „Reprezentacje liczb rzeczywistych i ich właściwości ergodyczne”, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 8 (3–4): 477–493, doi : 10.1007/BF02020331 , hdl : 10338.dmlcz/102491 , ISSN 0001-5954 , MR 0097374 , S2CID 122635654 .
•    Schmidt, Klaus (1980), „O okresowych ekspansjach liczb Pisota i liczb Salema”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 12 (4): 269–278, doi : 10.1112/blms/12.4.269 , hdl : 10338. dmlcz/141479 , ISSN 0024-6093 , MR 0576976 .
• Thurston, WP (1989), „Grupy, nachylenia i automaty skończone”, AMS Colloquium Lectures

Dalsza lektura

•    Sidorov, Nikita (2003), „Dynamika arytmetyczna”, w: Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (red.), Tematy z dynamiki i teorii ergodycznej. Artykuły przeglądowe i mini-kursy zaprezentowane na międzynarodowej konferencji i warsztatach amerykańsko-ukraińskich na temat układów dynamicznych i teorii ergodycznej, Katsiveli, Ukraina, 21–30 sierpnia 2000 r., Londyn. Matematyka soc. Wykład. Uwaga Ser., tom. 310, Cambridge: Cambridge University Press , s. 145–189, ISBN 978-0-521-53365-2 , Zbl 1051.37007

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Baza” . MathWorld .