Superzłoty stosunek

Superzłoty stosunek

Racjonalność	Irracjonalny
Symbol	ψ
Reprezentacje
Dziesiętny	1.46557 12318 76768 02665 67312 ...
Forma algebraiczna	${\ Displaystyle {\ Frac {1 + {\ sqrt [{3}] {\ Frac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2 }}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}}$
Ułamek ciągły (liniowy)	[1; 2, 6, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, ...] Nieokresowy Nieskończony
Dwójkowy	1.0111 0111 0010 1111 1010 ...
Szesnastkowy	1.772 FAD1 EDE8 0B46 ...

W matematyce dwie wielkości są w superzłotym stosunku , jeśli iloraz większej liczby podzielonej przez mniejszą jest równy

${\ Displaystyle \ psi = {\ Frac {1 + {\ sqrt [{3}] {\ Frac {29 + 3 {\ sqrt {93 }}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {29-3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}}$

co jest jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania . ${\ Displaystyle x ^ {3} = x ^ {2} + 1}$ . Można to również przedstawić za pomocą cosinusa hiperbolicznego jako:

${\ Displaystyle \ psi = {\ Frac {2} {3}} \ cosh {\ lewo ({\ tfrac {\ cosh ^ { -1}\left({\frac {29}{2}}\right)}{3}}\right)}+{\frac {1}{3}}}$

Rozwinięcie dziesiętne tej liczby zaczyna się od 1,465571231876768026656731…, a stosunek ten jest zwykle reprezentowany przez grecką literę $)$ psi . Jego odwrotnością jest:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ psi}} = {\ sqrt[{3}]{\frac {1+{\sqrt {\frac {31}{27}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {1-{\sqrt {\frac {31}{27}}}}{2}}}={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\tfrac {1}{3}}\sinh ^ {-1}\!\left({\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right)}$

Superzłoty podział jest również czwartą najmniejszą liczbą Pisota .

Superzłota sekwencja

Superzłota sekwencja , znana również jako sekwencja krów Narayana , to sekwencja , w której stosunek między kolejnymi wyrazami zbliża się do superzłotego podziału. Pierwsze trzy wyrazy to każdy jeden, a każdy następny wyraz jest obliczany przez dodanie poprzedniego wyrazu i terminu dwa miejsca przed nim; za $\ Displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} + a_ {n-2$${\ Displaystyle a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = 1}$ za . Pierwsze wartości to 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595… ( OEIS:A000930 ) .

Nieruchomości

Trójkąt o bokach długości superzłotego stosunku, jego odwrotności, a jeden ma kąt dokładnie 120 stopni przeciwny do długości stosunku

Wiele właściwości superzłotego podziału jest powiązanych z właściwościami złotego podziału φ . Na przykład, n- ty element ciągu Narayana to liczba sposobów ułożenia prostokąta 1 × n płytkami 1 × 1 i 1 × 3, podczas gdy n- tym wyrazem ciągu Fibonacciego jest liczba sposobów ułożenia 1 × n prostokąt z płytkami 1 × 1 i 1 × 2. Superzłoty stosunek spełnia ${\ Displaystyle \ psi -1 = \ psi ^ {- 2}}$${\ Displaystyle \ varphi -1 = \ varphi ^ {- 1}$ } . W problemie królika Fibonacciego każda para rozmnaża każdy cykl, zaczynając po dwóch cyklach, podczas gdy w problemie krów Narayana każda para rozmnaża każdy cykl, zaczynając po trzech cyklach. Istnieje superzłoty prostokąt, który ma tę właściwość, że jeśli kwadrat zostanie usunięty z jednej strony, pozostały prostokąt można podzielić na dwa superzłote prostokąty o przeciwnych orientacjach.

Innym przykładem jest to, że zarówno złoty podział, jak i superzłoty podział są liczbami Pisota . Koniugaty algebraiczne superzłotego podziału to ${\ Displaystyle {\ dfrac {1+ \ lewo ({\ tfrac {1 \ pm i {\ sqrt {3}}} {2}} \ prawo) {\ sqrt [{3}] {\ tfrac {29 + 3 {\sqrt {93}}}{2}}}+\left({\tfrac {1\mp i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{\ tfrac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2}}}} {3}},}$ i mają wielkość 1 $\ psi} }} \ około 0,8260313}$ , jako iloczyn pierwiastków ψ $Displaystyle \ psi ^ {3} - \ psi ^ {2} -1 = 0}$ 2 wynosi 1.

Superzłoty prostokąt

Ten diagram pokazuje długości malejących potęg w superzłotym prostokącie oraz wzór przecinających się kątów prostych, który pojawia się w wyniku

Superzłoty prostokąt to prostokąt, którego długości boków są w superzłotym stosunku, tzn. długość dłuższego boku podzielona przez długość krótszego boku jest równa ${ \ Displaystyle {\ Frac {1 + {\ sqrt [{3}] {\ Frac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2}}} + {\ sqrt [{3}] {\ frac {29 -3{\sqrt {93}}}{2}}}}{3}}}$ , superzłoty stosunek ψ . Kiedy kwadrat o tej samej długości boku co krótszy bok prostokąta zostanie usunięty z jednego boku prostokąta, boki powstałego prostokąta będą miały stosunek ψ 2 ^∶1 . Prostokąt ten można podzielić na prostokąty o stosunkach długości boków ψ ∶1 i 1∶ ψ , dwóch superzłotych stosunkach prostopadłych orientacji, a ich pola będą w stosunku ψ ² ∶1. Ponadto, jeśli linia który oddziela dwa superzłote prostokąty od siebie, jest rozciągnięty na resztę oryginalnego prostokąta w taki sposób, że – wraz z bokiem kwadratu, który został usunięty z pierwotnego prostokąta – dzieli oryginalny prostokąt na ćwiartki, wtedy większy superzłoty prostokąt ma ten sam $jego$ przekątna to długość krótszego boku oryginalnego prostokąta podzielona przez , czwarta ćwiartka jest również superzłotym prostokątem, a jego przekątna długość wynosi ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ psi}}}$ razy długość krótszego boku oryginalnego prostokąta.

Zobacz też

• Rozwiązania równań podobne do ${\ Displaystyle x ^ {3} = x ^ {2} + 1}$ :
  • Złoty podział - jedyne pozytywne rozwiązanie równania ${\ Displaystyle x ^ {2} = x + 1}$
  • Liczba plastyczna - jedyne prawdziwe rozwiązanie równania ${\ Displaystyle x ^ {3} = x + 1}$