stała Cahena

W matematyce stałą Cahena definiuje się jako wartość nieskończonego szeregu ułamków jednostkowych o naprzemiennych znakach:

${\ Displaystyle C = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {i}} {s_ {i} -1}} = {\ Frac {1} {1} }-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \około 0,64341054629.}$

Tutaj ${\ Displaystyle (s_ {i}) _ {i \ geq 0}}$ oznacza sekwencję Sylwestra , która jest zdefiniowana rekurencyjnie przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {l} s_ {0} ~ ~ ~ = 2; \\ s_ {i + 1} = 1 +\prod _{j=0}^{i}s_{j}{\text{ dla }}i\geq 0.\end{tablica}}}$

Łączenie tych ułamków w pary prowadzi do alternatywnego rozwinięcia stałej Cahena jako serii dodatnich ułamków jednostkowych utworzonych z wyrazów w parzystych pozycjach ciągu Sylwestra. Ten szereg dla stałej Cahena tworzy jego zachłanną egipską ekspansję :

${\ Displaystyle C = \ suma {\ Frac {1} {s_ {2i}}} = {\ Frac {1} {2} }}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots}$

Ta stała została nazwana na cześć Eugène Cahena (znanego również z całki Cahena-Mellina ), który jako pierwszy ją wprowadził i udowodnił jej irracjonalność.

Kontynuacja ekspansji frakcji

Większość naturalnie występujących stałych matematycznych nie ma znanych prostych wzorców w swoich ciągłych rozwinięciach ułamkowych. Niemniej jednak znana $stałej$ całkowita ciągła ekspansja ułamkowa Cahena : jest

$${\ Displaystyle C = \ lewo [a_ {0} ^ {2}; a_ {1} ^ {2}, a_ {2} ^ {2} ,a_{3}^{2},a_{4}^{2},\ldkropki \right]=[0;1,1,1,4,9,196,16641,\ldkropki ]}$$

gdzie ciąg współczynników

0, 1, 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (sekwencja A006279 w OEIS )

jest określony przez relację rekurencyjną

$${\ Displaystyle a_ {0} = 0, ~ a_ {1} = 1, ~ a_ {n + 2} = a_ {n} \ lewo (1 + a_ {n} a_ {n + 1} \ prawo) ~ \ forall ~n\w \mathbb {Z} _{\geqslant 0}.}$$

Wszystkie częściowe ilorazy tego rozwinięcia są kwadratami liczb całkowitych. Davison i Shallit wykorzystali ciągłe rozszerzanie ułamków, aby udowodnić $że$ jest transcendentalny .

Alternatywnie, można wyrazić częściowe ilorazy w dalszym rozwinięciu ułamka stałej Cahena za pomocą wyrazów ciągu Sylwestra : Aby to zobaczyć, udowadniamy przez indukcję po ${\ Displaystyle n \ geq 1},$ że ${\ Displaystyle 1 + a_ {n} a_ {n + 1} = s_ {n-1}}$ . $=$ mamy jeśli ${\ Displaystyle 1 + a_ {n} a_ {n + 1} = s_ {n-1}}$ utrzymuje się przez jakiś czas ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ , a następnie

${\ Displaystyle 1 + a_ {n + 1} a_ {n + 2} = 1 +a_{n+1}\cdot a_{n}(1+a_{n}a_{n+1})=1+a_{n}a_{n+1}+(a_{n}a_{n+ 1})^{2}=s_{n-1}+(s_{n-1}-1)^{2}=s_{n-1}^{2}-s_{n-1}+1= s_ {n},}$ gdzie użyliśmy rekurencji dla $\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ w pierwszym kroku odpowiednio rekurencji dla ${ \displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}$ w ostatnim kroku. W konsekwencji za $}}$ obowiązuje dla każdego ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ , z którego łatwo to wywnioskować

${\ Displaystyle C = [0; 1,1 ,1,s_{0}^{2},s_{1}^{2},(s_{0}s_{2})^{2},(s_{1}s_{3})^{2} ,(s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots ]}$ .

Kolejność najlepszego przybliżenia

Stała Cahena ma najlepszy porządek przybliżenia $q$${\ displaystyle q ^ {- 3$ } $takie$ istnieją nierówność ${\ Displaystyle 0 <{\ Duży |} C - {\ Frac {p} {q}} {\ Duży | < {\ Frac {K_ {1}} {q ^ {3}}} }$ ma nieskończenie wiele rozwiązań ${\ Displaystyle (p, q) \ in \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {N}}$ , podczas gdy nierówność ${\ Displaystyle 0 <{\ Duży |} C - {\ Frac {p} {q}} {\ Duży | < {\ Frac {K_ {2}} {q ^ {3}}} }$ ma co najwyżej skończenie wiele rozwiązań ${\ Displaystyle (p, q) \ in \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {N}}$ . Oznacza to (ale nie jest równoważne) z faktem, że ma miarę irracjonalności 3, którą po raz pierwszy zaobserwowali Duverney i Shiokawa ( $2020$ .

Aby dać dowód, oznacz przez ${\ Displaystyle (p_ {n}/q_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ciąg zbieżności do stałej Cahena (to znaczy ${\ Displaystyle q_ {n-1} = a_ {n} {\ tekst {dla każdego}} n \ geq 1})$ .

${n} \ cdot s_ {n-1}}$ wynika to z rekurencji dla ${\ Displaystyle (s_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ to

${\ Displaystyle {\ Frac {a_ {n + 2}}} {a_ {n + 1} ^{2}}}={\frac {a_{n}\cdot s_{n-1}}{a_{n-1}^{2}\cdot s_{n-2}^{2}}}= {\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}\cdot {\frac {s_{n-2}^{2}-s_{n-2}+1}{s_ {n-1}^{2}}}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}\cdot {\Big (}1-{\frac {1}{ s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n-1}^{2}}}{\duży )}}$

dla każdego ${\ displaystyle n \ geq 1}$ . W konsekwencji limity

${\ Displaystyle \ alfa: = \ lim _ {n \ do \ infty }{\frac {q_{2n+1}}{q_{2n}^{2}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\Duży (}1-{\frac {1 }{s_{2n}}}+{\frac {1}{s_{2n}^{2}}}{\Duży )}} i$ β ${\ Displaystyle \ beta: = \ lim _ {n \ do \ infty}} {\ Frac {q_ {2n +2}}{q_{2n+1}^{2}}}=2\cdot \prod _{n=0}^{\infty}{\Big (}1-{\frac {1}{s_{ 2n+1}}}+{\frac {1}{s_{2n+1}^{2}}}{\duży )}}$

(przypomnijmy, że $iloczynów$ nieskończonych, co wynika z bezwzględnej ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ duży |} {\ Frac {1} {s_ {n}}} - {\ Frac {1} {s_ {n} ^ {2} }}{\Duży |}}$ . Liczbowo można sprawdzić, że ${\ Displaystyle 0 <\ alpha <1 <\ beta <2}$ . Stąd dobrze znana nierówność

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {q_ {n} (q_ {n} + q_ {n + 1}}}} \ równoważnik {\ duży |} C- {\ frac { p_{n}}{q_{n}}}{\Duży |}\równoważnik {\frac {1}{q_{n}q_{n+1}}}}$

plony

${\ Displaystyle {\ Duży |} C- {\frac {p_{2n+1}}{q_{2n+1}}}{\Duży |}\leq {\frac {1}{q_{2n+1}q_{2n+2}}}={ \frac {1}{q_{2n+1}^{3}\cdot {\frac {q_{2n+2}}{q_{2n+1}^{2}}}}}<{\frac {1 }{q_{2n+1}^{3}}}}$ i ${\ Displaystyle {\ duży |} C- {\ Frac {p_ {n} }{q_{n}}}{\Duży |}\geq {\frac {1}{q_{n}(q_{n}+q_{n+1})}}>{\frac {1}{q_ {n}(q_{n}+2q_{n}^{2})}}\geq {\frac {1}{3q_{n}^{3}}}}$

dla wszystkich wystarczająco dużych ${\ displaystyle n}$ . Dlatego $}} K_ {2} = 1/3$${$ \ ), gdzie używamy tego dowolnego rozwiązania $p, q) \ in \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {N}}$ (

${\ Displaystyle 0 <{\ Duży |} C - {\ Frac {p} {q}} {\ Duży | < {\ Frac {1} {3q ^ {3}}}}$

jest koniecznie zbieżna ze stałą Cahena.

Notatki

• Cahen, Eugène (1891), „Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en ułamki trwa”, Nouvelles Annales de Mathématiques , 10 : 508–514
•   Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991), „Ciągłe ułamki dla niektórych szeregów naprzemiennych”, Monatshefte für Mathematik , 111 (2): 119–126, doi : 10.1007 / BF01332350 , S2CID 120003890
•    Borwein, Jonathan; van der Poorten, Alf; Shallit, Jeffrey ; Zudilin, Wadim (2014), Niekończące się ułamki: wprowadzenie do ułamków ciągłych , Seria wykładów Australijskiego Towarzystwa Matematycznego, tom. 23, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511902659 , ISBN 978-0-521-18649-0 , MR 3468515
•    Duverney, Daniel; Shiokawa, Iekata (2020), „Irracjonalność wykładników liczb związanych ze stałą Cahena”, Monatshefte für Mathematik , 191 (1): 53–76, doi : 10.1007 / s00605-019-01335-0 , MR 4050109 , S2CID 209968916

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. , „Stała Cahena” , MathWorld
• „Stała Cahena do 4000 cyfr” , Plouffe's Inverter , Université du Québec à Montréal , zarchiwizowane z oryginału 17 marca 2011 r. , Pobrane 19.03.2011
• „Stała Cahena (1 000 000 cyfr)” , grupa komunikacyjna Darkside , pobrano 2017-12-25