stała omega

Ten artykuł dotyczy określonej wartości funkcji W Lamberta. Aby zapoznać się z innymi stałymi omega, zobacz omega (ujednoznacznienie) § Matematyka .

Stała omega to stała matematyczna zdefiniowana jako unikalna liczba rzeczywista , która spełnia równanie

${\ Displaystyle \ Omega e ^ {\ Omega} = 1.}$

Jest to wartość W (1) , gdzie W jest funkcją W Lamberta . Nazwa pochodzi od alternatywnej nazwy funkcji W Lamberta , funkcji omega . Wartość liczbowa Ω jest dana przez

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (sekwencja A030178 w OEIS ).

1/Ω = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (sekwencja A030797 w OEIS ).

Nieruchomości

Reprezentacja punktu stałego

Definiująca tożsamość może być wyrażona na przykład jako

${\ Displaystyle \ ln ({\ tfrac {1} {\ Omega}}) = \ Omega.}$

Lub

${\ Displaystyle - \ ln (\ Omega) = \ Omega}$

jak również

${\ Displaystyle e ^ {- \ Omega} = \ Omega.}$

Obliczenie

Można obliczyć Ω iteracyjnie , zaczynając od wstępnego przypuszczenia Ω ₀ i biorąc pod uwagę sekwencję

${\ Displaystyle \ Omega _ {n + 1} = e ^ {- \ Omega _ {n}}.}$

Ta sekwencja zbiegnie się do Ω , gdy n zbliża się do nieskończoności. Dzieje się tak, ponieważ Ω jest atrakcyjnym punktem stałym funkcji e ^{− x} .

Znacznie wydajniej jest używać iteracji

${\ Displaystyle \ Omega _ {n + 1} = {\ Frac {1 + \ Omega _ {n}} {1 + e ^ {\ Omega _ { N}}}},}$

ponieważ funkcja

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}}}$

oprócz tego, że ma ten sam punkt stały, ma również pochodną, ​​która tam znika. Gwarantuje to kwadratową zbieżność; to znaczy liczba poprawnych cyfr jest z grubsza podwojona przy każdej iteracji.

Korzystając z metody Halleya , Ω można przybliżyć za pomocą zbieżności sześciennej (liczba poprawnych cyfr jest z grubsza potrojona przy każdej iteracji): (patrz także funkcja Lamberta W § Ocena numeryczna ).

${\ Displaystyle \ Omega _ {j + 1} = \ Omega _ {j} - {\ Frac {\ Omega _ {j} e ^ {\ Omega _ {j}} -1} {e ^ {\ Omega _ { j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}.}$

Reprezentacje integralne

Tożsamość należna Victorowi Adamczikowi wynika z relacji

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {dt} {(e ^ {t} -t) ^ {2} + \ pi ^ {2}}} = {\ frac { 1}{1+\Omega}}.}$

Inne relacje wynikające z Mező i Kalugin-Jeffrey-Corless to:

${\ pi}} \ nazwa operatora {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it} }-e^{it}}}\right)dt,}$

${\ Displaystyle \ Omega = {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ log \ lewo (1 + {\ Frac {\ sin t} {t}} e ^ { t\łóżeczko t}\prawo)dt.}$

Te dwie ostatnie tożsamości można rozszerzyć na inne wartości funkcji W (patrz także funkcja W Lamberta § Reprezentacje ).

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Stała Omega” . MathWorld .
• „Stała omega (1 000 000 cyfr)” , grupa komunikacyjna Darkside (w Japonii) , pobrano 2017-12-25