Stała pierwsza

Nie należy mylić z bliźniaczą stałą pierwszą Hardy'ego-Littlewooda lub bliźniaczą stałą pierwszą Bruna .

th binary Stała pierwsza to $jest$ rzeczywista , której $binarna$ to 1, jeśli $i$ pierwszą prime and 0 if $n$ is or 1.

Innymi słowy, jest $liczbą$ której rozwinięcie binarne odpowiada funkcji wskaźnika zbioru liczb pierwszych . To jest,

${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {p} {\ Frac {1} {2 ^ {p}}} = \ suma _ {n=1}^{\infty}{\frac {\chi _{\mathbb {P}}(n)}{2^{n}}}}$

gdzie $.$$liczbę$ i $jest$ charakterystyczną zbioru pierwszych _

Początek rozwinięcia dziesiętnego ρ to: ${\ Displaystyle \ rho = 0,414682509851111660248109622 \ ldots}$ (sekwencja A051006 w OEIS )

Początek rozwinięcia binarnego to: ${\ Displaystyle \ rho = 0,011010100010100010100010000 \ ldots _ {2}}$ (sekwencja A010051 w OEIS )

Irracjonalność

Można pokazać, że $niewymierna$ jest . Aby zobaczyć dlaczego, załóżmy, że było to racjonalne .

Oznacz ${ \$ rozwinięcia binarnego przez $displaystyle$$r_ {k}$ } Następnie, ponieważ zakłada $displaystyle$$to racjonalne$ , jego rozwinięcie binarne jest ostatecznie okresowe, a więc istnieją dodatnie liczby całkowite k $k}$ takie, że ${\ Displaystyle r_ {n} = r_ {n + ik}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle n> N}$ i wszystkich ${\ Displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$ .

Ponieważ istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, możemy wybrać liczbę pierwszą ${\ displaystyle p> N}$ . Z definicji widzimy, że ${\ displaystyle r_ {p} = 1}$ . Jak wspomniano, mamy dla wszystkich ${\ displaystyle r_ {p} = r_ {p + ik}}$${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$ . Rozważmy teraz przypadek ${\ displaystyle i = p}$ . Mamy ${\ Displaystyle r_ {p + i \ cdot k} = r_ {p + p \ cdot k} = r_ {p (k + 1)} = 0}$ , ponieważ jest złożony, ponieważ ${\ Displaystyle p (k + 1)}$ jest złożony, ponieważ ${\ Displaystyle k + 1 \ geq 2}$ . Od $\ Displaystyle r_ {p} \ neq r_ {p (k + 1)}}$$irracjonalne$ widzimy, że jest .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Pierwsza stała” . MathWorld .