Ułamek jednostkowy

Ułamek jednostkowy to liczba wymierna zapisana jako ułamek , w którym licznik jest równy jeden , a mianownik jest dodatnią liczbą całkowitą . Ułamek jednostkowy jest zatem odwrotnością dodatniej liczby całkowitej 1/ n . Przykłady to 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 itd.

Arytmetyka

Arytmetyka elementarna

Mnożenie dowolnych dwóch ułamków jednostkowych daje iloczyn, który jest kolejnym ułamkiem jednostkowym:

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} \ razy {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {1} {xy}}.}$$

Jednak dodanie , odjęcie lub podzielenie dwóch ułamków jednostkowych daje wynik, który generalnie nie jest ułamkiem jednostkowym:

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} + {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {x + y} {xy}}}$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} - {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {yx} {xy}}}$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} \ div {\ Frac {1} {y}} = {\ Frac {y} {x}}.}$$

Arytmetyka modułowa

W arytmetyce modularnej ułamki jednostkowe często można przekształcić w równoważne liczby całkowite przy użyciu obliczeń opartych na największych wspólnych dzielnikach . Z kolei ta konwersja może być wykorzystana do uproszczenia operacji dzielenia w arytmetyce modularnej poprzez przekształcenie ich w równoważne operacje mnożenia. $y}$ szczególności rozważ problem dzielenia przez wartość modulo $displaystyle$ . Aby ten podział był dobrze zdefiniowany, i $displaystyle$$y}$ musi być względnie pierwsza . Kiedy tak jest, rozszerzony algorytm euklidesowy dla największego wspólnego dzielnika może być użyty do znalezienia liczb całkowitych i $\ displaystyle b}$${$ takich, że tożsamość Bézouta jest spełniona: za {\

$${\ Displaystyle \ Displaystyle ax + przez = \ gcd (x, y) = 1.}$$

W arytmetyce modulo- $displaystyle y}$ { $\$ termin można wyeliminować, ponieważ wynosi zero modulo $\ displaystyle y}$ To pozostawia

$${\ Displaystyle \ Displaystyle ax \ równoważnik 1 {\ pmod {y}}.}$$

$jest$ to, że $jeden$ odwrotnością $daje$ , która po pomnożeniu przez . równoważnie,

$${\ Displaystyle a \ równoważnik {\ Frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}$$

Zatem dzielenie przez (modulo ${\ displaystyle$$y}$ ) można zamiast tego wykonać przez pomnożenie przez liczbę całkowitą za { $displaystyle a}$

Kombinacje

Sumy skończone

Główny artykuł: Lista sum odwrotności § Skończenie wiele wyrazów

Dowolną dodatnią liczbę wymierną można zapisać jako sumę ułamków jednostkowych na wiele sposobów. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {5}} = {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} {20}} = {\ Frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Starożytne cywilizacje egipskie używały sum odrębnych ułamków jednostkowych w swojej notacji dla bardziej ogólnych liczb wymiernych , dlatego takie sumy są często nazywane ułamkami egipskimi . Nadal istnieje zainteresowanie analizą metod stosowanych przez starożytnych do wybierania spośród możliwych reprezentacji liczby ułamkowej i obliczania za pomocą takich reprezentacji. Temat ułamków egipskich spotkał się również z zainteresowaniem współczesnej teorii liczb ; na przykład hipoteza Erdősa – Grahama i hipoteza Erdősa – Strausa dotyczą sum ułamków jednostkowych, podobnie jak definicja liczb harmonicznych Rudy .

W geometrycznej teorii grup grupy trójkątów dzielą się na przypadki euklidesowe, sferyczne i hiperboliczne w zależności od tego, czy powiązana suma ułamków jednostkowych jest odpowiednio równa jeden, większa niż jeden lub mniejsza niż jeden .

Nieskończona seria

Główny artykuł: Lista sum odwrotności § Nieskończenie wiele wyrazów

Wiele dobrze znanych szeregów nieskończonych ma wyrazy, które są ułamkami jednostkowymi. Obejmują one:

• Szereg harmoniczny , suma wszystkich dodatnich ułamków jednostkowych. Ta suma jest rozbieżna i jej sumy cząstkowe
  $${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1}} + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {3}} + \ cdots +{\frac {1}{n}}}$$
  ściśle przybliżony logarytm naturalny plus stała Eulera $Mascheroniego$ . Zmiana każdego innego dodatku na odejmowanie daje naprzemienny szereg harmoniczny, który sumuje się do logarytmu naturalnego 2 :
  $${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1} {4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• Wzór Leibniza na π to
  $${\ Displaystyle 1- {\ Frac {1} {3}} + {\ Frac {1} {5}} - {\ Frac {1} {7}} + {\ Frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi }{4}}.}$$
• Problem Bazylejski dotyczy sumy ułamków jednostek kwadratowych:
  $${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} {9}} + {\ Frac {1} {16}} + \ cdots = {\ Frac {\ pi ^ {2 }}{6}}.}$$
  Podobnie stała Apéry'ego jest liczbą niewymierną , sumą sześciennych ułamków jednostkowych.
• Binarny szereg geometryczny to
  $${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} }{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

macierze

Macierz Hilberta to macierz z elementami

${\ Displaystyle B_ {i, j} = {\ Frac {1} {i + j-1}}.}$

Ma niezwykłą właściwość, że wszystkie elementy w jej odwrotnej macierzy są liczbami całkowitymi. Podobnie Richardson (2001) zdefiniował macierz z elementami

${\ Displaystyle C_ {i, j} = {\ Frac {1} {F_ {i + j-1}}}}$

gdzie F _i oznacza i- tą liczbę Fibonacciego . Nazywa tę macierz macierzą Filberta i ma tę samą właściwość posiadania odwrotności liczby całkowitej.

Koła sąsiedztwa i Forda

Ułamki ze stycznymi okręgami Forda różnią się o ułamek jednostkowy

Dwa ułamki ${\ displaystyle a/b}$$}$ do / re {\ displaystyle (w najniższych kategoriach) nazywane są sąsiadującymi, jeśli ${\ displaystyle ad-bc = \ pm 1 }$ , co implikuje, że ich różnica ${\ Displaystyle | ad-bc |/ bd}$ to ułamek jednostkowy. Na przykład ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$$i$ ze sobą: $1 \ cdot 5-2 \ cdot 3 = -1}$ i ${\ Displaystyle {\ tfrac {3} {5}} - {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {10}}}$ . Jednak niektóre pary ułamków, których różnica jest ułamkiem jednostkowym, nie sąsiadują ze sobą w tym sensie: na przykład ${\ displaystyle ad-bc = 3}$$\ Displaystyle {\ tfrac {1} {3}}}$$i$ różnią się o ułamek jednostkowy, ale nie sąsiadują ze sobą, ponieważ dla . pochodzi z badań okręgów Forda , okręgów, które są styczne do osi liczbowej w danym ułamku i mają kwadratowy mianownik ułamka jako średnicę: ułamki ${\ displaystyle a/b$ } ${\ displaystyle c / d}$ sąsiadują ze sobą wtedy i tylko wtedy, gdy ich okręgi Forda są okręgami stycznymi .

Aplikacje

W prawdopodobieństwie i statystyce

W rozkładzie jednorodnym w przestrzeni dyskretnej wszystkie prawdopodobieństwa są równymi ułamkami jednostkowymi. Ze względu na zasadę obojętności , prawdopodobieństwa tej postaci często pojawiają się w obliczeniach statystycznych. Dodatkowo prawo Zipfa mówi, że dla wielu obserwowanych zjawisk polegających na wybieraniu elementów z uporządkowanego ciągu prawdopodobieństwo wybrania n-tego elementu jest proporcjonalne do ułamka jednostkowego 1/ n .

w fizyce

Poziomy energetyczne fotonów , które mogą być absorbowane lub emitowane przez atom wodoru, są według wzoru Rydberga proporcjonalne do różnicy dwóch ułamków jednostkowych. Wyjaśnienia tego zjawiska dostarcza model Bohra , zgodnie z którym poziomy energetyczne orbitali elektronowych w atomie wodoru są odwrotnie proporcjonalne do ułamków jednostek kwadratowych, a energia fotonu jest kwantowana do różnicy między dwoma poziomami.

Arthur Eddington argumentował, że stała subtelnej struktury była ułamkiem jednostkowym, najpierw 1/136, a następnie 1/137. Twierdzenie to zostało sfałszowane, biorąc pod uwagę, że obecne szacunki stałej struktury subtelnej wynoszą (do 6 cyfr znaczących) 1/137,036.

Zobacz też

• Podwielokrotność

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. , „Ułamek jednostkowy” , MathWorld