Redukcja (matematyka)

W przypadku innych zastosowań zobacz Redukcja (ujednoznacznienie) .

W matematyce redukcja oznacza przepisanie wyrażenia na prostszą formę . Na przykład proces przepisywania ułamka na jeden o najmniejszym możliwym mianowniku liczby całkowitej (przy zachowaniu licznika jako liczby całkowitej) nazywany jest „ skracaniem ułamka ”. Przepisywanie radykalnego wyrażenia (lub „pierwiastka”) na najmniejszą możliwą liczbę całkowitą pod symbolem pierwiastka nazywa się „redukcją rodnika”. Minimalizowanie liczby rodników występujących w wyrażeniu pod innymi rodnikami denestujące rodniki .

Algebra

W algebrze liniowej redukcja odnosi się do stosowania prostych zasad do serii równań lub macierzy w celu zmiany ich na prostszą formę. W przypadku macierzy proces ten polega na manipulowaniu wierszami lub kolumnami macierzy, dlatego jest zwykle nazywany odpowiednio redukcją wierszy lub redukcją kolumn . Często celem redukcji jest przekształcenie macierzy w jej „ formę rzutu o zredukowanych rzędach ” lub „formę rzutu o rzędach”; taki jest cel eliminacji Gaussa .

Rachunek różniczkowy

W rachunku różniczkowym redukcja odnosi się do stosowania techniki całkowania przez części w celu oceny całek poprzez redukcję ich do prostszych form.

Redukcja statyczna (Guyan).

W analizie dynamicznej redukcja statyczna odnosi się do zmniejszania liczby stopni swobody. Redukcję statyczną można również zastosować w analizie elementów skończonych w odniesieniu do uproszczenia liniowego problemu algebraicznego. Ponieważ redukcja statyczna wymaga kilku etapów inwersji, jest to kosztowna operacja na matrycy i jest podatna na błędy w rozwiązaniu. Rozważ następujący układ równań liniowych w problemie MES:

${\ Displaystyle {\ początek {bmatrix} K_ {11} i K_ {12} \\ K_ {21} i K_ {22} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix} }}$

gdzie K i F są znane, a K , x i F są podzielone na podmacierze, jak pokazano powyżej. Jeśli F ₂ zawiera tylko zera i pożądane jest tylko x _{1 ,} K można zredukować, otrzymując następujący układ równań

${\ Displaystyle {\ początek {bmatrix} K_ {11, {\ tekst {zmniejszony}}} \ koniec {bmatrix}} {\ początek {bmatrix} x_ { 1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

${\ displaystyle K_ {11, {\ tekst {zredukowane}}}}$ otrzymuje się poprzez zapisanie układu równań w następujący sposób: K. 11 , zredukowane

${\ Displaystyle K_ {11} x_ {1} + K_ {12} x_ {2} = F_ {1}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle K_ {21} x_ {1} + K_ {22} x_ {2} = 0}$

 

 

 

 

()

Równanie ( $displaystyle x_ {2}$ ) rozwiązać dla (zakładając odwracalność ) : ${\$ }

${\ Displaystyle -K_ {22} ^ {-1} K_ {21} x_ {1} = x_ {2}.}$

Podstawienie do ( 1 ) daje

${\ Displaystyle K_ {11} x_ {1} -K_ {12} K_ {22} ^ {-1} K_ {21} x_ {1} = F_ {1}.}$

Zatem

${\ Displaystyle K_ {11, {\ tekst {zmniejszony}}} = K_ {11} -K_ {12} K_ {22} ^ {-1} K_ {21}.}$

W podobny sposób dowolny wiersz lub kolumna i F o wartości zerowej może zostać wyeliminowany, jeśli odpowiadająca wartość xi _nie jest pożądana. Zmniejszone K może zostać ponownie zredukowane. Należy zauważyć, że ponieważ każda redukcja wymaga inwersji, a każda inwersja jest operacją o koszcie obliczeniowym O ( n ³ ) , większość dużych macierzy jest przetwarzana wstępnie w celu skrócenia czasu obliczeń.

Historia

W IX wieku perski matematyk Al-Khwarizmi , Al-Jabr , wprowadził podstawowe pojęcia „redukcji” i „równoważenia”, odnosząc się do przeniesienia odejmowanych wyrazów na drugą stronę równania i anulowania podobnych wyrazów po przeciwnych stronach równania. strony równania. Jest to operacja, którą Al-Khwarizmi pierwotnie opisał jako al-jabr . Nazwa „ algebra ” pochodzi od słowa „ al-jabr ” w tytule jego książki.