Problem Erdősa-Grahama

W kombinatorycznej teorii liczb $liczb$ Grahama polega udowodnieniu jeśli całkowitych większych jest podzielony na skończenie wiele podzbiorów, to jeden z podzbiorów można wykorzystać do utworzenia ułamkowej reprezentacji egipskiej jedności. Oznacza to, że dla każdego $r>0$ każdego -kolorowania liczb całkowitych większych niż jeden istnieje skończony monochromatyczny podzbiór tych liczb całkowitych, taki że $displaystyle r$$S$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ w S} {\ Frac {1} {n}} = 1.}$

Bardziej szczegółowo, Paul Erdős i Ronald Graham przypuszczali, że dla wystarczająco dużego największego członka ${\ displaystyle S}$$może$ być ograniczony przez pewną stałą $}$${\ displaystyle b}$ niezależny od ${\ displaystyle r}$ . $Wiadomo było$$, że aby$ było prawdą, musi być co najmniej Eulera .

Ernie Croot udowodnił tę hipotezę w ramach swojej pracy doktorskiej , a później (jako doktor habilitowany na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley ) opublikował dowód w Annals of Mathematics . Wartość, jaką Croot podaje dla $jest$ duża: jest co najwyżej ${\ displaystyle e ^ {167000}}$ . Wynik Croota jest konsekwencją bardziej ogólnego twierdzenia stwierdzającego istnienie reprezentacji jedności ułamków egipskich dla zbiorów $gładkich$ liczb w przedziałach postaci $X ^ {1+ \ delta}]}$${\ Displaystyle [X$ , gdzie zawiera $wystarczająco$ wiele liczb, aby suma ich odwrotności wynosiła co najmniej sześć Hipoteza Erdősa-Grahama wynika z tego wyniku, pokazując, że można znaleźć przedział tej postaci, w którym suma odwrotności wszystkich liczb gładkich wynosi co najmniej ${\ displaystyle 6r}$ ; dlatego $też$ , jeśli liczby całkowite są $,$ musi istnieć monochromatyczny podzbiór warunki twierdzenia Croota.

Silniejsza postać wyniku, że dowolny zestaw liczb całkowitych o dodatniej górnej gęstości zawiera mianowniki ułamka egipskiego reprezentującego jedynkę, została ogłoszona w 2021 roku przez Thomasa Blooma , badacza ze stopniem doktora na Uniwersytecie Oksfordzkim .

Zobacz też

• Przypuszczenia Erdősa

Linki zewnętrzne

• Strona internetowa Erniego Croota