Problem z Bazyleą

Problem Bazylejski to problem analizy matematycznej mający znaczenie dla teorii liczb , dotyczący nieskończonej sumy odwrotnych kwadratów. Po raz pierwszy został postawiony przez Pietro Mengoli w 1650 r. I rozwiązany przez Leonharda Eulera w 1734 r. I odczytany 5 grudnia 1735 r. W Petersburskiej Akademii Nauk . Ponieważ problem oparł się atakom czołowych matematyków tamtych czasów, rozwiązanie Eulera przyniosło mu natychmiastową sławę, gdy miał dwadzieścia osiem lat. Euler znacznie uogólnił problem, a jego idee zostały podjęte wiele lat później przez Bernharda Riemanna w jego przełomowym artykule z 1859 r. „ O liczbie liczb pierwszych mniejszych niż dana wielkość ”, w którym zdefiniował swoją funkcję zeta i udowodnił jej podstawowe właściwości. Nazwa problemu pochodzi od Bazylei , rodzinnego miasta Eulera oraz rodziny Bernoullich , którzy bezskutecznie zaatakowali ten problem.

Problem Bazylejski wymaga dokładnego zsumowania odwrotności kwadratów liczb naturalnych , czyli dokładnej sumy szeregu nieskończonego :

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} = {\ Frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ Frac { 1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

Suma szeregu jest w przybliżeniu równa 1,644934. Problem bazylejski wymaga dokładnej sumy tego szeregu (w postaci zamkniętej ), a także dowodu , że ta suma jest poprawna. Euler znalazł dokładną sumę $rację$ wówczas uzasadnione, chociaż później udowodniono, że . W 1741 roku przedstawił naprawdę rygorystyczny dowód.

Rozwiązanie tego problemu można wykorzystać do oszacowania prawdopodobieństwa, że ​​dwie duże liczby losowe są względnie pierwsze . Dwie losowe liczby całkowite z zakresu od 1 do $displaystyle$ w granicy dążącej do nieskończoności, są względnie pierwsze z prawdopodobieństwem zbliżonym do $n}$${\ displaystyle 6/\ pi ^ {2}}$ , odwrotność rozwiązania problemu bazylejskiego.

podejście Eulera

Oryginalne wyprowadzenie wartości przez Eulera zasadniczo rozszerzyło obserwacje skończonych $wielomianów$ i założyło, że te same właściwości są prawdziwe

Oczywiście pierwotne rozumowanie Eulera wymaga uzasadnienia (100 lat później Karl Weierstrass udowodnił, że reprezentacja funkcji sinusoidalnej jako iloczynu nieskończonego jest poprawna przez twierdzenie Weierstrassa o faktoryzacji ), ale nawet bez uzasadnienia, po prostu uzyskując poprawną wartość, był w stanie zweryfikować to numerycznie na podstawie częściowych sum szeregu. Zgoda, którą zaobserwował, dała mu wystarczającą pewność siebie, aby ogłosić swój wynik społeczności matematycznej.

Aby podążać za argumentem Eulera, przypomnij sobie rozwinięcie funkcji sinus w szereg Taylora

$${\ Displaystyle \ sin x = x - {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ Frac {x ^ {! 7}}{7!}}+\cdots}$$

Dzielenie przez daje ${\ displaystyle x}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin x} {x}} = 1 - {\ Frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {5!}} - {\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$$

Twierdzenie o faktoryzacji Weierstrassa pokazuje , że lewa strona jest iloczynem czynników liniowych określonych przez jej pierwiastki, podobnie jak w przypadku skończonych wielomianów. Euler przyjął to jako $dla$ rozszerzania wielomianu nieskończonego stopnia pod względem jego pierwiastków, ale w rzeczywistości nie zawsze jest to Ta faktoryzacja rozszerza równanie na:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ sin x} {x}} & = \ lewo ( 1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi}}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi}}\right)\left(1+ {\frac {x}{3\pi}}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left (1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}} }\right)\cdots \end{wyrównane}}}$$

Jeśli formalnie pomnożymy ten iloczyn i zbierzemy wszystkie składniki x ² (możemy to zrobić ze względu na tożsamości Newtona ), zobaczymy przez indukcję, że współczynnik x ² grzechu x / x wynosi

$${\ Displaystyle - \ lewo ({\ Frac {1} {\ pi ^ {2}}} + {\ Frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} + {\ Frac {1} {9 \ pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n ^{2}}}.}$$

Ale z pierwotnego nieskończonego rozwinięcia szeregu sin x / x , współczynnik x ² wynosi - 1 / 3! = - 1 / 6 . Te dwa współczynniki muszą być równe; zatem,

$${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {6}} = - {\ Frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n^{2}}}.}$$

Mnożenie obu stron tego równania przez − π ² daje sumę odwrotności dodatnich liczb całkowitych do kwadratu.

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} = {\ Frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}$$

Ta metoda obliczania jest szczegółowo opisana w sposób $ekspozycyjny,$ zwłaszcza w książce Havil's Gamma funkcją zeta i logarytmem , a także perspektywę historyczną związaną z ζ ( 2 ) {\ Displaystyle \ zeta (2 stała gamma Eulera .

Uogólnienia metody Eulera z wykorzystaniem elementarnych wielomianów symetrycznych

Korzystając ze wzorów uzyskanych z elementarnych wielomianów symetrycznych , to samo podejście można zastosować do wyliczenia wzorów na parzyste stałe zeta , które mają następujący znany wzór rozszerzony o liczby Bernoulliego :

$${\ Displaystyle \ zeta (2n) = {\ Frac {(-1) ^ {n-1} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 \ cdot (2n)!}} B_ {2n}.}$$

Na przykład niech iloczyn cząstkowy dla ${\ Displaystyle \ sin (x)}$ rozwinięty jak powyżej będzie zdefiniowany przez ${\ Displaystyle {\ Frac {S_ {n} (x)}} {x}}: = \ prod \ ograniczenia _ {k = 1} ^ {n} \ lewo (1- {\ Frac {x ^ {2 }}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)}$ . Następnie używając znanych wzorów na elementarne wielomiany symetryczne (znanych również jako wzory Newtona rozszerzone pod względem tożsamości sumy mocy ), możemy zobaczyć (na przykład), że

$$\ Displaystyle {\ begin{aligned}\left[x^{4}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&={\frac {1}{2\pi ^{4}}}\ left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad { \frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\zeta (2)^{2}-\zeta (4)\right)\\[4pt]&\qquad \implikuje \zeta (4 )={\frac {\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{4}\cdot [x^{4}]{\frac {\sin(x)}{x}}+ {\frac {\pi ^{4}}{36}}\\[8pt]\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&=- {\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{3}-2H_{n}^{(2)} H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{6\pi ^{6 }}}\left(\zeta (2)^{3}-3\zeta (2)\zeta (4)+2\zeta (6)\right)\\[4pt]&\qquad \implikuje \zeta ( 6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}=-3\cdot \pi ^{6}[x^{6}]{\frac {\sin(x)}{x}} -{\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {\pi ^{ 6}}{216}},\end{wyrównane}}}$$

i tak dalej dla kolejnych współczynników ${\ Displaystyle [x ^ {2k}] {\ Frac {S_ {n} (x)} {x}}}$ . Istnieją ${\ Displaystyle e_ {i} \ równoważnik e_ {i} \ lewo (- {\ Frac {\ pi ^ { 2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2 }}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),} ale możemy$ Newtona $wyrażające$ sumy mocy kategoriach elementarnych symetrycznych , przejść bardziej bezpośrednią drogą do wyrażenia nierekurencyjnych formuł dla ${\ Displaystyle \ zeta (2k)}$ przy użyciu metody elementarnych wielomianów symetrycznych . Mianowicie mamy zależność rekurencyjną między elementarnymi wielomianami symetrycznymi a wielomianami sumy mocy podanymi jak na tej stronie przez

$${\ Displaystyle (-1) ^ {k} ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ suma _ {j = 1} ^ {k} ( -1)^{kj-1}p_{j}(x_{1},\ldots,x_{n})e_{kj}(x_{1},\ldots,x_{n}),}$$

co w naszej sytuacji jest równoznaczne z graniczną rekurencyjną relacją (lub splotem funkcji generującej lub iloczynem ) rozwiniętą jako

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {2k}} {2}} \ cdot {\ Frac {(2k) \ cdot (-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} = - [ x^{2k}]{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\razy \sum _{i\geq 1}\zeta (2i)x^{i}.}$$

Następnie przez zróżnicowanie i przekształcenie wyrazów w poprzednim równaniu otrzymujemy to

$${\ Displaystyle \ zeta (2k) = [x ^ {2k}] {\ Frac {1} {2}} \ lewo (1- \ pi x \ łóżeczko (\ pi x) \ prawo).}$$

Konsekwencje dowodu Eulera

$}$ podstawie powyższych wyników możemy wywnioskować, że $displaystyle$ zawsze wymierną wielokrotnością π \ . W szczególności, ponieważ i jego całkowite potęgi są transcendentalne , możemy w tym momencie stwierdzić, że jest $pi$ , a dokładniej transcendentalne dla wszystkich ${$${\ displaystyle k \ geq 1}$ . Z $stałych$ właściwości nieparzystych indeksowanych zeta , w tym Apéry'ego , prawie całkowicie nieznane

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja zeta Riemanna ζ ( s ) jest jedną z najbardziej znaczących funkcji w matematyce ze względu na jej związek z rozkładem liczb pierwszych . Funkcję zeta definiuje się dla dowolnej liczby zespolonej s z częścią rzeczywistą większą od 1 za pomocą następującego wzoru:

$${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {s}}}.}$$

Przyjmując s = 2 , widzimy, że ζ (2) jest równe sumie odwrotności kwadratów wszystkich dodatnich liczb całkowitych:

$${\ Displaystyle \ zeta (2) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} = {\ Frac {1} {1 ^ {2}} }+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots = {\frac {\pi ^{2}}{6}}\około 1,644934.}$$

Zbieżność można udowodnić za pomocą testu całkowego lub za pomocą następującej nierówności:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} & <1 + \ suma _ {n = 2} ^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1 }}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty}{\longrightarrow} }\;2.\end{wyrównane}}}$$

To daje nam górną granicę 2, a ponieważ nieskończona suma nie zawiera wyrazów ujemnych, musi być zbieżna do wartości ściśle między 0 a 2. Można pokazać, że ζ ( s ) ma proste wyrażenie w postaci liczb Bernoulliego, ilekroć s jest dodatnią parzystą liczbą całkowitą. gdzie s = 2 n :

$${\ Displaystyle \ zeta (2n) = {\ Frac {(2 \ pi) ^ {2n} (-1) ^ {n + 1} B_ {2n}} {2 \ cdot (2n)!}}.}$$

Dowód za pomocą wzoru Eulera i reguły L'Hôpitala

Znormalizowana funkcja sinc ${\ Displaystyle {\ tekst {sinc}} (x) = {\ Frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}}$ ma reprezentację faktoryzacji Weierstrassa jako iloczyn nieskończony:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (1- {\ Frac {x ^ {2}} {n^{2}}}\prawo).}$$

Produkt nieskończony jest analityczny , więc biorąc logarytm naturalny z obu stron i różniczkując wydajności

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi \ cos (\ pi x)} {\ grzech (\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2x}{n^{2}-x^{2 }}}}$$

(przy zbieżności jednostajnej dopuszczalna jest zamiana szeregów pochodnych i nieskończonych). Po podzieleniu równania przez ${\ displaystyle 2x}$ i przegrupowaniu otrzymujemy

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2x ^ {2}}} - {\ Frac {\ pi \ łóżeczko (\ pi x)} {2x}} = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.}$$

Dokonujemy zmiany zmiennych ( ${\ displaystyle x = -it}$ ):

$${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {2t ^ {2}}} + {\ Frac {\ pi \ łóżeczko (- \ pi to)} {2it}} = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.}$$

Można to wywnioskować ze wzoru Eulera

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi \ łóżeczko (- \ pi to)} {2it}} = {\ Frac {\ pi} {2it}} {\ Frac {i \ lewo (e ^ {2 \ pi t} +1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi}}{t\left(e^{2\pi t}-1\prawo)}}.}$$

lub używając odpowiedniej funkcji hiperbolicznej :

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi \ cot (- \ pi to)} {2it}} = {\ frac {\ pi} {2t}} {i \ cot (\ pi to)} = {\ frac {\ pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Następnie

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}} = {\ Frac {\ pi \ lewo (te ^ {2} \pi t}+t\prawo)-e^{2\pi t}+1}{2\lewo(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\prawo)}} =-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Teraz bierzemy granicę , gdy zbliża $się do$ i trzykrotnie stosujemy regułę L'Hôpitala . Twierdzenie Tannery'ego zastosowane do lim $\ textstyle \ lim _ {t \ do \ infty} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ , możemy zamienić szereg graniczny i nieskończony tak, aby ${\ textstyle \ lim _ {t \ do 0} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} 1/(n ^ {2} + t ^ {2}) = \ suma _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$ i według reguły L'Hôpitala

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} & = \ lim _ {t \ do 0} {\ frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t }+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\do 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{ 2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt ]&=\lim _{t\do 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+ 6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{wyrównane}}}$$

Dowód z wykorzystaniem szeregu Fouriera

Użyj tożsamości Parsevala (zastosowanej do funkcji f ( x ) = x ), aby otrzymać

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ Frac {1} 2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {n} & = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} xe ^ {-inx }\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt] &={\frac {\cos(n\pi)}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{wyrównane}} }$$

dla n ≠ 0 i ₀ do = 0 . Zatem,

$${\ Displaystyle | c_ {n} | ^ {2} = {\ rozpocząć {przypadki} {\ dfrac {1} {n ^ {2}}$$

I

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} n^{2}}}={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx.}$$

Dlatego,

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ { 2}}}={\frac {1}{4\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}} {6}}}$$

jako wymagane.

Kolejny dowód wykorzystujący tożsamość Parsevala

Mając pełną podstawę ortonormalną w przestrzeni ${\ Displaystyle L _ {\ operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ okresowych funkcji L2 na ${\ Displaystyle (0 ,1)}$ (tj. podprzestrzeń funkcji całkowalnych do kwadratu , które są również okresowe ), oznaczona przez ${\ Displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i = - \ infty} ^{\infty }}$ , mówi nam o tym tożsamość Parsevala

$${\ Displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ suma _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} | \ langle e_ {i}, x \ rangle | ^ {2},}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$ jest zdefiniowane w kategoriach iloczynu wewnętrznego na tej przestrzeni Hilberta podanej przez

$${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx, \ f, g \ in L _ {\ nazwa operatora { na} }^{2}(0,1).}$$

Możemy rozważyć podstawę ortonormalną na tej przestrzeni określonej przez ${\ Displaystyle e_ {k} \ równoważnik e_ {k} (\ vartheta): = \ exp (2 \ pi \ imath k \ vartheta )}$ takie, że ${\ Displaystyle \ langle e_ {k} ,e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (kj)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}}$ . Następnie, jeśli weźmiemy ${\ Displaystyle f (\ vartheta): = \ vartheta}$ , możemy to obliczyć zarówno

$${ \ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ | f \ | ^ {2} & = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta ^ {2} \, d \ vartheta = {\ frac {1} {3} }\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \ {}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end {tablica}}\end{wyrównane}}}$$

rachunku elementarnego i całkowania przez części . Wreszcie, na podstawie tożsamości Parsevala podanej w powyższym formularzu, otrzymujemy to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ | f \ | ^ {2} = {\ Frac {1} {3}} & = \ suma _ {\ stackrel {k = - \ infty} {k \ neq 0} } ^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implikuje {\frac {\pi ^{2}}{6} }={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{wyrównane}}}$$

Uogólnienia i relacje rekurencyjne

Zauważ, że biorąc pod uwagę potęgi wyższego rzędu ${\ Displaystyle f_ {j} (\ vartheta): = \ vartheta ^ {j} \ w L_ {\ operatorname {per} } ^ {2} (0,1)}$ możemy użyć całkowania przez części , aby rozszerzyć tę metodę na wyliczanie formuł dla ${\ Displaystyle \ zeta (2j)}$ kiedy ${\ displaystyle j>1}$ . W szczególności załóżmy, że pozwolimy

$${\ Displaystyle I_ {j, k}: = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta ^ {j} e ^ { -2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ,}$$

tak, że całkowanie przez części daje relację powtarzania, że

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} I_ {j, k} i = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {j + 1}} ,&k=0;\\[4pt]-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j- 1,k},&k\neq 0\end{przypadki}}\\[6pt]&={\begin{przypadki}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt] -\sum \limits _{m=1}^{j}{\frac {j!}{(j+1-m)!}}\cdot {\frac {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},&k\neq 0.\end{przypadki}}\end{wyrównane}}}$$

Następnie, stosując tożsamość Parsevala, tak jak zrobiliśmy to w pierwszym przypadku powyżej, wraz z liniowością iloczynu wewnętrznego , otrzymujemy to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \| f_ {j} \| ^ {2} = {\ Frac {1} {2j + 1}} i = 2 \ suma _ {k \ geq 1} I_ {j, k}{\bar {I}}_{j,k}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}\\[6pt]&=2\suma _{m=1} ^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac { (-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}}{\frac {\zeta (m+r)}{(2\pi )^{m+r}}}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}.\end{wyrównane}}}$$

Dowód Cauchy'ego

Podczas gdy większość dowodów wykorzystuje wyniki z zaawansowanej matematyki , takie jak analiza Fouriera , analiza zespolona i rachunek różniczkowy wielu zmiennych , poniższe nie wymagają nawet rachunku różniczkowego jednej zmiennej (dopóki na końcu nie zostanie przyjęta jedna granica ).

Aby uzyskać dowód z wykorzystaniem twierdzenia o resztach , zobacz powiązany artykuł.

Historia tego dowodu

Dowód pochodzi od Augustina Louisa Cauchy'ego (Cours d'Analyse, 1821, przypis VIII). W 1954 roku dowód ten pojawił się w książce Akivy i Isaaka Yaglomów „Noneelementary Problems in an Elementary Exposition”. Później, w 1982 roku, pojawił się w czasopiśmie Eureka , przypisywanym Johnowi Scholesowi, ale Scholes twierdzi, że nauczył się tego dowodu od Petera Swinnertona-Dyera , aw każdym razie utrzymuje, że dowód był „powszechnie znany w Cambridge pod koniec lat sześćdziesiątych”.

Dowód

${2}} r ^ {2} \ tan \ theta > {\ tfrac { 1}{2}}r^{2}\theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\sin \theta }$ ⁡ jest pokazane. Branie odwrotności i podnoszenie do kwadratu daje ${\ Displaystyle \ cot ^ {2} \ theta <{\ tfrac {1} {\ theta ^ {2}} }<\ csc ^ { 2}\theta}$ .

Główną ideą dowodu jest związanie sum częściowych (skończonych).

$${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {m} {\ Frac {1} {k ^ {2}} }={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}$$

z π ^2/6 , których każde będzie dążyć do gdy m zbliża się do nieskończoności. Te dwa wyrażenia pochodzą z tożsamości obejmujących cotangens i cosecant . Tożsamości te z kolei wywodzą się ze wzoru de Moivre'a , a teraz przechodzimy do ustalania tych tożsamości.

Niech x będzie liczbą rzeczywistą z 0 < x < π / 2 , i niech n będzie dodatnią nieparzystą liczbą całkowitą. Następnie ze wzoru de Moivre'a i definicji funkcji cotangens mamy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ cos (nx) + i \ sin (nx)} {\ sin ^ {n} x}} & = {\ Frac {(\ cos x + i \ sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^ {n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}}$$

Z twierdzenia dwumianowego mamy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (\ łóżeczko x + i) ^ {n} = & {n \ wybierz 0} \ łóżeczko ^ {n} x + {n \ wybierz 1} (\ łóżeczko ^ {n-1} x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg ( }{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}}$$

Połączenie dwóch równań i zrównanie części urojonych daje tożsamość

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin (nx)} {\ sin ^ {n} x}} = {\ Bigg (}{ n \ wybierz 1} \ łóżeczko ^ {n-1} x - {n \ wybierz 3 }\łóżeczko ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.}$$

Bierzemy tę tożsamość, ustalamy dodatnią liczbę całkowitą m , ustalamy n = 2 m + 1 , i rozważamy x _r = r π / 2 m + 1 dla r = 1, 2, ..., m . Wtedy nx _r jest wielokrotnością π , a zatem sin( nx _r ) = 0 . Więc,

$${\ styl wyświetlania 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \wybierz {2m+1}}}$$

dla każdego r = 1, 2, ..., m . Wartości x _r = x ₁ , x ₂ , ..., x _m są różnymi liczbami w przedziale 0 < x _r < π / 2 . Ponieważ funkcja cot ² x jest w tym przedziale jeden do jednego , liczby t _r = cot ² x _r są różne dla r = 1, 2, ..., m . Zgodnie z powyższym równaniem te m są pierwiastkami wielomianu m -tego stopnia

$${\ Displaystyle p (t) = {{2m + 1} \ wybierz 1} t ^ {m} - {{2m + 1} \ wybierz 3} t ^ {m-1} \ pm \ cdots + (-1) ^{m}{{2m+1} \wybierz {2m+1}}.}$$

Za pomocą wzorów Viety możemy obliczyć sumę pierwiastków bezpośrednio, badając pierwsze dwa współczynniki wielomianu, a to porównanie pokazuje, że

$${\ Displaystyle \ łóżeczko ^ {2} x_ {1} + \ łóżeczko ^ {2} x_ {2} + \ cdots + \ łóżeczko ^ {2} x_ {m} = {\ Frac {\ binom {2m + 1} {3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.}$$

Podstawiając tożsamość csc ² x = cot ² x + 1 , mamy

$${\ Displaystyle \ csc ^ {2} x_ {1} + \ csc ^ {2} x_ {2} + \ cdots + \ csc ^ {2} x_ {m} = {\ Frac {2m (2m-1)} {6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Rozważmy teraz nierówność cot ² x < 1 / x ² < csc ² x (zilustrowaną geometrycznie powyżej). Jeśli dodamy wszystkie te nierówności dla każdej z liczb x _r = r π / 2 m + 1 , i jeśli użyjemy dwóch powyższych tożsamości, otrzymamy

$${\ Displaystyle {\ Frac {2m (2m-1)}} {6}}<\ lewo ({\ Frac {2m + 1} {\ pi}} \ prawo) ^ {2} + \ lewo ({\ Frac { 2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac { 2m(2m+2)}{6}}.}$$

Mnożąc przez ( π / 2 m + 1 ) ²
, otrzymujemy to

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ lewo ({\ Frac {2m} {2m}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {2m-1} {2m+ 1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{ 2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{ 2m+1}}\prawo).}$$

Gdy m zbliża się do nieskończoności, wyrażenia lewej i prawej ręki zbliżają się do π ² / 6 , więc na mocy twierdzenia o ściśnięciu ,

$${\ Displaystyle \ zeta (2) = \ suma _ { k=1}^{\infty}{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty}\left({\frac {1}{1^{2}} }+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{ 6}}}$$

i to kończy dowód.

Dowód zakładający hipotezę Weila dotyczącą liczb Tamagawy

Dowód jest również możliwy przy założeniu hipotezy Weila o liczbach Tamagawy . Hipoteza zakłada dla przypadku grupy algebraicznej SL ₂ ( R ), że liczba Tamagawy grupy wynosi jeden. To $zbiór$ iloraz specjalnej grupy liniowej przez wymierne grupę wymiernych ( zwarty , ponieważ krata w adeles) ma środek Tamagawy 1:

$${\ Displaystyle \ tau (SL_ {2} (\ mathbb {Q}) \ setminus SL_ {2} (A_ {\ mathbb {Q} } }))=1.}$$

Aby określić miarę Tamagawy, grupa składa się z macierzy ${\ Displaystyle SL_ {2}}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} x & y \\ z & t \ koniec {bmatrix}}}$$

z ${\ displaystyle xt-yz = 1}$ . Niezmienną formą objętości w grupie jest

$${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {1} {x}} dx \ klin dy \ klin dz.}$$

Miarą ilorazu jest iloczyn miar ${\ Displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {Z}) \ setminus SL_ {2} (\ mathbb {R } )}$ odpowiadające nieskończonemu miejscu i miarom $w$ każdym skończonym miejscu, gdzie ${\ Displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {Z} _ {p}$$\mathbb {Z} _{p}}$ to p-adyczne liczby całkowite .

Ze względu na czynniki lokalne,

$${\ Displaystyle \ omega (SL_ {2} (\ mathbb {Z} _ {p})) = | SL_ {2} (F_ {p}) | \ omega ( SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}}$$

gdzie $jest$ polem z ${$ i $p)}$${\ Displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {Z} _$ jest podgrupą kongruencji modulo ${\ displaystyle p}$ . Ponieważ każda ze współrzędnych mapuje tę drugą grupę na $p \ mathbb {Z}$$Displaystyle$ i ${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {1} {x}} \ prawo | _ {p} = 1}$ , miara ${\ Displaystyle SL_ {2} ( \mathbb {Z} _ {p}, p)}$ to $= p ^ {-3}}$${\ Displaystyle \ mu _ {p} (p \ mathbb {Z} _ {p}) ^ {3$$}$ , gdzie jest znormalizowaną miarą Haara na ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p$ . Ponadto standardowe obliczenia pokazują, że ${\ Displaystyle | SL_ {2} (F_ {p}) | = p (p ^ {2} -1)}$ . ω $SL_ {2} (\ mathbb {Z} _ {p})) = (1-1 /p^{2})}$ .

${\ Displaystyle \ omega (SL_ {2} (\ mathbb {Z}) \ setminus SL_ {2} (\ mathbb {R}) = \ pi ^ {2}/6} , a$ domenie że $)$ zatem Przypuszczenie Weila w końcu daje

$${\ Displaystyle 1 = {\ Frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ prod _ {p} \ lewo (1- {\ Frac {1} {p ^ {2}}} \ prawej).}$$

$Po$ prawej stronie rozpoznajemy iloczyn Eulera , a to rozwiązanie

$i$ można je odwrócić, aby dać dowód hipotezy Weila dla szczególnego przypadku , niezależnego dowodu, że ${\ Displaystyle \ zeta (2) = \ pi ^ {2}/6}$ .

Inne tożsamości

Zobacz specjalne przypadki tożsamości dla funkcji zeta Riemanna , gdy $Inne$ szczególnie specjalne tożsamości i reprezentacje tej stałej pojawiają się w poniższych sekcjach.

Reprezentacje serii

Poniżej przedstawiono szeregowe reprezentacje stałej:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ zeta (2) i = 3 \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k ^ {2} {\ binom {2k}} {k }}}}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{\infty}\sum _{j=1}^{\infty}{\frac {(i-1)!(j- 1)!}{(i+j)!}}.\end{wyrównane}}}$$

Istnieją również rozszerzenia serii typu BBP dla ζ (2) .

Reprezentacje integralne

Poniżej przedstawiono integralne reprezentacje ${\ Displaystyle \ zeta (2) {\ tekst {:}}}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ zeta (2) & = - \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {\ log x} {1-x}} \, dx \\ [6pt] & =\int _{0}^{\infty}{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty}{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty}{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{wyrównane}}}$$

Ułamki ciągłe

$(2)$ van der Poorten, będącym kroniką Apéry'ego na irracjonalność $zeta$ autor zauważa kilka podobieństw w udowadnianiu irracjonalności do dowodu Apéry'ego. W szczególności dokumentuje relacje rekurencyjne dla prawie całkowitych zbiegających się do stałych i ciągłych ułamków dla stałej. Inne ułamki ciągłe dla tej stałej obejmują

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ zeta (2)} {2}} = {\ cfrac {1 }{v_{1}-{\cfrac {1^{4}}{v_{2}-{\cfrac {2^{4}}{v_{3}-{\cfrac {3^{4}}{ v_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$

i

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ zeta (2)} {5}} = { \cfrac {1}{{\widetilde {v}}_{1}-{\cfrac {1^{4}}{{\widetilde {v}}_{2}-{\cfrac {2^{4} }{{\widetilde {v}}_{3}-{\cfrac {3^{4}}{{\widetilde {v}}_{4}-\ddots}}}}}}}},}$$

gdzie ${\ Displaystyle v_ {n} = 2n-1 \ mapsto \ {1,3,5,7,9 \ ldots \ }}$ i ${\ Displaystyle {\ widetilde {v}} _ {n} = 11n ^ {2} -11n + 3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}}$ .

Zobacz też

• Funkcja zeta Riemanna
• stała Apéry'ego
• Lista sum odwrotności

•   Weil, André (1983), Teoria liczb: podejście w historii , Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0 .
•   Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All , Mathematical Association of America , ISBN 0-88385-328-0 .
•   Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann i największy nierozwiązany problem w matematyce , Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7 .
• Aigner, Marcin ; Ziegler, Günter M. (1998), Dowody z KSIĘGI , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag
•   Edwards, Harold M. (2001), Funkcja Zeta Riemanna , Dover, ISBN 0-486-41740-9 .

Linki zewnętrzne

• Niekończąca się seria niespodzianek autorstwa CJ Sangwina
• Od ζ (2) do Π. Dowód. dowód krok po kroku
• „Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques” (PDF) . , tłumaczenie na język angielski z notatkami z artykułu Eulera autorstwa Lucasa Willisa i Thomasa J. Oslera
• Eda Sandifera. „Jak to zrobił Euler” (PDF) .
• James A. Sellers (5 lutego 2002). „Poza zwykłą konwergencją” (PDF) . Źródło 2004-02-27 .
• Robina Chapmana. „Ocena ζ (2) ” (PDF) . (czternaście dowodów)
• Wizualizacja rozkładu na czynniki Eulera funkcji sinus
• Johan WĘstlund (8 grudnia 2010). „Sumowanie odwrotnych kwadratów według geometrii euklidesowej” (PDF) .
  • na YouTube (animowany dowód na podstawie powyższego)