Zamiana operacji ograniczających
W matematyce badanie wymiany operacji granicznych jest jednym z głównych zagadnień analizy matematycznej , ponieważ nie można założyć , że dwie dane operacje graniczne, powiedzmy L i M , dadzą ten sam wynik, gdy zostaną zastosowane w dowolnej kolejności. Jednym z historycznych źródeł tej teorii jest badanie szeregów trygonometrycznych .
Sformułowanie
W symbolach założenie
- LM = ML ,
gdzie lewa strona oznacza, że M jest stosowane najpierw, a następnie L , i odwrotnie po prawej stronie , nie jest prawidłowym równaniem między operatorami matematycznymi , we wszystkich okolicznościach i dla wszystkich operandów. Algebraista powiedziałby, że operacje nie dojeżdżają do pracy . Podejście przyjęte w analizie jest nieco inne. Wnioski zakładające, że operacje ograniczające „dojeżdżają” nazywane są formalnymi . Analityk próbuje nakreślić warunki, w których takie wnioski są ważne; innymi słowy Rygor matematyczny jest ustalany przez określenie pewnego zestawu warunków wystarczających do przeprowadzenia analizy formalnej. Takie podejście uzasadnia na przykład pojęcie zbieżności jednostajnej . Stosunkowo rzadko zdarza się, aby takie wystarczające warunki były również konieczne, aby ostrzejsza analiza mogła rozszerzyć dziedzinę ważności wyników formalnych.
Z profesjonalnego punktu widzenia analitycy przesuwają więc zakres technik i rozszerzają znaczenie dobrego zachowania w danym kontekście. GH Hardy napisał, że „Problem decydowania, czy dwie dane operacje graniczne są przemienne, jest jednym z najważniejszych w matematyce”. Opinia najwyraźniej nie opowiadająca się za podejściem fragmentarycznym, ale za pozostawieniem analizy na poziomie heurystyki , była opinia Richarda Couranta .
Przykłady
Przykładów jest mnóstwo, jednym z najprostszych jest to, że dla ciągu podwójnego a m , n : niekoniecznie jest tak, że operacje przyjmowania granic jako m → ∞ i jako n → ∞ mogą być dowolnie zamieniane. Na przykład weź
- za m , n = 2 m - n
w którym wzięcie granicy najpierw względem n daje 0, a względem m daje ∞.
Wiele podstawowych wyników rachunku nieskończenie małych również należy do tej kategorii: symetria pochodnych cząstkowych , różniczkowanie pod znakiem całki i twierdzenie Fubiniego dotyczą wymiany operatorów różniczkowania i całkowania .
Jednym z głównych powodów, dla których stosuje się całkę Lebesgue'a, jest to, że istnieją twierdzenia, takie jak twierdzenie o zdominowanej zbieżności , które dają wystarczające warunki, w których całkowanie i operacja graniczna mogą być zamieniane. Warunki konieczne i wystarczające dla tej wymiany odkrył Federico Cafiero .
- Zamiana granic:
- Zamiana sumowania granicznego i nieskończonego:
- Zamiana pochodnych cząstkowych:
- Zamiana całek:
- Zamiana granicy i całki:
- Twierdzenie o zbieżności zdominowanej
- Twierdzenie o zbieżności Witalija
- Twierdzenie Fichery o zbieżności
- Twierdzenie o zbieżności Cafiero
- Lemat Fatou
- Twierdzenie o zbieżności monotonicznej dla całek ( lemat Beppo Leviego )
- Zamiana pochodnej i całki: