Symetria drugich pochodnych

„Twierdzenie Clairauta (rachunek)” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z innymi wynikami Clairauta, zobacz wzór Clairauta (ujednoznacznienie) .

W matematyce symetria drugich pochodnych ( zwana także równością mieszanych pochodnych cząstkowych ) odnosi się do możliwości zamiany kolejności przyjmowania pochodnych cząstkowych funkcji

${\ Displaystyle f \ lewo (x_ {1}, \, x_ {2}, \, \ ldots, \, x_ {n} \ prawej)}$

n zmiennych bez zmiany wyniku pod pewnymi warunkami (patrz poniżej). Symetria to twierdzenie, że pochodne cząstkowe drugiego rzędu spełniają tożsamość

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy x_ {i}}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe f}{\częściowe x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\częściowe}}{\częściowe x_{j}}}\left({\frac {\częściowe f}{\częściowe x_{ i}}}\prawo)}$

tak, że tworzą macierz symetryczną n × n , znaną jako macierz Hessego funkcji . Jest to czasami znane jako twierdzenie Schwarza , twierdzenie Clairauta lub twierdzenie Younga .

W kontekście równań różniczkowych cząstkowych nazywa się to warunkiem całkowalności Schwarza .

Formalne wyrażenia symetrii

W symbolach symetrię można wyrazić jako:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy y}} \ prawej) \ = \ {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy y }}\left({\frac {\częściowy f}{\częściowy x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\częściowy ^{2}\!f}{\częściowy x\,\częściowy y}}\ =\ {\frac {\częściowy ^{2}\!f}{\częściowy y\,\częściowy x}}.}$

Inna notacja to:

${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} \ częściowe _ {y} f = \ częściowe _ {y} \ częściowe _ {x} f \ qquad {\ tekst {lub}} \ qquad f_ {yx} = f_ {xy} .}$

Pod względem składu operatora różniczkowego D _i , który przyjmuje pochodną cząstkową względem x _i :

${\ Displaystyle D_ {i} \ circ D_ {j} = D_ {j} \ circ D_ {i}}$ .

Z tej zależności wynika, że Di _{​​pierścień} operatorów różniczkowych o stałych współczynnikach , generowany przez , jest przemienny ; ale jest to prawdziwe tylko jako operatory w dziedzinie wystarczająco różniczkowalnych funkcji. xi _jest sprawdzić symetrię zastosowaną do jednomianów , tak że można przyjąć wielomiany w jako dziedzinę. W rzeczywistości funkcje gładkie są kolejną ważną domeną.

Historia

Wynik dotyczący równości mieszanych pochodnych cząstkowych w określonych warunkach ma długą historię. Listę nieudanych proponowanych dowodów rozpoczął dowód Eulera , opublikowany w 1740 r., chociaż już w 1721 r. Bernoulli pośrednio przyjął wynik bez formalnego uzasadnienia. Clairaut opublikował również proponowany dowód w 1740 r., Bez innych prób aż do końca XVIII wieku. Począwszy od tego czasu przez okres 70 lat proponowano szereg niekompletnych dowodów. Dowód Lagrange'a (1797) został ulepszony przez Cauchy'ego (1823), ale założył istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych $x ^ {2}}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe y ^ {2}}}}$ \ . Inne próby podjęli P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) i Bertrand (1864). Wreszcie w 1867 Lindelöf systematycznie analizował wszystkie wcześniejsze błędne dowody i był w stanie przedstawić konkretny kontrprzykład, w którym mieszane pochodne nie były równe.

Sześć lat później Schwarzowi udało się przeprowadzić pierwszy rygorystyczny dowód. Dini później przyczynił się do znalezienia bardziej ogólnych warunków niż warunki Schwarza. W końcu w 1883 r. Jordan znalazł czystą i bardziej ogólną wersję, która nadal jest dowodem w większości podręczników. Mniejsze warianty wcześniejszych dowodów opublikowali Laurent (1885), Peano (1889 i 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), JK Whittemore (1898), Vivanti (1899) i Pierpont (1905). Dalszy postęp nastąpił w latach 1907-1909, kiedy EW Hobson i WH Young znaleźli dowody ze słabszymi warunkami niż Schwarz i Dini. W 1918 roku Carathéodory przedstawił inny dowód oparty na całce Lebesgue'a .

Twierdzenie Schwarza

W analizie matematycznej twierdzenie Schwarza (lub twierdzenie Clairauta o równości części mieszanych ) nazwane na cześć Alexisa Clairauta i Hermanna Schwarza stwierdza , że ​​dla funkcji ${\ Displaystyle f \ okrężnica \ Omega \ do \ mathbb {R}}$$zdefiniowany$ na jeśli ${\ displaystyle$${n}}$ jest punktem takim, że pewne sąsiedztwo jest zawarte w $\ mathbf {p} }$ i ${\ Displaystyle f}$ ma ciągłe drugie pochodne cząstkowe w tym sąsiedztwie ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ , a następnie dla wszystkich ja i j w ${\ Displaystyle \ {1,2 \ kropki, \, n \}.}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy x_ {i} \, \ częściowy x_ {j}}} f (\ mathbf {p}) = {\ Frac {\ częściowy ^ {2} }{\częściowe x_{j}\,\częściowe x_{i}}}f(\mathbf {p}).}$

Pochodne cząstkowe tej funkcji przechodzą w tym punkcie.

$}$$i$ { \ $1$ , łatwością pociąga za sobą ogólny wynik) polega na zastosowaniu ${\ Displaystyle f.}$ Greena do gradientu f

Elementarny dowód funkcji na otwartych podzbiorach płaszczyzny jest następujący (poprzez prostą redukcję ogólny przypadek twierdzenia Schwarza łatwo sprowadza się do przypadku płaskiego). Niech będzie różniczkowalną funkcją na otwartym prostokącie ${\ Displaystyle$ punkt $\ Displaystyle f (x, y)$$(a$ } załóżmy, że ${\ displaystyle df}$ jest ciągły z ciągłym i ciągłym ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} \ częściowe _ {y} f}$ i $\ Displaystyle \ częściowe _ {y} \ częściowe _ {x} f}$ r ${\ Displaystyle \ Omega.}$ Zdefiniuj

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u \ lewo (h, \, k \ prawo) & = f \ lewo (a + h, \, b + k \ prawo) -f \ lewo (a + h, \, b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\ prawo),\\w\lewo(h,\,k\prawo)&=f\lewo(a+h,\,b+k\prawo)-f\lewo(a+h,\,b\prawo) -f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{wyrównane}}}$

Funkcje te są zdefiniowane dla ${\ Displaystyle \ lewo | h \ prawo |, \, \ lewo | k \ prawo | <\ varepsilon}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$ i ${\ Displaystyle \ lewo [a- \ varepsilon, \, a + \ varepsilon \ prawej] \ razy \ lewo [b- \ varepsilon, \, b + \ varepsilon \ prawej]} jest zawarte$ w ${\ Displaystyle \ Omega.}$

Zgodnie $_$${\ Displaystyle (0,1)}$ średniej dla h i k niezerowego znaleźć z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} w \ lewo (h, \, k \ prawo) & = u \ lewo (h, \, k \ prawo) -u \ lewo (0, \, k \ prawo) = h \,\częściowa _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\częściowa _{x}f\left(a+\theta h,\,b +k\right)-\częściowa _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\częściowa _{y}\częściowa _{x}f \left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right) -v\left(h,\,0\right)=k\,\częściowe _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\częściowe _{y }f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\częściowe _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\, \partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Ponieważ ${\ displaystyle h, \, k \ neq 0}$ , pierwszą równość poniżej można podzielić przez ${\ displaystyle hk}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} hk \, \ częściowe _ {y} \ częściowe _ {x} f \ lewo (a + \ teta h, \, b + \ teta ^ {\ liczba pierwsza} k \ prawo) & = hk \,\częściowe _{x}\częściowe _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\częściowe _{y}\częściowe _{ x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\częściowa _{x}\częściowa _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{wyrównane}}}$

Pozwalając ${\ displaystyle h, \, k}$ dążyć do zera w ostatniej równości, założenia ciągłości na i ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} \ częściowe _ {y} f}$$}$ y } \ częściowe _ {x} oznacza teraz, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy x \ częściowy y}} f \ lewo (a, \, b \ prawo) = {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy y\częściowo x}}f\lewo(a,\,b\prawo).}$

Ta relacja jest prostą klasyczną metodą, którą można znaleźć w wielu podręcznikach, na przykład w Burkill, Apostol i Rudin.

Chociaż powyższe wyprowadzenie jest elementarne, podejście to można również postrzegać z bardziej konceptualnej perspektywy, dzięki czemu wynik staje się bardziej widoczny. Rzeczywiście operatory różnicy ${\ Displaystyle \ Delta _ {x} ^ {t}, \, \, \ Delta _ {y} ^ {t}}$ dojeżdżają i ${\ Displaystyle \ Delta _ {x} ^ {t} f, \, \, \ Delta _ {y} ^ {t} f} mają$ tendencję do ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} f, \, \ \ częściowe _ {y} f}$ ponieważ ${\ displaystyle t}$ dąży do 0, z podobnym stwierdzeniem dla operatorów drugiego rzędu. Tutaj dla $w$ płaszczyźnie i $\$ kierunkowego $Displaystyle {\ tbinom {1} {0}}}$ lub ${\ Displaystyle {\ tbinom {0}{1}}}$ , operator różnicy jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ Delta _ {u} ^ {t} f (z) = {f (z + tu) -f (z) \ nad t}.}$

Zgodnie z podstawowym twierdzeniem $a , b$ różniczkowego dla funkcji $($ otwartym przedziale ${\ displaystyle$${\ displaystyle f} )\podzbiór I}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {\ pierwsza} (x) \, dx = f (b) -f (a).}$

Stąd

${\ Displaystyle | f (b) -f (a) | \ równoważnik (ba) \, \ sup _ {c \ in (a, b)} | f ^ {\ liczba pierwsza} (c) |}$ .

Jest to uogólniona wersja twierdzenia o wartości średniej . Przypomnijmy, że elementarna dyskusja na temat maksimów lub minimów dla funkcji o wartościach rzeczywistych implikuje, że jeśli $\ Displaystyle$ ciągła na $[a, b]}$ i różniczkowalna na ${\ Displaystyle [a, b]} displaystyle (a, b)}$ , to jest punkt $Displaystyle$ ( $(a, b)}$ takie że

${\ Displaystyle {f (b) -f (a) \ nad ba} = f ^ {\ pierwsza} (c).}$

W przypadku funkcji o wartościach wektorowych z przestrzenią znormalizowaną o skończonych wymiarach nie ma odpowiednika powyższej równości, w rzeczywistości $zawodzi$ Ale ponieważ ${\ Displaystyle \ inf f ^ {\ pierwsza} \ równoważnik f ^ {\ pierwsza} (c) \ równoważnik \ sup f ^ {\ pierwsza}$ } powyższa nierówność jest użytecznym substytutem. Co więcej, użycie parowania liczby podwójnej z jej podwójną normą daje następującą nierówność: ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \| f (b) -f (a) \|\ równoważnik (ba)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|}$ .

Te wersje twierdzenia o wartości średniej są omawiane w Rudin, Hörmander i gdzie indziej.

Dla funkcji na $zbiorze$ otwartym w płaszczyźnie zdefiniuj i re $1$$\ częściowe _ {x}}$ Displaystyle ${\ Displaystyle D_ {2} = \ częściowe _ {y}}$ . Ponadto dla zestawu ${\ displaystyle t \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {1} ^ {t} f (x, y) = [f (x + t, y) -f (x, y)] / t, \, \, \,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$ .

Następnie dla zbioru otwartego uogólnione twierdzenie o wartości średniej można zastosować dwukrotnie: ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ Delta _ {1} ^ {t} \ Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0}) -D_ {1} D_ {2} f (x_ {0},y_{0})\right|\równoważnik \sup _{0\równoważnik s\równoważnik 1}\lewo|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0}, y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\prawo|\równik \sup _{0\równik r,s\równoważnik 1}\lewo| D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\prawo|.}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {1} ^ {t} \ Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0}$ ) } re ${\ Displaystyle D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0})}$ t $\ Displaystyle t}$ dąży do 0. Ten sam argument pokazuje że ${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ {t} \ Delta _ {1} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0})}$ dąży do ${\ Displaystyle D_ {2} D_ {1} f (x_ {0}, y_ {0})}$ . Stąd, ponieważ operatory różnicowe dojeżdżają do $D_ {2}}$ , podobnie jak operatory różniczkowe cząstkowe i $.$ , jak twierdzono

Uwaga. Przez dwa zastosowania klasycznego twierdzenia o wartości średniej,

${\ Displaystyle \ Delta _ {1} ^ {t} \ Delta _ {2} ^ {t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\pierwsza})}$

dla niektórych $\ Displaystyle ($ w ( $0,1)}$${\ Displaystyle \ theta ^ {\ pierwsza} }$ . W ten sposób pierwszy elementarny dowód można ponownie zinterpretować za pomocą operatorów różnicy. I odwrotnie, zamiast używać uogólnionego twierdzenia o wartości średniej w drugim dowodzie, można zastosować klasyczne twierdzenie o wartości średniej.

Dowód twierdzenia Clairauta za pomocą całek iterowanych

Własności powtarzanych całek Riemanna funkcji ciągłej F na zwartym prostokącie [ a , b ] × [ c , d ] są łatwe do ustalenia. Jednolita ciągłość F implikuje natychmiast, że funkcje $) \,dy}$ y i $\ int _ {a} ^ {b} F (x, y) \, dx} są$ ciągłe. Wynika, że

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ int _ { c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\, dy}$ ;

ponadto jest natychmiastowe, że całka iterowana jest dodatnia, jeśli F jest dodatnia. Powyższa równość jest prostym przypadkiem twierdzenia Fubiniego , nieobejmującym teorii miary . Titchmarsh (1939) udowadnia to w prosty sposób, posługując się przybliżonymi sumami Riemanna odpowiadającymi podziałom prostokąta na mniejsze prostokąty.

Aby udowodnić twierdzenie Clairauta, załóżmy, że f jest funkcją różniczkowalną na zbiorze otwartym U , dla którego mieszane drugie pochodne cząstkowe f _yx i f _xy istnieją i są ciągłe. Używając dwukrotnie fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego ,

${\ Displaystyle \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {a} ^ {b} f_ {yx} (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {c} ^ {d} f_ {y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c). }$

podobnie

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {c} ^ {d} f_ {xy} (x, y) \, dy \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f_ {x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c). }$

Dwie iterowane całki są zatem równe. Z drugiej strony, ponieważ f _xy ( x , y ) jest ciągła, drugą iterowaną całkę można wykonać najpierw całkując po x , a następnie po y . Ale wtedy iterowana całka z f _yx − f _xy na [ a , b ] × [ c , d ] musi zniknąć. Jednakże, jeśli iterowana całka funkcji ciągłej F znika dla wszystkich prostokątów, więc F musi być identycznie zerowe; w przeciwnym razie F lub - F byłoby w pewnym momencie ściśle dodatnie, a zatem przez ciągłość na prostokącie, co nie jest możliwe. Stąd f _yx − f _xy musi zniknąć identycznie, tak że f _yx = f _xy wszędzie.

Wystarczalność podwójnej różniczkowalności

Warunkiem słabszym niż ciągłość drugich pochodnych cząstkowych (co implikuje ta ostatnia), który wystarcza do zapewnienia symetrii, jest to, że wszystkie pochodne cząstkowe same są różniczkowalne . Kolejne wzmocnienie twierdzenia, w którym istnienie permutowanej części składowej mieszanej, zostało dostarczone przez Peano w krótkiej notatce z 1890 r. O Mathesis :

fa ${\ Displaystyle f: E \ do \ mathbb {R}}$ jest zdefiniowany na zbiorze otwartym ${\ Displaystyle E \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}$ ; ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1} f (x, \, y)}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe _ {2,1} f ( x,\,y)}$ istnieją wszędzie na ${\ Displaystyle E}$ ; ${\ Displaystyle \ częściowe _ {2,1} f}$ jest ciągłe w ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, \, y_ {0} \ prawej) \ in mi}$ i jeśli istnieje w sąsiedztwie $\ Displaystyle \ częściowe _ {2} f (x, \, y_ {0})} }}$${\ Displaystyle x = x_ {0}$ , potem ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1,2} f}$ istnieje w ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {0}, \, y_ {0} \ prawej)}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1,2} f \ lewo (x_ {0}, \, y_ {0} \ prawej) = \ częściowe _ {2, 1}f\lewo(x_{0},\,y_{0}\prawo)}$ .

Sformułowanie teorii dystrybucji

Teoria rozkładów (funkcji uogólnionych) eliminuje analityczne problemy z symetrią. Pochodna całkowalnej zawsze może być zdefiniowana jako rozkład, a symetria mieszanych pochodnych cząstkowych zawsze obowiązuje jako równość rozkładów. Wykorzystanie całkowania formalnego przez części do zdefiniowania różniczkowania rozkładów stawia problem symetrii z powrotem na funkcjach testowych , które są gładkie iz pewnością tę symetrię spełniają. Bardziej szczegółowo (gdzie f jest rozkładem zapisanym jako operator na funkcjach testowych, a φ jest funkcją testową),

${\ Displaystyle \ lewo (D_ {1} D_ {2} f \ prawo) [\ phi ] = - \ lewo (D_ {2} f \ prawo) \ lewo [D_ {1} \ phi \ prawo] = f \ left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_ {2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi].}$

Innym podejściem, które definiuje transformatę Fouriera funkcji, jest zauważenie, że na takich transformacjach pochodne cząstkowe stają się operatorami mnożenia, które dojeżdżają w znacznie bardziej oczywisty sposób.

Wymóg ciągłości

Symetria może zostać złamana, jeśli funkcja nie ma różniczkowalnych pochodnych cząstkowych, co jest możliwe, jeśli nie jest spełnione twierdzenie Clairauta (drugie pochodne cząstkowe nie są ciągłe ).

Funkcja f ( x , y ), jak pokazano w równaniu ( 1 ), nie ma w swoim początku symetrycznych drugich pochodnych.

Przykładem niesymetrii jest funkcja (ze względu na Peano )

${\ Displaystyle f (x, \, y) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {xy \ lewo (x ^ {2} -y ^ {2} \ prawo)}}} {x ^ {2} + y ^ {2}}}&{\mbox{ dla }}(x,\,y)\neq (0,\,0),\\0&{\mbox{ dla }}(x,\,y)=(0 ,\,0).\end{przypadki}}}$

 

 

 

 

()

Można to zwizualizować za pomocą postaci biegunowej ${\ Displaystyle f (r \ cos (\ teta), r \ sin (\theta))={\frac {r^{2}\sin(4\theta)}{4}}}$ ; jest wszędzie ciągły, ale jego pochodnych w punkcie (0, 0) nie można obliczyć algebraicznie. Granica ilorazów różnic pokazuje raczej, że ${\ Displaystyle f_ {x} (0,0) = f_ {y} (0,0) = 0}$ , więc wykres ${\ Displaystyle z = f (x, y)}$ ma poziomą płaszczyznę styczną w (0, 0) $są$ cząstkowe wszędzie ciągłe Jednak drugie pochodne cząstkowe nie są ciągłe w punkcie (0, 0) , a symetria zawodzi. W rzeczywistości wzdłuż osi x pochodna y wynosi ${\ Displaystyle f_ {y} (x, 0) = x}$ , a więc:

${\ Displaystyle f_ {yx} (0,0) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} { \frac {f_{y}(\varepsilon,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon}}=1.}$

W przeciwieństwie do tego, wzdłuż osi y pochodna x ${\ Displaystyle f_ {$ tak $x$. That is, $f_{yx}\neq f_{xy}$ at (0, 0) , chociaż mieszane pochodne cząstkowe istnieją, aw każdym innym punkcie symetria jest zachowana.

Powyższą funkcję, zapisaną w cylindrycznym układzie współrzędnych, można wyrazić jako

${\ Displaystyle f (r, \ \ teta) = {\ Frac {r ^ {2} \ sin {4 \ teta}} {4}}, }$

pokazując, że funkcja oscyluje cztery razy podczas jednorazowej podróży wokół dowolnie małej pętli zawierającej początek. Dlatego intuicyjnie lokalne zachowanie funkcji w (0, 0) nie może być opisane jako forma kwadratowa, a zatem macierz Hessego nie jest symetryczna.

Ogólnie rzecz biorąc, wymiana operacji ograniczających nie musi dojeżdżać . Biorąc pod uwagę dwie zmienne w pobliżu (0, 0) i dwa procesy ograniczające na

${\ Displaystyle f (h, \, k) -f (h, \, 0) -f (0, \, k)+f(0,\,0)}$

co odpowiada pierwszemu zrobieniu h → 0 i pierwszemu zrobieniu k → 0. Może to mieć znaczenie, patrząc na warunki pierwszego rzędu, które są stosowane jako pierwsze. Prowadzi to do konstruowania patologicznych , w których drugie pochodne są niesymetryczne. Tego rodzaju przykład należy do teorii analizy rzeczywistej , w której liczy się punktowa wartość funkcji. Patrząc jako rozkład, wartości drugiej pochodnej cząstkowej można zmieniać w dowolnym zestawie punktów, o ile ma to miarę Lebesgue'a 0. Ponieważ w przykładzie Hessian jest symetryczny wszędzie poza (0, 0) , nie ma sprzeczności z faktem, że Hessian, postrzegany jako rozkład Schwartza , jest symetryczny.

W teorii kłamstwa

Rozważmy, że operatory różniczkowe pierwszego rzędu D _i są operatorami nieskończenie małymi w przestrzeni euklidesowej . Oznacza to, że D _i w pewnym sensie generuje jednoparametrową grupę translacji równoległych do osi x _i . Grupy te dojeżdżają do pracy między sobą, a zatem nieskończenie małe generatory również; wspornik kłamstwa

[ re _ja , re _j ] = 0

jest odbiciem tej właściwości. Innymi słowy, pochodna Liego jednej współrzędnej względem innej wynosi zero.

Zastosowanie do form różniczkowych

Twierdzenie Clairauta-Schwarza jest kluczowym faktem potrzebnym do udowodnienia, że ​​dla każdej (lub co najmniej dwukrotnie różniczkowalnej) $różniczkowej$ ω $Displaystyle \ omega \ in \Omega ^ {k} (M)}$ , druga zewnętrzna pochodna znika: ${\ Displaystyle d ^ {2} \ omega: = d (d \ omega) = 0}$ . Oznacza to, że każda różniczkowalna jest zupełna ( $.$ . forma taka, że $​​dla$$)$ formy tj $displaystyle d \ alfa = 0}$${$ ), ponieważ ${\ Displaystyle d \ alfa = d (d \ omega) = 0}$ .

W połowie XVIII wieku teorię form różniczkowych po raz pierwszy badano w najprostszym przypadku form 1 na płaszczyźnie, tj. ZA $\ Displaystyle A \, dx + B \, dy}$ , gdzie i $funkcjami$$płaszczyźnie$ . Badanie form 1 i różniczek funkcji rozpoczęło się od prac Clairauta w 1739 i 1740 r. Na tym etapie jego badania były interpretowane jako sposoby rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych . Formalnie Clairaut $0}$ , że forma 1 $ω$ otwartym prostokącie jest zamknięta $\$$jeśli$$na$ i tylko $ma$ jakiejś funkcji dysku . Rozwiązanie dla ${\ displaystyle f}$ można zapisać za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego

${\ Displaystyle f (x, y) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x, y) \, dx + \ int _ {y_ {0}} ^ {y} B (x, y) )\,dy;}$

$_ {x}\częściowy _{y}f=\częściowy _{y}\częściowy _{x}f}$ gdy jeśli $właściwość$ jest ∂ $y$ . (We współczesnym języku jest to jedna z wersji lematu Poincarégo ).

Notatki

•   Aksoy, A.; Martelli, M. (2002), „Mieszane pochodne cząstkowe i twierdzenie Fubiniego” , College Mathematics Journal of MAA , 33 (2): 126–130, doi : 10.1080/07468342.2002.11921930 , S2CID 124561972
•   Allen, RGD (1964). Analiza matematyczna dla ekonomistów . Nowy Jork: St. Martin's Press. ISBN 9781443725224 .
•   Apostol, Tom M. (1965), Analiza matematyczna: nowoczesne podejście do zaawansowanego rachunku różniczkowego , Londyn: Addison-Wesley, OCLC 901554874
•   Apostol, Tom M. (1974), Analiza matematyczna , Addison-Wesley, ISBN 9780201002881
•   Axler, Sheldon (2020), Miara, integracja i analiza rzeczywista , Graduate Texts in Mathematics, tom. 282, Springera, ISBN 9783030331436
• Bourbaki, Nicolas (1952), „Chapitre III: Mesures sur les espaces localement compacts”, Eléments de mathématique, Livre VI: Integration (po francusku), Hermann et Cie
•   Burkill, JC (1962), pierwszy kurs analizy matematycznej , Cambridge University Press , ISBN 9780521294683 (przedruk 1978)
•   Cartan, Henri (1971), Calcul Differentiel (po francusku), Hermann , ISBN 9780395120330
• Clairaut, AC (1739), „Recherches générales sur le calcul intégral” , Mémoires de l'Académie Royale des Sciences : 425–436
• Clairaut, AC (1740), „Sur l'integration ou la construction des równania différentieles du premier ordre” , Mémoires de l'Académie Royale des Sciences , 2 : 293–323
• Dieudonné, J. (1937), "Sur les funkctions kontynuuje numérique définies dans une produit de deux espaces compacts", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 205 : 593–595
•   Dieudonné, J. (1960), Podstawy nowoczesnej analizy , Czysta i stosowana matematyka, tom. 10, Prasa akademicka, ISBN 9780122155505
•   Dieudonné, J. (1976), Traktat o analizie. Tom. II. , Matematyka czysta i stosowana, tom. 10-II, przetłumaczone przez IG Macdonalda , Academic Press, ISBN 9780122155024
• Eulera, Leonharda (1740). „De infinitis curvis eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis eiusdem generis” [O nieskończonych (bardzo wielu) krzywych tego samego typu, czyli metoda znajdowania równań dla nieskończenie (bardzo wielu) krzywych tego samego typu]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (po łacinie). 7 : 174–189, 180–183 – za pośrednictwem The Euler Archive, prowadzonego przez University of the Pacific.
•   Gilkey, Peter; Park, JeongHyeong; Vázquez-Lorenzo, Ramón (2015), Aspekty geometrii różniczkowej I , Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics, tom. 15, Morgan & Claypool, ISBN 9781627056632
• Godement, Roger (1998a), Analiza mathématique I , Springer
• Godement, Roger (1998b), Analiza matematyki II , Springer
• Higginsa, Thomasa Jamesa (1940). „Notatka o historii mieszanych pochodnych cząstkowych” . Scripta Mathematica . 7 : 59–62. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2017-04-19 . Źródło 2017-04-19 .
• Hobson, EW (1921), Teoria funkcji zmiennej rzeczywistej i teoria szeregów Fouriera. Tom. I. , Cambridge University Press
•   Hörmander, Lars (2015), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych I: teoria dystrybucji i analiza Fouriera , Classics in Mathematics (wyd. 2), Springer, ISBN 9783642614972
•   Hubbard, Jan ; Hubbard, Barbara (2015). Rachunek wektorowy, algebra liniowa i formy różniczkowe (wyd. 5). Edycje Matrixa. ISBN 9780971576681 .
• Jakuba RC (1966). Zaawansowany rachunek różniczkowy . Belmont, Kalifornia: Wadsworth.
• Jordan, Camille (1893), Cours d'analyse de l'École polytechnique. Tom I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars) , Éditions Jacques Gaba]
• Katz, Victor J. (1981), „Historia form różniczkowych od Clairauta do Poincaré”, Historia Mathematica , 8 (2): 161–188, doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90027-6
•   Lang, Serge (1969), Analiza rzeczywista , Addison-Wesley , ISBN 0201041790
• Lindelöf, LL (1867), "Remarques sur les différentes manières d'établir la formule d ² z/dx dy = d ² z/dy dx" , Acta Societatis Scientiarum Fennicae , 8 : 205–213
• Loomis, Lynn H. (1953), Wprowadzenie do abstrakcyjnej analizy harmonicznej , D. Van Nostrand, hdl : 2027/uc1.b4250788
•   McGrath, Peter J. (2014), „Kolejny dowód twierdzenia Clairauta”, Amer. Matematyka Miesięczny , 121 (2): 165–166, doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.02.165 , S2CID 12698408
•   Minguzzi, E. (2015). „Równość mieszanych pochodnych cząstkowych w warunkach słabej różniczkowalności”. Prawdziwa wymiana analiz . 40 : 81–98. ar Xiv : 1309.5841 . doi : 10.14321/realanalexch.40.1.0081 . S2CID 119315951 .
• Nachbin, Leopoldo (1965), Elementy teorii aproksymacji , Notas de Matemática, tom. 33, Rio de Janeiro: Fascículo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
•   Rudin, Walter (1976), Zasady analizy matematycznej , International Series in Pure & Applied Mathematics , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
•   Sandifer, C. Edward (2007), „Mieszane pochodne cząstkowe są równe” , The Early Mathematics of Leonard Euler, tom. 1 , Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne, ISBN 9780883855591
• Schwarz, HA (1873), „Komunikacja” , Archives des Sciences Physiques et Naturelles , 48 : 38–44
• Spivak, Michael (1965), Rachunek na rozmaitościach. Nowoczesne podejście do klasycznych twierdzeń rachunku różniczkowego WA Benjamin
•   Tao, Terence (2006), Analiza II (PDF) , Teksty i odczyty z matematyki, tom. 38, Hindustan Book Agency, doi : 10.1007/978-981-10-1804-6 , ISBN 8185931631
• Titchmarsh, EC (1939), Teoria funkcji (wyd. 2), Oxford University Press
•   Tu, Loring W. (2010), Wprowadzenie do rozmaitości (wyd. 2), Nowy Jork: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3

Dalsza lektura

• „Pochodna cząstkowa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]