Całka iterowana

W rachunku wielu zmiennych całka iterowana jest ${ \displaystyle f(x,y,z)}$ zastosowania całek do funkcji więcej niż jednej zmiennej (na przykład ${\ Displaystyle f (x, y)}$ lub ( ) w taki sposób, że każda z całek traktuje niektóre zmienne jako dane stałe . Na przykład funkcja ${\ Displaystyle f (x, y)}$$,$ jeśli jest uważany za dany parametr , można go zintegrować względem ${\ Displaystyle x}$ , ${\ textstyle \ int f (x, y) \, dx}$ . Wynik jest funkcją $.$ dlatego można rozważyć jej całkę Jeśli tak się stanie, wynikiem jest całka iterowana

${\ Displaystyle \ int \ lewo (\ int f (x, y) \, dx \ prawo) \, dy.}$

Kluczowe dla pojęcia całek iterowanych jest to, że zasadniczo różni się to od całki wielokrotnej

${\ Displaystyle \ iint f (x, y) \, dx \, dy.}$

Ogólnie rzecz biorąc, chociaż te dwa mogą być różne, twierdzenie Fubiniego stwierdza, że ​​​​w określonych warunkach są one równoważne.

Alternatywny zapis całek iterowanych

${\ Displaystyle \ int dy \ int dx \, f (x, y)}$

jest również używany.

W notacji wykorzystującej nawiasy, całki iterowane są obliczane zgodnie z kolejnością operacyjną wskazaną przez nawiasy, zaczynając od najbardziej wewnętrznej całki na zewnątrz. W notacji $_$

Przykłady

Proste obliczenie

Dla całki iterowanej

${\ Displaystyle \ int \ lewo (\ int (x + y) \, dx \ prawej) \, dy}$

całka

${\ Displaystyle \ int (x + y) \, dx = {\ Frac {x ^ {2}} {2}} + yx}$

jest obliczana najpierw, a następnie wynik jest używany do obliczenia całki względem y .

${\ Displaystyle \ int \ lewo ({\ Frac {x ^ {2}} {2}} + yx \ prawo) \, dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

W tym przykładzie pominięto stałe integracji. Po pierwszym całkowaniu względem x musielibyśmy rygorystycznie wprowadzić „stałą” funkcję y . Oznacza to, że gdybyśmy zróżnicowali tę funkcję względem x , wszelkie wyrazy zawierające tylko y zniknęłyby, pozostawiając pierwotną całkę. Podobnie dla drugiej całki wprowadzilibyśmy „stałą” funkcję x , ponieważ całkowaliśmy względem y . W ten sposób nieoznaczone całkowanie nie ma większego sensu w przypadku funkcji kilku zmiennych.

Kolejność jest ważna

Kolejność obliczania całek jest ważna w przypadku całek iterowanych, zwłaszcza gdy całka nie jest ciągła w dziedzinie całkowania. Przykłady, w których różne porządki prowadzą do różnych wyników, dotyczą zwykle skomplikowanych funkcji, takich jak poniższy.

$Displaystyle$ sekwencję za $_ do 1}$ . Niech $będzie$ ciągiem funkcji ciągłych nie znikających w przedziale $}, a_ {n + 1})}$ i zero gdzie indziej, tak że dla każdego $n$$} = 1}$ . Definiować

${\ Displaystyle f (x, y) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lewo (g_ {n} (x) -g_ {n + 1} (x) \ prawej) g_ {n} (y).}$

W poprzedniej sumie, w każdym konkretnym, $co$ termin jest różny Dla tej funkcji tak się dzieje

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ lewo (\ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy \ prawo) \, dx =\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right) \,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x ,y)\,dx\prawo)\,dy}$

Zobacz też

• Twierdzenie Fubiniego – Warunki zmiany kolejności całkowania w rachunku różniczkowym