Hipoteza Weila o liczbach Tamagawy

W matematyce hipoteza Weila dotycząca liczb Tamagawy $jest$ stwierdzeniem, że liczba Tamagawy prosto połączonej prostej algebraicznej zdefiniowanej polu liczbowym wynosi 1. W tym przypadku połączone oznacza „brak odpowiedniego pokrycia algebraicznego ” w sensie algebraicznej teorii grup , co nie zawsze jest rozumiane przez topologów .

Historia

Weil ( 1959 ) obliczył liczbę Tamagawy w wielu przypadkach grup klasycznych i zauważył, że we wszystkich rozważanych przypadkach jest to liczba całkowita, aw przypadkach, gdy grupa jest po prostu spójna, jest równa 1. Pierwsza obserwacja nie dotyczy wszystkich grup: Ono (1963) znalazł przykłady, w których liczby Tamagawy nie są liczbami całkowitymi. Druga obserwacja, że ​​liczby Tamagawy prosto połączonych grup półprostych wydają się wynosić 1, stała się znana jako hipoteza Weila.

Robert Langlands (1966) wprowadził metody analizy harmonicznej , aby pokazać to dla grup Chevalley . KF Lai (1980) rozszerzył klasę znanych przypadków na quasissplit redukcyjne . Kottwitz (1988) udowodnił to E8 _dla wszystkich grup spełniających zasadę Hassego , znaną wówczas dla wszystkich grup bez czynników . VI Chernousov (1989) usunął to ograniczenie, udowadniając zasadę Hassego dla odpornego E ₈ (patrz silne przybliżenie w grupach algebraicznych ), kończąc w ten sposób dowód hipotezy Weila. W 2011 roku Jacob Lurie i Dennis Gaitsgory ogłosili dowód hipotezy dotyczącej grup algebraicznych nad polami funkcyjnymi nad polami skończonymi.

Aplikacje

Ono (1965) użył hipotezy Weila do obliczenia liczb Tamagawy wszystkich półprostych grup algebraicznych.

W przypadku grup spinowych przypuszczenie implikuje znany wzór masy Smitha – Minkowskiego – Siegela .

Zobacz też

• Numer Tamagawy

• „Liczba Tamagawa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
•   Chernousov, VI (1989), „Zasada Hassego dla grup typu E8”, Soviet Math. Dokł. , 39 : 592-596, MR 1014762
•    Kottwitz, Robert E. (1988), „Liczby Tamagawy”, Ann. z matematyki. , 2, Annals of Mathematics, 127 (3): 629–646, doi : 10.2307/2007007 , JSTOR 2007007 , MR 0942522 .
•   Lai, KF (1980), „Liczba Tamagawa redukcyjnych grup algebraicznych” , Compositio Mathematica , 41 (2): 153–188, MR 0581580
•   Langlands, RP (1966), „Objętość domeny podstawowej dla niektórych arytmetycznych podgrup grup Chevalleya”, Grupy algebraiczne i podgrupy nieciągłe , Proc. Sympozjum Czysta matematyka, Providence, RI: Amer. Matematyka Soc., s. 143–148, MR 0213362
•     Ono, Takashi (1963), „O liczbie algebraicznych tori Tamagawy”, Annals of Mathematics , druga seria, 78 (1): 47–73, doi : 10.2307/1970502 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970502 , MR 0156851
•     Ono, Takashi (1965), „O względnej teorii liczb Tamagawy” , Annals of Mathematics , Second Series, 82 (1): 88–111, doi : 10.2307/1970563 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970563 , MR 0177991
•   Tamagawa, Tsuneo (1966), „Adèles”, grupy algebraiczne i podgrupy nieciągłe , Proc. Sympozjum Czysta matematyka, tom. IX, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 113–121, MR 0212025
• Voskresenskii, VE (1991), Grupy algebraiczne i ich niezmienniki biracyjne , tłumaczenie AMS
• Weil, André (1959), Exp. nr 186, Adèles et groupes algébriques , Séminaire Bourbaki, tom. 5, s. 249–257
•    Weil, André (1982) [1961], Adele i grupy algebraiczne , Progress in Mathematics, tom. 23, Boston, MA: Birkäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7 , MR 0670072
• Lurie, Jacob (2014), Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality

Dalsza lektura

• Aravind Asok, Brent Doran i Frances Kirwan, „Teoria Yanga-Millsa i liczby Tamagawy: fascynacja nieoczekiwanymi powiązaniami w matematyce” , 22 lutego 2013 r.
• J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers i Nonabelian Poincaré Duality opublikowane 8 czerwca 2012 r.