Prawie całkowita

_ 23 {\ sqrt {5831385}})}}}

długość d wynosi , czyli bardzo blisko 7 (7,0000000857 ok.)

W matematyce rekreacyjnej liczba prawie całkowita (lub prawie całkowita ) to dowolna liczba, która nie jest liczbą całkowitą , ale jest bardzo bliska jedności. Prawie całkowite są uważane za interesujące, gdy pojawiają się w jakimś kontekście, w którym są nieoczekiwane.

Prawie liczby całkowite odnoszące się do złotego podziału i liczb Fibonacciego

$prawie$ znanymi przykładami podziału , Na przykład:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównaj wyd}\phi ^{17}&={\frac { 3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\około 3571,00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\około 5777,999827\\[6pt]\ phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\około 9349.000107\end{wyrównane}}}

Fakt, że te potęgi zbliżają się do liczb całkowitych, nie jest przypadkowy, ponieważ złoty podział to liczba Pisota-Vijayaraghavana .

Stosunki liczb Fibonacciego lub Lucasa mogą również tworzyć liczby prawie całkowite, na przykład:

${\ Displaystyle \ OperatorName {Fib} (360) / \ OperatorName {Fib b} (216)\około 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195}$
${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Lucas} (361) / \ nazwa operatora {L ucas} (216)\około 2010054515457065378082322433761.0000000000000000000000000000000497}$

Powyższe przykłady można uogólnić za pomocą następujących sekwencji, które generują liczby bliskie całkowitym zbliżające się do liczb Lucasa z rosnącą precyzją:

${\ Displaystyle a (n) = \ nazwa operatora {Fib} (45 \ razy 2 ^ {n})/\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})\około \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})}$
${\ Displaystyle a (n) = \ operatorname {Lucas} (45 \times 2^{n}+1)/\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})\około \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)}$

Wraz ze wzrostem n liczba kolejnych dziewiątek lub zer zaczynających się od miejsca dziesiątego a ( n ) zbliża się do nieskończoności.

Prawie liczby całkowite odnoszące się do e i $π$

Inne wystąpienia nieprzypadkowych liczb bliskich całkowitym obejmują trzy największe liczby Heegnera :

${\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {43}}} \ około 884736743,999777466}$
${\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {67}}} \ około 147197952743,999998662454}$
${\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} \ około 262537412640768743.99999999999925007}$

gdzie niezgodność można lepiej docenić, wyrażając ją w zwykłej prostej formie:

{\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {43}}} = 12 ^ {3} (9 ^ { 2}-1)^{3}+744-(2,225\ldots )\times 10^{-4}}

{\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {67}}} = 12 ^ {3} (21 ^ {2} -1) ^ {3} + 744- (1,337 \ ldots) \ razy 10 ^ {-6 }}

{\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 12 ^ {3} (231 ^{2}-1)^{3}+744-(7,499\ldokropek )\razy 10^{-13}}

Gdzie

{\ Displaystyle 21 = 3 \ razy 7, \ quad 231 = 3 \ razy 7 \ razy 11, \ quad 744 = 24 \ razy 31}

a powodem kwadratów jest pewien szereg Eisensteina . Stała $stałą$ nazywana . _

Prawie liczby całkowite obejmujące stałe matematyczne $π$ i e często wprawiały matematyków w zakłopotanie. Przykładem jest: ${\ Displaystyle e ^ {\ pi} -\ pi = 19,999099979189 \ ldots}$ Do tej pory nie podano wyjaśnienia, dlaczego stała Gelfonda ( ${\ displaystyle e ^ {\ pi }}$ ) $jest$ prawie identyczne z , co zatem uważane za zbieg okoliczności