Kriyakramakari
| Autor | Śankara Variar i Narajana |
|---|---|
| Kraj | Indie |
| Język | sanskryt |
| Temat | Astronomia / Matematyka |
| Gatunek muzyczny | Komentarz do Lilavati |
Data publikacji |
C. 1560 |
Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) jest obszernym komentarzem w sanskrycie napisanym przez Sankarę Variar i Narayana, dwóch astronomów-matematyków należących do szkoły astronomii i matematyki w Kerali , do dobrze znanego podręcznika matematyki Bhaskara II Lilavati . Kriyakramakari („Techniki operacyjne”), wraz z Yuktibhasą z Jyeshthadevy , jest jednym z głównych źródeł informacji o pracy i wkładzie Sangamagrama Madhavy , założyciel szkoły astronomii i matematyki w Kerali . Również cytaty podane w tym traktacie rzucają wiele światła na wkład kilku matematyków i astronomów, którzy rozkwitali we wcześniejszej epoce. Istnieje kilka cytatów przypisywanych Govindaswamiemu , astronomowi z Kerali z IX wieku.
Sankara Variar (ok. 1500 - 1560), pierwszy autor Kriyakramakari, był uczniem Nilakanthy Somayaji i z zawodu pomocnikiem świątynnym. Był wybitnym członkiem Kerala szkoły astronomii i matematyki. Jego prace obejmują Yukti-dipika , obszerny komentarz do Tantrasangraha autorstwa Nilakantha Somayaji. Narayana (ok. 1540–1610), drugi autor, był braminem Namputiri należącym do rodziny Mahishamangalam w Puruvanagrama (Peruvanam we współczesnym dystrykcie Thrissur w Kerali ).
Sankara Variar napisał swój komentarz do Lilavati do strofy 199. Variar ukończył to około 1540 roku, kiedy przestał pisać z powodu innych zajęć. Czasami po jego śmierci Narayana uzupełniał komentarz do pozostałych strof Lilavati.
O obliczaniu π
Zgodnie z krytycznym wydaniem Lilavati KV Sarmy opartym na Kriyakramakari, zwrotka 199 Lilavati brzmi następująco ( konwencja Harvard-Kyoto jest używana do transkrypcji znaków indyjskich):
- vyAse bha-nanda-agni-hate vibhakte kha-bana-sUryais paridhis sas sUkSmas/
- dvaviMzati-ghne vihRte atha zailais sthUlas atha-va syat vyavahara-yogyas//
Można to przetłumaczyć w następujący sposób;
- „Pomnóż średnicę przez 3927 i podziel iloczyn przez 1250; to daje dokładniejszy obwód. Lub pomnóż średnicę przez 22 i podziel iloczyn przez 7; to daje przybliżony obwód, który odpowiada za typowe operacje”.
Biorąc ten werset za punkt wyjścia i komentując go, Sanakara Variar w swoim Kriyakrakari wyjaśnił wszystkie szczegóły wkładu Sangamagrama Madhavy w uzyskanie dokładnych wartości π. Śankara Variar skomentował w ten sposób:
- „Nauczyciel Madhava wspomniał również o wartości obwodu bliższej [prawdziwej wartości] niż ta: „Bogowie [trzydzieści trzy], oczy [dwa], słonie [osiem], węże [osiem], ognie [trzy], trzy cechy [trzy], Wedy [cztery], naksatry [dwadzieścia siedem], słonie [osiem], ramiona [dwa] (2 827 433 388 233) – mędrcy powiedzieli, że jest to miara obwodu, gdy średnica koła wynosi dziewięć nikharva [ 10^11].” Sankara Variar mówi tutaj, że wartość Madhawy 2 827 433 388 233 / 900 000 000 000 jest dokładniejsza niż „to”, to znaczy dokładniejsza niż tradycyjna wartość π”.
, które opisują geometryczną metodę obliczania wartości obwodu koła . Technika ta polega na obliczaniu obwodów kolejnych wielokątów regularnych opisanych , zaczynając od kwadratu .
Nieskończony szereg dla π
Sankara Variar opisuje następnie łatwiejszą metodę obliczania wartości π dzięki Madhawie.
- „Madhava wspomina o prostszym sposobie uzyskania obwodu. To znaczy:
- dodaj lub odejmij naprzemiennie średnicę pomnożoną przez cztery i podzieloną w kolejności przez liczby nieparzyste, takie jak trzy, pięć itd., do lub od średnica pomnożona przez cztery i podzielona przez 1.
- Zakładając, że dzielenie jest zakończone przez podzielenie przez liczbę nieparzystą, niezależnie od tego, jaka jest liczba parzysta powyżej [obok] tej [liczby nieparzystej], połowa tego jest mnożnikiem ostatniego [członu].
- Kwadrat tej [liczby parzystej] powiększony o 1 jest dzielnikiem średnicy pomnożonej przez 4, jak poprzednio. Wynik z tych dwóch (mnożnik i dzielnik) jest dodawany, gdy [poprzedni składnik jest] ujemny, gdy dodatni jest odejmowany.
- Rezultatem jest dokładny obwód. Jeśli podział zostanie powtórzony wiele razy, stanie się bardzo dokładny”.
współczesne zapisy matematyczne, niech C będzie obwodem , a D średnicą koła . Wtedy łatwiejsza metoda Madhawy na znalezienie C sprowadza się do następującego wyrażenia dla C:
- C = 4D/1 - 4D/3 + 4D/5 - 4D/7 + ...
Zasadniczo jest to szereg znany jako szereg Gregory'ego-Leibniza dla π. Po określeniu tego szeregu, Sankara Variar kontynuuje go, opisując skomplikowane geometryczne uzasadnienie wyprowadzenia szeregu.
Nieskończony szereg dla arcus tangensa
Teoria jest dalej rozwijana w Kriyakramakari. Podejmuje problem wyprowadzenia podobnego szeregu do obliczenia dowolnego łuku koła. Daje to nieskończone rozwinięcie szeregu funkcji arcus tangens . Ten rezultat jest również przypisywany Madhawie.
- „Teraz, za pomocą tego samego argumentu, można [wykonać] wyznaczenie łuku pożądanego sinusa. To jest [poniżej]: Pierwszym wynikiem jest
- iloczyn pożądanego sinusa i promienia podzielonego przez cosinus. Kiedy z kwadratu sinusa zrobiliśmy mnożnik, a z kwadratu cosinusa dzielnik,
- teraz należy wyznaczyć grupę wyników z [poprzednich] wyników zaczynając od pierwszego. Gdy zostaną one podzielone kolejno przez liczby nieparzyste 1 , 3 i tak dalej,
- a kiedy odejmie się sumę wyników parzystych [ponumerowanych] od sumy wyników nieparzystych, [to] powinien być łuk. Tutaj mniejszy z sinusów i cosinusów należy uznać za pożądany [sinus].
- W przeciwnym razie nie byłoby zakończenia wyników, nawet jeśli byłyby wielokrotnie [obliczane]”.
powyższych wzorów wynika, że jeżeli dla dowolnego łuku θ okręgu o promieniu R znane są sinusy i cosinusy oraz jeżeli przyjmiemy, że sin θ < cos θ, to mamy:
- θ = (R grzech θ)/(1 sałata θ) − (R grzech 3 θ)/(3 sałata 3 θ) + (R grzech 5 θ)/(5 sałata 5 θ) − (R grzech 7 θ)/( 7 sałata 7 θ)+ . . .
