Bezpośredni test porównawczy

W matematyce test porównawczy , czasami nazywany testem bezpośredniego porównania , aby odróżnić go od podobnych testów pokrewnych (zwłaszcza testu porównania granic ), zapewnia sposób wywnioskowania zbieżności lub rozbieżności szeregu nieskończonego lub całki niewłaściwej . W obu przypadkach test polega na porównaniu danego szeregu lub całki z takim, którego właściwości zbieżności są znane.

Dla serii

W rachunku różniczkowym test porównawczy dla szeregów zazwyczaj składa się z pary stwierdzeń dotyczących szeregów nieskończonych z wyrazami nieujemnymi (o wartościach rzeczywistych ):

• $} zbiega$$}$ Displaystyle i dla wszystkich wystarczająco dużych n to znaczy , dla wszystkich $ustalonej$ wartości $zbieżny$ szereg również
• $się$$b_ {n}$ \ Displaystyle \ suma dla wszystkich wystarczająco dużych to $rozchodzą$ serie .

Należy zauważyć, że czasami mówi się, że szereg zawierający dłuższe wyrazy dominuje (lub ostatecznie dominuje ) nad szeregiem zawierającym mniejsze wyrazy.

Alternatywnie, test można określić w kategoriach zbieżności bezwzględnej , w którym to przypadku dotyczy to również szeregów o wyrazach złożonych :

• Jeśli nieskończony $|$ absolutnie $\ równoważnik | b_ {n} |}$$jest$ dla wszystkich wystarczająco dużych n , to szereg również absolutnie zbieżny.
• Jeśli szereg nieskończony $jest$ absolutnie $|}$$}$ dla wszystkich wystarczająco dużych n , to szereg również nie jest absolutnie zbieżny

$zbieżny$ , że w tym ostatnim stwierdzeniu szereg nadal być ; w przypadku szeregów o wartościach rzeczywistych może się to zdarzyć, jeśli a n _nie wszystkie są nieujemne.

${\ displaystyle \ sum | c_ {n}|}$ przypadku szeregów o wartościach rzeczywistych, ponieważ zbiega się absolutnie wtedy i tylko wtedy, gdy $\ displaystyle \ suma c_ {n}}$ , szereg z wyrazami nieujemnymi, jest zbieżny.

Dowód

Dowody wszystkich stwierdzeń podanych powyżej są podobne. Oto dowód trzeciego stwierdzenia.

Niech $suma$ będą nieskończonymi szeregami takimi, że się absolutnie (w ten sposób $a_ {n}} i$ ∑ ${n}}$${\ Displaystyle \ suma | b_ {n} |}$ zbiega się) i bez utraty ogólności załóżmy, że ${\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik | b_ {n} |}$ dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n . Rozważ sumy częściowe

${\ Displaystyle S_ {n} = | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ ldots + | a_ {n} |, \ T_ {n} = | b_ {1} | + | b_ {2} |+\ldokropki +|b_{n}|.}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ suma b_ {n}}$ zbiega się absolutnie, ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} T_ {n} = T}$ dla pewnej liczby rzeczywistej T . dla wszystkich n ,

${\ Displaystyle 0 \ równoważnik S_ {n} = | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ ldots + | a_ {n} | \ równoważnik | a_ {1} | + \ ldots + | a_ {n }|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\równoważnik T.}$

${\ Displaystyle S_ {n}}$ jest sekwencją nie malejącą i ${\ Displaystyle S_ {n} + (TT_ {n})}$ nie rośnie. Biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle m, n> N},$ to oba ${\ Displaystyle S_ {n}, S_ {m}}$ należą do przedziału ${\ Displaystyle [S_ {N}, S_ {N} + (TT_ {N})]}$ , którego długość zmniejsza się do zera, gdy ${\ Displaystyle TT_ {N$$} \displaystyle N}$ dąży do nieskończoności. To pokazuje, że ${\ Displaystyle (S_ {n}) _ {n = 1,2, \ ldots}}$ jest ciągiem Cauchy'ego , a więc musi zbiegać się do granicy. Dlatego $_$ .

Dla całek

Test porównawczy dla całek można przedstawić w następujący sposób, zakładając ciągłe funkcje o wartościach rzeczywistych f i sol na ${\ Displaystyle [a, b)}$ z b albo + $\ Displaystyle + \ infty}$ liczba, przy której f i g mają pionową asymptotę:

• $x$ niewłaściwa $0\leq f(x)\leq g(x)$ i for $a\leq x<b$, then the improper integral $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ also converges with $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
• $sol$ niewłaściwa $0\leq g(x)\leq f(x)$ i for $a\leq x<b$, then the improper integral $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ also diverges.

Test porównawczy proporcji

Inny test zbieżności szeregów o wartościach rzeczywistych, podobny zarówno do powyższego testu bezpośredniego porównania, jak i testu ilorazowego , nazywa się testem porównawczym ilorazowym :

• $Displaystyle$ nieskończony szereg zbiega się i $a_ {n}> 0}$ , ${\ Displaystyle b_ {n}>$, and ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ for all sufficiently large n, then the infinite series $\sum a_{n}$ also converges.
• Jeśli nieskończony szereg $n$ rozbieżny i $}> 0}$ , $n}> 0$$\ Displaystyle {\ Frac {a_ {n + 1}}} {a_ {n}}} \ geq {\ Frac {b_ {n + 1}}} {b_ {n} }}}$ i dla wszystkich wystarczająco dużych n , to nieskończony $rozchodzi$ się

Zobacz też

• Testy konwergencji
• Konwergencja (matematyka)
• Twierdzenie o zbieżności zdominowanej
• Integralny test zbieżności
• Limitowy test porównawczy
• Twierdzenie o zbieżności monotonicznej

Notatki

•   Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Zarys rachunku różniczkowego Schauma (wyd. 4). Nowy Jork: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6 .
• Buck, R. Creighton (1965). Rachunek zaawansowany (wyd. 2). Nowy Jork: McGraw-Hill.
•   Knopp, Konrad (1956). Nieskończone sekwencje i serie . Nowy Jork: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6 .
•   Munem, MA; Foulis, DJ (1984). Rachunek różniczkowy z geometrią analityczną (wyd. 2). Wydawcy godni. ISBN 0-87901-236-6 .
•   Silverman, Ziele (1975). Zmienne złożone . Firma Houghton Mifflin. ISBN 0-395-18582-3 .
•   Whittaker, ET ; Watsona, GN (1963). Kurs nowoczesnej analizy (wyd. 4). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3 .