Funkcja wklęsła

W matematyce funkcja wklęsła jest przeciwieństwem funkcji wypukłej . Funkcja wklęsła jest również synonimicznie nazywana wklęsłą w ​​dół , wklęsłą w ​​dół , wypukłą w górę , wypukłą czapką lub górną wypukłą .

Definicja

$}$ funkcja o wartościach rzeczywistych na $przedziale$ (lub, bardziej ogólnie, zbiór wypukły w przestrzeni wektorowej ) jest wklęsła , jeśli dla dowolnego i $displaystyle$ y w przedział i dla dowolnego , ${\ Displaystyle \ alpha \ in [0,1]$ }

${\ Displaystyle f ((1- \ alfa) x + \ alfa y) \ geq (1- \ alfa )f(x)+\alfa f(y)}$

Funkcję nazywamy ściśle wklęsłą, jeśli

${\ Displaystyle f ((1- \ alfa) x + \ alfa y)> (1- \ alfa )f(x)+\alfa f(y)\,}$

dla dowolnego $\ w (0,1$$\ neq y} {\ Displaystyle$ \ Displaystyle alfa

W przypadku funkcji ta druga definicja stwierdza jedynie, $że$$displaystyle$ x $x$ a ${\ Displaystyle y}$ , punkt $, f (z)}}$$Displaystyle ($ na wykresie jest powyżej linii prostej łączącej punkty ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ i ${\ Displaystyle (y, f (y))}$ .

Funkcja ${\ displaystyle f}$ jest quasiconcave jeśli górny kontur zestawów funkcji ${\ Displaystyle S (a) = \ {x: f (x) \ geq a\}}$ to zbiory wypukłe.

Nieruchomości

Funkcje jednej zmiennej

1. Różniczkowalna funkcja f jest (ściśle) wklęsła na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja pochodna f ′ jest (ściśle) monotonicznie malejąca na tym przedziale, to znaczy funkcja wklęsła ma nierosnące (malejące) nachylenie .
2. Punkty , w których zmienia się wklęsłość (pomiędzy wklęsłym a wypukłym ) są punktami przegięcia .
3. Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna , to f jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy f ′′ nie jest dodatnie (lub nieformalnie, jeśli „ przyspieszenie ” nie jest dodatnie). Jeśli druga pochodna jest ujemna , to jest ściśle wklęsła, ale odwrotność nie jest prawdziwa, jak pokazuje f ( x ) = − x ⁴ .
4. Jeśli f jest wklęsła i różniczkowalna, to jest ograniczona z góry przez przybliżenie Taylora pierwszego rzędu :
   $${\ Displaystyle f (y) \ równoważnik f (x) + f '(x) [yx]}$$
5. Mierzalna funkcja Lebesgue'a na przedziale C jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wklęsła w punkcie środkowym, to znaczy dla dowolnego x i y w C
   $${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {x + y} {2}} \ prawej) \ geq {\ Frac {f (x) +f(y)}{2}}}$$
6. Jeśli funkcja f jest wklęsła i fa (0) ≥ 0 , to f jest subaddytywną na ${\ Displaystyle [0, \ infty)}$ . Dowód:
   • Ponieważ f jest wklęsła i 1 ≥ t ≥ 0 , pozwalając y = 0 mamy
     $${\ Displaystyle f (tx) = f (tx + (1-t) \ cdot 0) \ geq tf (x) + (1-t) f (0) \ geq tf (x).}$$
   • za ${\ Displaystyle a, b \ w [0, \ infty)$ :
     $${\ Displaystyle f (a) + f (b) = f \ lewo ((a + b) {\ Frac {a} {a + b}} \ prawo )+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

Funkcje n zmiennych

1. Funkcja f jest wypukła na zbiorze wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja −f jest funkcją wypukłą na zbiorze.
2. Suma dwóch funkcji wklęsłych sama w sobie jest wklęsła, podobnie jak punktowe minimum dwóch funkcji wklęsłych, tj. zbiór funkcji wklęsłych w danej dziedzinie tworzy półciało .
3. W pobliżu ścisłego lokalnego maksimum we wnętrzu dziedziny funkcji funkcja musi być wklęsła; jako częściowa odwrotność, jeśli pochodna funkcji ściśle wklęsłej w pewnym momencie wynosi zero, to ten punkt jest lokalnym maksimum.
4. Każde lokalne maksimum funkcji wklęsłej jest również maksimum globalnym . Funkcja ściśle wklęsła będzie miała co najwyżej jedno globalne maksimum.

Przykłady

• fa ${\ Displaystyle f (x) = -x ^ {2}}$ i $}}}$ są wklęsłe na ich domenach $x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ drugie pochodne i $=$${$ są zawsze ujemne.
• Funkcja logarytmu $(0, \$ wklęsła w swojej dziedzinie ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$$}$ Displaystyle , jest funkcją ściśle malejącą.
• Każda funkcja afiniczna $i wypukła$ ściśle wklęsła, ani ściśle wypukła
• Funkcja sinus jest wklęsła na przedziale ${\ Displaystyle [0, \ pi ]}$ .
• Funkcja ${\ Displaystyle f (B) = \ log | B |}$ gdzie ${\ Displaystyle | B|}$ jest wyznacznikiem nieujemnie określonej macierzy B , jest wklęsły.

Aplikacje

• Zginanie promieni w obliczeniach tłumienia fal radiowych w atmosferze obejmuje funkcje wklęsłe.
• W teorii oczekiwanej użyteczności dla wyboru w warunkach niepewności kardynalne funkcje użyteczności decydentów niechętnych do podejmowania ryzyka są wklęsłe.
• W teorii mikroekonomicznej zakłada się , że funkcje produkcji są zwykle wklęsłe w niektórych lub wszystkich swoich dziedzinach, co skutkuje zmniejszającymi się zwrotami z czynników wejściowych.

Zobacz też

• Wklęsły wielokąt
• Nierówność Jensena
• Funkcja logarytmicznie wklęsła
• Funkcja quasi-wklęsła
• wklęsłość

Dalsze referencje

•   Crouzeix, J.-P. (2008). „Quasi-wklęsłość” . W Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (red.). The New Palgrave Dictionary of Economics (wyd. Drugie). Palgrave'a Macmillana. s. 815–816. doi : 10.1057/9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5 .
•   Rao, Singiresu S. (2009). Optymalizacja inżynierska: teoria i praktyka . John Wiley i synowie. P. 779. ISBN 978-0-470-18352-6 .