Liczba ujemna

Ten termometr wskazuje ujemną temperaturę w stopniach Fahrenheita (-4°F).

W matematyce liczba ujemna reprezentuje przeciwieństwo. W liczb rzeczywistych liczba ujemna to liczba mniejsza od zera . Liczby ujemne są często używane do reprezentowania wielkości straty lub niedoboru. Dług , może być traktowany jako ujemny składnik aktywów. Jeśli wielkość, taka jak ładunek elektronu, może mieć jeden z dwóch przeciwstawnych zwrotów, to można rozróżnić te znaczenia — być może arbitralnie — jako dodatnie i ujemne . Liczby ujemne są używane do opisywania wartości na skali, która spada poniżej zera, takiej jak skale Celsjusza i Fahrenheita dla temperatury. Prawa arytmetyki liczb ujemnych zapewniają, że zdroworozsądkowa idea przeciwieństwa znajduje odzwierciedlenie w arytmetyce. Na przykład −(−3) = 3, ponieważ przeciwieństwem przeciwieństwa jest oryginalna wartość.

Liczby ujemne są zwykle zapisywane ze znakiem minus z przodu. Na przykład −3 reprezentuje wielkość ujemną o wielkości trzy i jest wymawiane jako „minus trzy” lub „ujemne trzy”. Aby ułatwić odróżnienie odejmowania od liczby ujemnej, czasami znak ujemny jest umieszczany nieco wyżej niż znak minus (jako indeks górny ). I odwrotnie, liczbę większą od zera nazywamy dodatnią ; zero jest zwykle ( ale nie zawsze ) traktowane jako ani pozytywne, ani pozytywne negatywny . Pozytywność liczby można podkreślić umieszczając przed nią znak plus, np. +3. Ogólnie rzecz biorąc, negatywność lub pozytywność liczby jest określana jako jej znak .

Każda liczba rzeczywista różna od zera jest dodatnia lub ujemna. Nieujemne liczby całkowite nazywane są liczbami naturalnymi (tj. 0, 1, 2, 3...), natomiast liczby całkowite dodatnie i ujemne (wraz z zerem) nazywane są liczbami całkowitymi . (Niektóre definicje liczb naturalnych wykluczają zero).

W księgowości należne kwoty są często przedstawiane za pomocą czerwonych liczb lub liczb w nawiasach, co stanowi alternatywną notację reprezentującą liczby ujemne.

Zaproponowano, aby liczby ujemne były używane na greckim stole do liczenia w Salaminie, znanym jako Tablica Salaminy , datowana na 300 pne. Liczby ujemne były również używane w Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej , które w obecnej formie pochodzą z okresu chińskiej dynastii Han (202 pne – 220 ne), ale mogą zawierać dużo starszy materiał. Liu Hui (ok. III w.) ustanowił zasady dodawania i odejmowania liczb ujemnych. W VII wieku indyjscy matematycy, tacy jak Brahmagupta opisali użycie liczb ujemnych. Muzułmańscy matematycy dalej rozwijali zasady odejmowania i mnożenia liczb ujemnych oraz rozwiązywali problemy ze współczynnikami ujemnymi . Przed koncepcją liczb ujemnych matematycy, tacy jak Diofant , uważali negatywne rozwiązania problemów za „fałszywe”, a równania wymagające rozwiązań ujemnych określano jako absurdalne. Zachodni matematycy, tacy jak Leibniz (1646–1716), uważali, że liczby ujemne są nieważne, ale nadal używali ich w obliczeniach.

Wstęp

Linia liczbowa

Główny artykuł: Linia liczbowa

Zależność między liczbami ujemnymi, liczbami dodatnimi i zerem jest często wyrażana w postaci osi liczbowej :

Liczby pojawiające się bardziej na prawo w tym wierszu są większe, podczas gdy liczby znajdujące się dalej na lewo są mniejsze. Tak więc zero pojawia się pośrodku, z liczbami dodatnimi po prawej stronie i liczbami ujemnymi po lewej stronie.

Zauważ, że liczba ujemna o większej wielkości jest uważana za mniejszą. Na przykład, mimo że (dodatnie) 8 jest większe niż (dodatnie) 5 , zapisane

8 > 5

minus 8 jest uważany za mniejszy niż minus 5 :

−8 < −5.

(Ponieważ, na przykład, jeśli masz −8 funtów, dług w wysokości 8 funtów, po dodaniu, powiedzmy, 10 funtów, miałbyś mniej, niż gdybyś miał −5 funtów). Wynika z tego, że każda liczba ujemna jest mniejsza niż dowolna liczba dodatnia, tzn

−8 < 5 i −5 < 8.

Podpisane numery

Główny artykuł: znak (matematyka)

W kontekście liczb ujemnych liczbę większą od zera określa się jako dodatnią . Zatem każda liczba rzeczywista inna niż zero jest albo dodatnia, albo ujemna, podczas gdy samo zero nie ma znaku. Liczby dodatnie są czasami zapisywane ze znakiem plus na początku, np. +3 oznacza dodatnią trójkę.

Ponieważ zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, termin „ nieujemny” jest czasami używany w odniesieniu do liczby, która jest dodatnia lub zero, podczas gdy „niedodatnia” odnosi się do liczby, która jest ujemna lub zero. Zero to liczba neutralna.

W wyniku odejmowania

Liczby ujemne można traktować jako wynik odejmowania większej liczby od mniejszej. Na przykład minus trzy jest wynikiem odjęcia trzech od zera:

0 - 3 = -3.

Ogólnie rzecz biorąc, odjęcie większej liczby od mniejszej daje wynik ujemny, przy czym wielkość wyniku jest różnicą między dwiema liczbami. Na przykład,

5 - 8 = -3

ponieważ 8 - 5 = 3 .

Codzienne zastosowania liczb ujemnych

Sport

Negatywne wyniki golfa w stosunku do par.

• Różnica bramek w piłce nożnej i hokeju ; różnica punktów w rugby ; kurs netto w krykiecie ; wyniki golfa w stosunku do par .
• Różnica plus-minus w hokeju na lodzie : różnica w łącznej liczbie bramek zdobytych dla drużyny (+) i przeciwko drużynie (-), gdy dany gracz jest na lodzie, to ocena gracza +/−. Gracze mogą mieć ocenę ujemną (+/-).
• Różnica w biegach w baseballu : różnica w biegach jest ujemna, jeśli drużyna pozwala na więcej runów niż zdobyła.
• Klubom można odjąć punkty za naruszenia przepisów, a tym samym uzyskać sumę punktów ujemnych, dopóki nie zdobędą co najmniej tyle punktów w tym sezonie.
• Czasy okrążeń (lub sektorów) w Formule 1 mogą być podawane jako różnica w porównaniu z poprzednim okrążeniem (lub sektorem) (takim jak poprzedni rekord lub okrążenie właśnie ukończone przez kierowcę z przodu) i będą dodatnie, jeśli będą wolniejsze i negatywny, jeśli jest szybszy.
• W niektórych konkurencjach lekkoatletycznych , takich jak wyścigi sprinterskie , bieg przez płotki , trójskok i skok w dal , mierzy się i rejestruje wspomaganie wiatru , które jest dodatnie dla wiatru tylnego i ujemne dla wiatru czołowego.

Nauka

• Temperatury niższe niż 0°C lub 0°F.
• Szerokość geograficzna na południe od równika i długość geograficzna na zachód od południka zerowego .
• topograficznym powierzchni ziemi przypisuje się wysokość nad poziomem morza , która może być ujemna (np. wysokość powierzchni Morza Martwego lub Doliny Śmierci lub wysokość tunelu pływowego Tamizy ).
• Obwody elektryczne . Kiedy akumulator jest podłączony z odwrotną polaryzacją, mówi się, że przyłożone napięcie jest przeciwne do jego napięcia znamionowego. Na przykład bateria 6-woltowa podłączona odwrotnie, przykłada napięcie -6 woltów.
• Jony mają dodatni lub ujemny ładunek elektryczny.
• Impedancja wieży nadawczej AM używanej w wielowieżowych antenach kierunkowych , która może być dodatnia lub ujemna.

Finanse

• Sprawozdania finansowe mogą zawierać salda ujemne, oznaczone znakiem minus lub poprzez ujęcie salda w nawias. Przykłady obejmują przekroczenia salda konta bankowego i straty biznesowe (ujemne zarobki ).
• Zwroty środków na kartę kredytową lub debetową stanowią ujemne obciążenie karty.
• PKB kraju może być ujemny, co jest jednym ze wskaźników recesji .
• Czasami stopa inflacji może być ujemna ( deflacja ), wskazując na spadek średnich cen.
• Codzienna zmiana kursu akcji lub indeksu giełdowego , takiego jak FTSE 100 lub Dow Jones .
• Ujemna liczba w finansowaniu jest synonimem „długu” i „deficytu”, które są również znane jako „bycie na minusie”.
• Stopy procentowe mogą być ujemne, gdy pożyczkodawca jest obciążany opłatą za zdeponowanie swoich pieniędzy.

Inny

Ujemne numery pięter w windzie.

• Numeracja kondygnacji w budynku poniżej parteru.
• Podczas odtwarzania pliku audio na przenośnym odtwarzaczu multimedialnym , takim jak iPod , na ekranie może być wyświetlany pozostały czas w postaci liczby ujemnej, która zwiększa się do zera w takim samym tempie, w jakim czas już odtworzonego zwiększa się od zera.
• Teleturnieje : _
  • Uczestnicy na QI często kończą z wynikiem ujemnym.
  • Drużyny biorące udział w wyzwaniu uniwersyteckim otrzymują wynik ujemny, jeśli ich pierwsze odpowiedzi są nieprawidłowe i przerywają pytanie.
  • Niebezpieczeństwo! ma ujemny wynik pieniężny - uczestnicy grają o określoną kwotę pieniędzy, a każda błędna odpowiedź, która kosztuje ich więcej niż to, co mają teraz, może skutkować wynikiem ujemnym.
  • W grze cenowej The Price Is Right „ Kup lub sprzedaj” strata kwoty przekraczającej kwotę aktualnie znajdującą się w banku skutkuje wynikiem ujemnym.
• Międzywyborcza zmiana poparcia dla partii politycznej, znana jako swing .
• Ocena aprobaty polityka .
• W grach wideo liczba ujemna oznacza utratę życia, obrażenia, karę do wyniku lub zużycie zasobów, w zależności od gatunku symulacji.
• Pracownicy z elastycznymi godzinami pracy mogą mieć ujemne saldo na swoim grafiku , jeśli przepracowali mniej godzin ogółem niż zakontraktowane do tego momentu. Pracownicy mogą być w stanie wziąć więcej niż ich roczny dodatek urlopowy w ciągu roku i przenieść ujemne saldo na następny rok.
• Transponowane nuty na klawiaturze elektronicznej są pokazane na wyświetlaczu z liczbami dodatnimi dla wzrostu i ujemnymi dla zmniejszenia, np. „-1” dla jednego półtonu w dół.

Arytmetyka z udziałem liczb ujemnych

Znak minus „-” oznacza operator zarówno dla binarnej (dwuoperandowej ) operacji odejmowania ( jak w y − z ) , jak i jednoargumentowej (jednoargumentowej) operacji negacji (jak w − x lub dwa razy w −( − x ) ). Szczególny przypadek jednoargumentowej negacji występuje, gdy działa na liczbie dodatniej, w którym to przypadku wynikiem jest liczba ujemna (jak w −5 ).

Wieloznaczność symbolu „-” na ogół nie prowadzi do dwuznaczności w wyrażeniach arytmetycznych, ponieważ kolejność operacji umożliwia tylko jedną lub drugą interpretację dla każdego „-”. Jednak może to prowadzić do zamieszania i trudności w zrozumieniu wyrażenia, gdy symbole operatorów pojawiają się obok siebie. Rozwiązaniem może być umieszczenie w nawiasach jednoargumentowego „-” wraz z jego operandem.

Na przykład wyrażenie 7 + −5 może być jaśniejsze, jeśli zostanie zapisane jako 7 + (−5) (mimo że formalnie oznaczają one dokładnie to samo). Wyrażenie odejmowania 7 – 5 jest innym wyrażeniem, które nie reprezentuje tych samych operacji, ale daje ten sam wynik .

Czasami w szkołach podstawowych liczba może być poprzedzona znakiem minus lub plus w indeksie górnym, aby wyraźnie odróżnić liczby ujemne i dodatnie, jak w

⁻ 2 + ⁻ 5 daje ⁻ 7 .

Dodatek

Wizualna reprezentacja dodawania liczb dodatnich i ujemnych. Większe kule reprezentują liczby o większej wielkości.

Dodawanie dwóch liczb ujemnych jest bardzo podobne do dodawania dwóch liczb dodatnich. Na przykład,

(-3) + (-5) = -8 .

Chodzi o to, że dwa długi można połączyć w jeden dług o większej wartości.

Dodając do siebie mieszaninę liczb dodatnich i ujemnych, można myśleć o liczbach ujemnych jako o odejmowanych wielkościach dodatnich. Na przykład:

8 + (-3) = 8 - 3 = 5 i (-2) + 7 = 7 - 2 = 5 .

W pierwszym przykładzie kredyt w wysokości 8 jest łączony z długiem w wysokości 3 , co daje łączny kredyt w wysokości 5 . Jeśli liczba ujemna ma większą wielkość, wynik jest ujemny:

(-8) + 3 = 3 - 8 = -5 i 2 + (-7) = 2 - 7 = -5 .

Tutaj kredyt jest mniejszy niż dług, więc wynik netto jest długiem.

Odejmowanie

Jak omówiono powyżej, odejmowanie dwóch liczb nieujemnych może dać odpowiedź negatywną:

5 - 8 = -3

Ogólnie rzecz biorąc, odejmowanie liczby dodatniej daje taki sam wynik, jak dodanie liczby ujemnej o równej wielkości. Zatem

5 - 8 = 5 + (-8) = -3

I

(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8

Z drugiej strony odjęcie liczby ujemnej daje taki sam wynik, jak dodanie liczby dodatniej o równej wielkości. (Chodzi o to, że utrata długu jest tym samym, co uzyskanie kredytu). Tak więc

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

I

(-5) - (-8) = (-5) + 8 = 3 .

Mnożenie

Podczas mnożenia liczb wielkość iloczynu jest zawsze iloczynem dwóch wielkości. Znak produktu określają następujące zasady:

• Iloczyn jednej liczby dodatniej i jednej liczby ujemnej jest ujemny.
• Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

Zatem

(−2) × 3 = −6

I

(-2) × (-3) = 6 .

Powód pierwszego przykładu jest prosty: dodanie trzech −2 razem daje −6 :

(-2) × 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6 .

Rozumowanie drugiego przykładu jest bardziej skomplikowane. Ponownie chodzi o to, że utrata długu jest tym samym, co uzyskanie kredytu. W tym przypadku utrata dwóch długów po trzy każdy jest równoznaczna z uzyskaniem kredytu w wysokości sześciu:

(-2 długi ) × (-3 każdy ) = +6 kredytu.

Konwencja, że ​​iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, jest również konieczna, aby mnożenie było zgodne z prawem rozdzielności . W tym przypadku to wiemy

(-2) × (-3) + 2 × (-3) = (-2 + 2) × (-3) = 0 × (-3) = 0 .

Ponieważ 2 × (−3) = −6 , iloczyn (−2) × (−3) musi być równy 6 .

Te reguły prowadzą do innej (równoważnej) reguły - znak dowolnego iloczynu a × b zależy od znaku a w następujący sposób:

• jeśli a jest dodatnie, to znak a × b jest taki sam jak znak b i
• jeśli a jest ujemne, to znak a × b jest przeciwieństwem znaku b .

Uzasadnienie, dlaczego iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, można zaobserwować w analizie liczb zespolonych .

Dział

Zasady znakowania przy dzieleniu są takie same jak przy mnożeniu. Na przykład,

8 ÷ (−2) = −4 ,

(−8) ÷ 2 = −4 ,

I

(-8) ÷ (-2) = 4 .

Jeśli dzielna i dzielnik mają ten sam znak, wynik jest dodatni, jeśli mają różne znaki, wynik jest ujemny.

Negacja

Główny artykuł: dodatek odwrotny

Ujemna wersja liczby dodatniej nazywana jest jej negacją . Na przykład −3 jest negacją liczby dodatniej 3 . Suma liczby i jej negacji jest równa zeru :

3 + (-3) = 0 .

Oznacza to, że negacja liczby dodatniej jest addytywną odwrotnością liczby.

Korzystając z algebry , możemy zapisać tę zasadę jako tożsamość algebraiczną :

x + (− x ) = 0 .

Tożsamość ta zachodzi dla dowolnej liczby dodatniej x . Można to zrobić dla wszystkich liczb rzeczywistych, rozszerzając definicję negacji, aby obejmowała liczby zerowe i ujemne. Konkretnie:

• Negacją 0 jest 0 i
• Negacją liczby ujemnej jest odpowiadająca jej liczba dodatnia.

Na przykład negacją −3 jest +3 . Ogólnie,

−(− x ) = x .

00 Wartość bezwzględna liczby to liczba nieujemna o tej samej wielkości. Na przykład wartość bezwzględna −3 i wartość bezwzględna 3 są równe 3 , a wartość bezwzględna to .

Formalna konstrukcja ujemnych liczb całkowitych

Zobacz też: Liczba całkowita § Konstrukcja

W podobny sposób jak liczby wymierne , możemy rozszerzyć liczby naturalne N do liczb całkowitych Z , definiując liczby całkowite jako uporządkowaną parę liczb naturalnych ( a , b ). Możemy rozszerzyć dodawanie i mnożenie na te pary, stosując następujące zasady:

( za , b ) + ( do , re ) = ( za + do , b + re )

( za , b ) × ( do , re ) = ( za × do + b × re , za × re + b × do )

Definiujemy relację równoważności ~ na tych parach za pomocą następującej reguły:

( za , b ) ~ ( do , re ) wtedy i tylko wtedy gdy za + re = b + do .

Ta relacja równoważności jest zgodna z dodawaniem i mnożeniem zdefiniowanym powyżej i możemy zdefiniować Z jako zbiór ilorazowy N ²/~, tj. identyfikujemy dwie pary ( a , b ) i ( c , d ) jeśli są one równoważne w ponad sens. Zauważ, że Z , wyposażony w te operacje dodawania i mnożenia, jest pierścieniem i jest w rzeczywistości prototypowym przykładem pierścienia.

Możemy również zdefiniować całkowite zamówienie na Z , pisząc

( za , b ) ≤ ( do , re ) wtedy i tylko wtedy gdy a + re ≤ b + do .

Doprowadzi to do addytywnego zera postaci ( a , a ), addytywnej odwrotności ( a , b ) postaci ( b , a ), multiplikatywnej jednostki postaci ( a + 1, a ) i a definicja odejmowania

( za , b ) - ( do , re ) = ( za + re , b + do ) .

Ta konstrukcja jest szczególnym przypadkiem konstrukcji Grothendiecka .

Wyjątkowość

Addytywna odwrotność liczby jest niepowtarzalna, jak pokazuje poniższy dowód. Jak wspomniano powyżej, addytywna odwrotność liczby jest zdefiniowana jako wartość, która po dodaniu do liczby daje zero.

Niech x będzie liczbą, a y jej addytywną odwrotnością. Załóżmy, że y′ jest kolejną addytywną odwrotnością x . Zgodnie z definicją,

$$quad x + y = 0.}$$

A więc x + y′ = x + y . Korzystając z prawa anulowania dodawania, widać, że y′ = y . Zatem y jest równe dowolnej innej addytywnej odwrotności x . Oznacza to, że y jest unikalną addytywną odwrotnością x .

Historia

Zobacz także: Liczba zespolona § Historia

Przez długi czas zrozumienie liczb ujemnych było opóźniane z powodu niemożności posiadania liczby ujemnej przedmiotu fizycznego, na przykład „minus trzy jabłka”, a negatywne rozwiązania problemów uważano za „fałszywe”.

W hellenistycznym Egipcie $Arithmetica$ matematyk Diofant w III wieku naszej ery się do równania, które było równoważne które rozwiązanie ujemne) w , że równanie było absurdalne. Z tego powodu greccy geometrzy byli w stanie rozwiązać geometrycznie wszystkie formy równania kwadratowego, które dają pierwiastki dodatnie; podczas gdy oni nie mogli brać pod uwagę innych.

Liczby ujemne pojawiają się po raz pierwszy w historii w Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), które w obecnej formie pochodzą z okresu panowania dynastii Han ( 202 pne – 220 ne ), ale może równie dobrze zawierać znacznie starszy materiał. Matematyk Liu Hui (ok. III w.) ustalił zasady dodawania i odejmowania liczb ujemnych. Historyk Jean-Claude Martzloff teoretyzował, że znaczenie dwoistości w chińskiej filozofii przyrody ułatwiło Chińczykom zaakceptowanie idei liczb ujemnych. Chińczycy potrafili rozwiązywać równoczesne równania z liczbami ujemnymi. Dziewięć rozdziałów używało czerwonych prętów liczących do oznaczania współczynników dodatnich i czarnych prętów do oznaczania ujemnych. System ten jest dokładnym przeciwieństwem współczesnego drukowania liczb dodatnich i ujemnych w dziedzinie bankowości, księgowości i handlu, gdzie czerwone liczby oznaczają wartości ujemne, a czarne liczby oznaczają wartości dodatnie. Liu Hui pisze:

Teraz istnieją dwa przeciwstawne rodzaje prętów liczących zyski i straty, nazwijmy je dodatnimi i ujemnymi. Czerwone pręty liczące są dodatnie, czarne pręty liczące są ujemne.

Starożytny indyjski manuskrypt Bakhshali przeprowadzał obliczenia z liczbami ujemnymi, używając znaku „+” jako znaku ujemnego. Data powstania rękopisu jest niepewna. LV Gurjar datuje to nie później niż na IV wiek, Hoernle między trzecim a czwartym wiekiem, Ayyangar i Pingree datuje to na VIII lub IX wiek, a George Gheverghese Joseph datuje to na około 400 rne i nie później niż na początku VII wieku wiek,

W VII wieku naszej ery liczby ujemne były używane w Indiach do przedstawiania długów. Indyjski matematyk Brahmagupta w dziele Brahma-Sphuta-Siddhanta (napisanym ok. 630 r.) omówił użycie liczb ujemnych do stworzenia ogólnego wzoru kwadratowego , który pozostaje w użyciu do dziś. Znalazł również ujemne rozwiązania równań kwadratowych i podał zasady dotyczące działań na liczbach ujemnych i zerowych , na przykład: „Dług odcięty od nicości staje się kredytem; kredyt odcięty od nicości staje się długiem”. Liczby dodatnie nazwał „szczęściem”, zero „szyfrem”, a liczby ujemne „długami”.

W IX wieku matematycy islamscy znali liczby ujemne z prac matematyków indyjskich, ale rozpoznawanie i używanie liczb ujemnych w tym okresie pozostawało nieśmiałe. Al-Khwarizmi w swoim Al-jabr wa'l-muqabala (od którego pochodzi słowo „algebra”) nie używał liczb ujemnych ani ujemnych współczynników. Ale w ciągu pięćdziesięciu lat Abu Kamil zilustrował zasady znaków dla rozszerzenia mnożenia ${\ displaystyle (a \ pm b) (c \ pm d)}$ , a al-Karaji napisał w swoim al-Fakhrī , że „ilości ujemne należy liczyć jako wyrazy”. W X wieku Abū al-Wafā 'al-Būzjānī uważał długi za liczby ujemne w Księdze o tym, co jest konieczne z nauki arytmetyki dla skrybów i biznesmenów .

W XII wieku następcy al-Karaji mieli określić ogólne zasady znaków i używać ich do rozwiązywania dzieleń wielomianowych . Jak pisze al-Samaw'al :

iloczyn liczby ujemnej — al-nāqiṣ (strata) — przez liczbę dodatnią — al-zāʾid (zysk) — jest ujemny, a liczby ujemnej jest dodatni. Jeśli odejmiemy liczbę ujemną od wyższej liczby ujemnej, reszta to ich ujemna różnica. Różnica pozostaje dodatnia, jeśli odejmiemy liczbę ujemną od niższej liczby ujemnej. Jeśli od liczby dodatniej odejmiemy liczbę ujemną, reszta będzie ich sumą dodatnią. Jeśli od pustej potęgi odejmiemy liczbę dodatnią ( martaba khāliyya ), reszta jest taka sama ujemna, a jeśli od pustej potęgi odejmiemy liczbę ujemną, reszta będzie tą samą liczbą dodatnią.

W XII wieku w Indiach Bhāskara II podał ujemne pierwiastki dla równań kwadratowych, ale odrzucił je, ponieważ były nieodpowiednie w kontekście problemu. Stwierdził, że wartości ujemnej „w tym przypadku nie należy przyjmować, ponieważ jest ona nieodpowiednia; ludzie nie akceptują negatywnych korzeni”.

Fibonacci dopuszczał negatywne rozwiązania problemów finansowych, gdzie można je było interpretować jako debety (rozdział 13 Liber Abaci , 1202 r.), a później jako straty (w dziele Fibonacciego Flos ).

W XV wieku Francuz Nicolas Chuquet używał liczb ujemnych jako wykładników , ale nazywał je „liczbami absurdalnymi”.

Michael Stifel zajmował się liczbami ujemnymi w swojej Arithmetica Integra z 1544 roku , gdzie nazwał je również numeri absurdi (liczby absurdalne).

W 1545 roku Gerolamo Cardano w swoim Ars Magna jako pierwszy w Europie przedstawił zadowalające podejście do liczb ujemnych. Nie dopuszczał liczb ujemnych w swoim rozważaniu ${\ Displaystyle x ^ {3} = topór + b}$ , więc musiał traktować na przykład oddzielnie od ${\ Displaystyle x ^ {3}$ (z ${\ displaystyle a, b> 0}$ w obu przypadkach). W sumie Cardano został zmuszony do zbadania trzynastu typów równań sześciennych, z których każde miało wszystkie ujemne wyrazy przeniesione na drugą stronę znaku =, aby były dodatnie. (Cardano zajmował się również liczbami zespolonymi , ale, co zrozumiałe, lubił je jeszcze mniej.)

W 1748 roku Leonhard Euler , formalnie manipulując złożonymi szeregami potęg , używając pierwiastka kwadratowego z ${\ Displaystyle -1,},$ uzyskał wzór Eulera na analizę zespoloną :

$${\ Displaystyle \ sałata \ teta + i \ sin \ teta = e ^ {i \ teta}}$$

gdzie ${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}.}$

W 1797 r . Carl Friedrich Gauss opublikował dowód fundamentalnego twierdzenia algebry, ale wyraził wówczas swoje wątpliwości co do „prawdziwej metafizyki pierwiastka kwadratowego z −1”.

Jednak europejscy matematycy w większości opierali się koncepcji liczb ujemnych aż do połowy XIX wieku. W XVIII wieku powszechną praktyką było ignorowanie wszelkich negatywnych wyników uzyskanych z równań, zakładając, że są one bezsensowne. W 1759 roku angielski matematyk Francis Maseres napisał, że liczby ujemne „zaciemniają całe doktryny równań i zaciemniają rzeczy, które z natury są zbyt oczywiste i proste”. Doszedł do wniosku, że liczby ujemne są bezsensowne.

Zobacz też

• Podpisane zero
• Liczba przeciwna
• Historia zera
• Liczby całkowite
• Części pozytywne i negatywne
• Liczby wymierne
• Liczby rzeczywiste
• Funkcja znaku
• Znak (matematyka)
• Podpisane reprezentacje liczb

Bibliografia

•   Bourbaki, Nicolas (1998). Elementy historii matematyki . Berlin, Heidelberg i Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8 .
• Struik, Dirk J. (1987). Zwięzła historia matematyki . Nowy Jork: Dover Publications.

Linki zewnętrzne

• Informacje biograficzne Maseresa
• Seria BBC Radio 4 In Our Time , w „Negative Numbers”, 9 marca 2006
• Niekończące się przykłady i ćwiczenia: operacje na liczbach całkowitych ze znakiem
• Forum matematyczne: Zapytaj dr Math FAQ: Negative Times a Negative