grupa Grothendiecka

W matematyce grupa Grothendiecka lub grupa różnic monoidu przemiennego M jest pewną grupą abelową . Ta grupa abelowa jest skonstruowana z M w najbardziej uniwersalny sposób, w tym sensie, że każda grupa abelowa zawierająca homomorficzny obraz M będzie również zawierała homomorficzny obraz grupy Grothendiecka M . Konstrukcja grupowa Grothendiecka bierze swoją nazwę od konkretnego przypadku w teorii kategorii , wprowadzony przez Aleksandra Grothendiecka w jego dowodzie twierdzenia Grothendiecka-Riemanna-Rocha , co zaowocowało rozwojem K-teorii . Tym szczególnym przypadkiem jest monoida klas izomorfizmu obiektów kategorii abelowej , której działaniem jest suma bezpośrednia .

Grupa Grothendiecka monoidu przemiennego

Motywacja

Biorąc pod uwagę przemienny monoid M , „najbardziej ogólną” grupę abelową K , która powstaje z M , należy skonstruować poprzez wprowadzenie elementów odwrotnych do wszystkich elementów M . Taka grupa abelowa K zawsze istnieje; nazywa się to grupą Grothendiecka M. Charakteryzuje się pewną uniwersalną właściwością i może być również konkretnie skonstruowany z M .

Jeśli M nie ma właściwości anulowania (to znaczy istnieje a , b i c w M takie, że ${\ Displaystyle a \ neq b}$ i ${\ Displaystyle ac = bc}$ ), to grupa Grothendiecka K nie może zawierać M . W szczególności w przypadku operacji monoidalnej oznaczanej multiplikatywnie, która ma element zerowy spełniający ${\ Displaystyle 0.x = 0}$$dla$ każdego Grothendiecka musi być grupą ( grupa z elementem), ponieważ trzeba mieć

$x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0$

dla każdego x .

Własność uniwersalna

Niech M będzie monoidem przemiennym. Jego grupa Grothendiecka jest grupą abelową K z monoidalnym homomorfizmem $następującą$ uniwersalną właściwość: dla dowolnego homomorfizmu monoidalnego $\ okrężnica M \to A}$ od M do grupy abelowej A , istnieje unikalny homomorfizm grupowy ${\ Displaystyle g \ dwukropek K \ do A}$ takie, że ${\ displaystyle f = g \ circ i.}$

Wyraża to fakt, że każda grupa abelowa A zawierająca homomorficzny obraz M będzie również zawierała homomorficzny obraz K , przy czym K jest „najbardziej ogólną” grupą abelową zawierającą homomorficzny obraz M .

Wyraźne konstrukcje

Zobacz także: K-teoria § Uzupełnienie Grothendiecka

Aby skonstruować grupę Grothendiecka K monoidu przemiennego M , tworzy się iloczyn kartezjański ${\ Displaystyle M \ razy M}$ . $m_$ współrzędne mają reprezentować część dodatnią i część ujemną, $m$ 1 w K .

Dodatek na ${\ Displaystyle M \ razy M}$ jest zdefiniowany współrzędnymi: M × M {\ Displaystyle M \ razy M}

${\ Displaystyle (m_ {1}, m_ {2}) + (n_ {1}, n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$ .

Następna definiuje relację równoważności na ${\ Displaystyle M \ razy M}$ tak, że ${\ Displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ jest równoważne ${\ Displaystyle (n_ {1}, n_ {2})}$ jeśli dla jakiegoś elementu k z M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (element k jest konieczny, ponieważ prawo anulowania nie obowiązuje we wszystkich monoidach). Klasa równoważności elementu ( m ₁ , m ₂ ) jest oznaczona jako [( m ₁ , m ₂ )]. Definiuje się K jako zbiór klas równoważności. Ponieważ operacja dodawania na M × M jest zgodna z naszą relacją równoważności, otrzymujemy dodatek na K , a K staje się grupą abelową. Elementem tożsamości K jest [(0, 0)], a odwrotnością [( m ₁ , m ₂ )] jest [( m ₂ , m ₁ )]. Homomorfizm ${\ Displaystyle i: M \ do K}$ wysyła element m do [( m , 0)].

Alternatywnie $oznaczając$ grupę Grothendiecka K z M skonstruować za pomocą i relacji : grupę zbiór M. , grupa Grothendiecka K jest ilorazem przez podgrupę ${\ Displaystyle Z (M)$ } generowany przez ${\ Displaystyle \ {(x + 'y) -' (x + y) \ mid x, y \ in M ​​\} }$ . (Tutaj + ′ i - ′ oznaczają dodawanie i odejmowanie w wolnej grupie abelowej, podczas gdy + oznacza dodawanie w monoidzie M. ${\ Displaystyle Z (M)}$ .) Ta konstrukcja ma tę zaletę, że może być wykonana dla dowolnej półgrupy M i daje grupę, która spełnia odpowiednie uniwersalne właściwości dla półgrup, tj. „najbardziej ogólną i najmniejszą grupę zawierającą homomorficzny obraz M ”. Nazywa się to „grupowym uzupełnieniem półgrupy” lub „grupą ułamków półgrupy”.

Nieruchomości

W języku teorii kategorii każda uniwersalna konstrukcja daje początek funktorowi ; otrzymujemy w ten sposób funktor z kategorii monoidów przemiennych do kategorii grup abelowych , który wysyła monoid przemienny M do swojej grupy Grothendiecka K . Funktor ten pozostaje w sąsiedztwie funktora zapominalskiego z kategorii grup abelowych do kategorii monoidów przemiennych.

Dla monoidu przemiennego M mapa i : M → K jest iniekcyjna wtedy i tylko wtedy, gdy M ma właściwość anulowania, i jest bijektywna wtedy i tylko wtedy, gdy M jest już grupą.

Przykład: liczby całkowite

$Grothendiecka$$jest$ konstrukcja liczb z (addytywnych) liczb naturalnych . Pierwszy zauważa, że ​​liczby naturalne (w tym 0) wraz ze zwykłym dodawaniem rzeczywiście tworzą monoid przemienny ${\ Displaystyle (\ mathbb {N}, +).}$ Teraz, gdy użyjemy konstrukcji grupowej Grothendiecka, otrzymamy formalne różnice między liczbami naturalnymi jako elementami n - m i jeden ma relację równoważności

${\ Displaystyle nm \ sim n'-m' \ iff n + m' + k = n' + m + k}$ dla niektórych ${\ Displaystyle k \ iff n + m' = n' + m}$ .

Teraz zdefiniuj

${\ Displaystyle \ forall n \ w \ mathbb {N}: \ qquad {\ rozpocząć {przypadki} n: = [n-0 ]\\-n:=[0-n]\end{przypadki}}}$

To definiuje liczby całkowite ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ . Rzeczywiście, jest to zwykła konstrukcja służąca do uzyskiwania liczb całkowitych z liczb naturalnych. Zobacz „Konstrukcja” w sekcji Liczby całkowite, aby uzyskać bardziej szczegółowe wyjaśnienie.

Przykład: dodatnie liczby wymierne

Podobnie grupa Grothendiecka multiplikatywnego przemiennego monoidu $się$ z ułamków formalnych $/q}$$displaystyle$ z równoważnością

${\ Displaystyle p / q \ sim p '/q' \ iff pq'r = p'qr}$ dla pewnego ${\ displaystyle r \ iff pq '= p'q}$

które oczywiście można utożsamiać z dodatnimi liczbami wymiernymi .

Przykład: grupa rozmaitości Grothendiecka

Grupa Grothendiecka jest podstawową konstrukcją K-teorii . Grupa $rozmaitości$ grupa Grothendiecka monoidu przemiennego wszystkich klas izomorfizmu wektorowych skończonego rzędu na M z daną operacją sumą bezpośrednią. Daje to funktor kontrawariantny od rozmaitości do grup abelowych. Ten funktor jest badany i rozszerzany w topologicznej teorii K .

Przykład: grupa pierścienia Grothendiecka

Zerowa algebraiczna grupa K pierścienia R (niekoniecznie przemiennego) $z$ grupa składająca się klas izomorfizmu generowanych modułów rzutowych nad R , z operacja monoidu dana przez sumę bezpośrednią . Wtedy jest kowariantnym funktorem od $pierścieni$ grup abelowych .

Dwa poprzednie przykłady są ze sobą powiązane: rozważ przypadek , $zespolonych$ jest gładkich o na rozmaitości M W tym przypadku rzutowe moduły R są dualne do wiązek wektorowych nad M (zgodnie z twierdzeniem Serre-Swana ). $Displaystyle K_ {0} (R)}$ \ i ${\ Displaystyle K_ {0} (M)}$ to ta sama grupa.

Grupa Grothendiecka i rozszerzenia

Definicja

Inna konstrukcja, która nosi nazwę grupy Grothendiecka, jest następująca: Niech R będzie algebrą skończonych wymiarów na pewnym polu k lub, bardziej ogólnie, pierścieniem artinowskim . Następnie ${[X] \ mid X \in R{\text{-mod}}\}}$ grupę Grothendiecka ${ \$ grupę abelową wygenerowaną przez zbiór klas izomorfizmu skończenie generowanych R -modułów i zależności: Dla każdego krótkiego ciągu dokładnego

${\ Displaystyle 0 \ do A \ do B \ do C \ do 0}$

R -modułów dodaj zależność

${\ Displaystyle [A] - [B] + [C] = 0.}$

Ta definicja implikuje, że dla dowolnych dwóch skończenie generowanych modułów R M i N , ${\ Displaystyle [M \ oplus N] = [M] + [N]}$ z powodu podzielona krótka sekwencja dokładna

${\ Displaystyle 0 \ do M \ do M \ oplus N \ do N \ do 0.}$

Przykłady

Niech K będzie polem. $skończenie$ grupa Grothendiecka $.$ abelową generowaną przez symbole dowolnej wymiarowej - V $W$ rzeczywistości ${\ Displaystyle G_ {0} (K)}$ jest izomorficzny do generatorem jest element ${\ Displaystyle [K]}$ . Tutaj symbol $skończenie$ wymiarowej K -wektorowej przestrzeni V jest zdefiniowany jako ${K} V}$ , wymiar przestrzeni wektorowej V . Załóżmy, że mamy następującą krótką dokładną sekwencję K -wektorowych.

${\ Displaystyle 0 \ do V \ do T \ do W \ do 0}$

Ponieważ dowolna krótka dokładna sekwencja przestrzeni wektorowych dzieli się, oznacza to, że ${\ Displaystyle T \ cong V \ oplus W}$ . W rzeczywistości dla dowolnych dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych V i W zachodzi:

${\ Displaystyle \ dim _ {K} (V \ oplus W) = \ dim _ {K} (V) + \ dim _{K}(W)}$

$równość$ warunek symbolu w grupie Grothendiecka

${\ Displaystyle [T] = [V \ oplus W] = [V] + [W]}$

Zauważ, że dowolne dwie izomorficzne skończone wymiarowe przestrzenie K -wektorowe mają ten sam wymiar. Również dowolne dwie skończenie wymiarowe przestrzenie K -wektorowe V i W tego samego wymiaru są względem siebie izomorficzne. W rzeczywistości każda skończona n -wymiarowa przestrzeń K -wektorowa V jest izomorficzna z ${\ Displaystyle K ^ {\ oplus n}}$ . Obserwacja z poprzedniego akapitu dowodzi zatem następującego równania:

${\ Displaystyle [V] = \ lewo [K ^ {\ oplus n} \ prawo] = n [K]}$

Stąd każdy symbol $}$ element o $współczynnikach$ całkowitych, co oznacza, że $K$$G_ {0} (K$ jest izomorficzny $K$ generatorem ${\ Displaystyle [K]$ }

$Mówiąc$ bardziej ogólnie, niech zbiorem liczb całkowitych. Grupa Grothendiecka $grupą$ abelową generowaną $skończenie$ dla grup A Najpierw zauważa się, że każda skończona grupa abelowa G spełnia to, że ${\ Displaystyle [G] = 0}$ . Zachodzi następująca krótka sekwencja $mnożeniem$ , gdzie mapa jest n

${\ Displaystyle 0 \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ do 0}$

Dokładna sekwencja implikuje, że ${\ Displaystyle [\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} ] = [\ mathbb {Z}] - [\ mathbb { Z} ]=0}$ , więc każda grupa cykliczna ma swój symbol równy 0. To z kolei implikuje, że każda skończona grupa abelowa G spełnia ${\ Displaystyle [G] = 0}$ przez podstawowe twierdzenie o skończonych grupach abelowych .

Zauważ, że zgodnie z podstawowym twierdzeniem o skończenie generowanych grupach abelowych każda grupa abelowa A jest izomorficzna z bezpośrednią sumą podgrupy torsyjnej i grupy abelowej bez torsyjnej izomorficznej z ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r}}$ dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej r , zwanej rangą A i oznaczanej przez ${\ Displaystyle r = {\ mbox {ranking}} (A)$ } . Zdefiniuj symbol ${\ Displaystyle [A]}$ as ${\ Displaystyle [A] = {\ mbox {ranga}} (A)}$ . $Wtedy$ grupa jest ${\ Displaystyle [\ mathbb {Z}].}$$.$ _ Rzeczywiście, obserwacja z poprzedniego akapitu pokazuje, że każda grupa abelowa A ma swój symbol taki sam jak symbol $Z$${\ Displaystyle [\ mathbb {Z} ^ {r}] = r [\ mathbb$ gdzie ${\ Displaystyle r = {\ mbox {ranking}} (A)}$ . Ponadto ranga grupy abelowej spełnia warunki symbolu ${\ Displaystyle [A]}$ grupy Grothendiecka. Załóżmy, że mamy następującą krótką dokładną sekwencję grup abelowych:

${\ Displaystyle 0 \ do A \ do B \ do C \ do 0}$

Następnie tensorowanie z liczbami wymiernymi $.$ następujące równanie

${\ Displaystyle 0 \ do A \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} \ do B \ otimes _ {\ mathbb {Z} }\mathbb {Q} \do C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \do 0}$

$wektorowych$ jest krótką dokładną sekwencją przestrzeni , sekwencja się rozdziela. Dlatego mamy następujące równanie.

${\ Displaystyle \ słabe _ {\ mathbb {Q}} (B \ otimes _ {\ mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q}}(A\otimes _{\mathbb {Z}}\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q}} (C\otimes _{\mathbb {Z}}\mathbb {Q} )}$

Z drugiej strony zachodzi również następująca relacja; aby uzyskać więcej informacji, zobacz Ranking grupy abelowej .

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (A) = \ dim _ {\ mathbb {Q}} (A \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ matematykabb {Q} )}$

Dlatego zachodzi następujące równanie:

${\ Displaystyle [B] = \ operatorname {ranga} (B) = \ operatorname {ranga} (A)+\nazwaoperatora {stopień} (C)=[A]+[C]}$

$Stąd$ pokazano $,$ izomorficzny ${\ Displaystyle [\ mathbb {Z}].}$ _

Własność uniwersalna

Grupa Grothendiecka spełnia uniwersalną właściwość. Dokonujemy wstępnej definicji: Funkcja $zbioru$ klas izomorfizmu do grupy abelowej $}$ jest addytywną , jeśli dla każdej dokładnej sekwencji $0\do A\do B\do C\do 0}$${\ displaystyle X$ , jeden ma ${\ Displaystyle \ chi (A) - \ chi (B) + \ chi (C) = 0.}$ Następnie dla dowolnej funkcji addytywnej ${\ Displaystyle \ chi: R {\ tekst {-mod}} \ do X}$ , istnieje unikalny homomorfizm grupy ${\ Displaystyle f: G_ {0} (R) \ do X}$ taki, że czynniki ${\ Displaystyle \ chi}$ przez i mapę, która obejmuje każdy obiekt ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ do elementu reprezentującego jego klasę izomorfizmu w ${\ Displaystyle G_ {0} (R).}$$\ Displaystyle f ([V]) = \ chi (V )}$ oznacza to, że spełnia równanie $fa$$V}$ każdego skończenie wygenerowanego -module $Displaystyle$ i ${\ displaystyle f}$ jest jedynym homomorfizmem grupowym, który to robi.

Przykładami funkcji addytywnych są funkcja znakowa z teorii reprezentacji : Jeśli $\ chi _ {V}: R \ do k}$ skończoną algebrą wymiarową $displaystyle$ to można powiązać znak $→$ do każdego skończonego wymiaru ${\ Displaystyle R}$ -moduł ${\ Displaystyle V: \ chi _ {V} (x)}$$}$$displaystyle V$ jako ślad mapy $liniowej , która$ przez element na { .

Wybierając odpowiednią bazę i zapisując odpowiednie macierze w formie trójkąta blokowego, łatwo widać, że funkcje znakowe są addytywne w powyższym sensie. Dzięki właściwości uniwersalnej daje nam to „uniwersalny charakter” ${\ Displaystyle \ chi: G_ {0} (R) \ do \ operatorname {Hom} _ { K}(R,K)}$ takie, że ${\ Displaystyle \ chi ([V]) = \ chi _ {V}}$ .

$Displaystyle k = \ mathbb {C}}$ do { i ${\ Displaystyle R}$ jest ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [G$ grupowym skończonej grupy do $]$ wtedy ta mapa znaków daje nawet naturalny izomorfizm sol $)}$ i pierścienia znaków ${\ Displaystyle Ch (G)}$ . W modułowej teorii reprezentacji $\ displaystyle$ skończonych może $}$ polem zamknięciem skończonego k { z elementami p . W tym przypadku analogicznie zdefiniowana mapa, która przypisuje każdemu modułowi jego postać Brauera ${\ Displaystyle k [G]}$ sol ${\ Displaystyle G_ {0} ({\ overline {\ mathbb {F} _ {p}}} [G]) \$ na pierścień znaków Brauera. W ten sposób grupy Grothendiecka pojawiają się w teorii reprezentacji.

Ta uniwersalna właściwość sprawia również, że $odbiornikiem$ uogólnionych cech Eulera . W szczególności dla każdego ograniczonego kompleksu obiektów w ${\ displaystyle R {\ text {-mod}}}$

${\ Displaystyle \ cdots \ do 0 \ do 0 \ do A ^ {n} \ do A ^ {n + 1}\do \cdots \do A^{m-1}\do A^{m}\do 0\do 0\do \cdots }$

jeden ma element kanoniczny

${\ Displaystyle [A ^ {*}] = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} [A ^ {i}] = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} [H ^ {i}(A^{*})]\w G_{0}(R).}$

W rzeczywistości grupa Grothendiecka została pierwotnie wprowadzona do badania cech Eulera.

Grupy Grothendiecka dokładnych kategorii

Wspólne uogólnienie tych dwóch pojęć podaje grupa Grothendiecka dokładnej kategorii. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ . Najprościej rzecz ujmując, kategoria dokładna jest kategorią addytywną wraz z klasą wyróżnionych krótkich ciągów A → B → C . Wyróżnione sekwencje nazywane są „sekwencjami dokładnymi”, stąd nazwa. Dokładne aksjomaty dla tej wybitnej klasy nie mają znaczenia dla konstrukcji grupy Grothendiecka.

Grupa Grothendiecka jest zdefiniowana w taki sam sposób jak poprzednio jako grupa abelowa z jednym generatorem [ M ] dla każdego (klasy izomorfizmu) obiektu (ów) kategorii i jednej relacji ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle [A] - [B] + [C] = 0}$

dla każdej dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle A \ hookrightarrow B \ twoheadrightarrow C}$ .

Alternatywnie i równoważnie, można zdefiniować grupę Grothendiecka za pomocą uniwersalnej właściwości: mapa ${\ Displaystyle \ chi: \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {A}}) \ do X}$ z $abelowej$ X nazywa się „addytywną”, jeśli dla każdej dokładnej sekwencji $\ Displaystyle A \ hookrightarrow B \ twoheadrightarrow C}$ { jeden ma ${\ Displaystyle \ chi (A) - \ chi (B) + \ chi (C) = 0}$ ; grupa abelowa G $\ Displaystyle \ phi: \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {$ z mapowaniem addytywnym nazywana jest grupą Grothendiecka $} \ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ jeśli każda mapa addytywna ${\ Displaystyle \ chi: \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {A}}) \ do X}$ czynniki jednoznacznie przez ${\ displaystyle \ phi}$ .

Każda kategoria abelowa jest kategorią ścisłą, jeśli użyje się tylko standardowej interpretacji słowa „dokładnie”. Daje to pojęcie grupy Grothendiecka z poprzedniej sekcji $jeśli$ wygenerowanego R - moduły jako ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ . To jest naprawdę abelowe, ponieważ w poprzedniej sekcji założono, że R jest artyńskie (a więc noetherowskie ).

Z drugiej strony, każda kategoria addytywna jest również dokładna $kanoniczną$ i tylko te sekwencje są dokładne, które mają . morfizmy inkluzji i projekcji. Ta procedura daje grupę Grothendiecka monoidu przemiennego ${\ Displaystyle (\ operatorname {Iso} ({\ mathcal {A}}), \ oplus)}$ ja ${\ Displaystyle \ operatorname {Iso} ({\ mathcal {A}})} oznacza „$ ” [ignorując wszystkie podstawowe kwestie] klas izomorfizmu w ${\ displaystyle { \mathcal {A}}}$ .)

Grupy Grothendiecka triangulowanych kategorii

Uogólniając jeszcze bardziej, możliwe jest również zdefiniowanie grupy Grothendiecka dla kategorii triangulowanych . Konstrukcja jest zasadniczo podobna, ale wykorzystuje relacje [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0, gdy istnieje wyróżniony trójkąt X → Y → Z → X [1].

Dalsze przykłady

• W abelowej kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem k dwie przestrzenie wektorowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar. Zatem dla przestrzeni wektorowej V

${\ Displaystyle [V] = {\ duży [} k ^ {\ dim (V)} {\ duży ]} \ w K_ {0} (\ operatorname {Vect} _ {\ operatorname {fin}}).}$

Ponadto dla dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 0 \ do k ^ {l} \ do k ^ {m} \ do k ^ {n} \ do 0}$

m = l + n więc

${\ Displaystyle \ lewo [k ^ {l + n} \ prawo] = \ lewo [k ^ {l} \ prawo] + \ lewo [k ^ {n} \ prawo] = (l + n) [k]. }$

Zatem

${\ Displaystyle [V] = \ dim (V) [k]}$

i $\ Displaystyle K_ {0} (\ operatorname {Vect} _ {\ operatorname {fin}})}$ jest izomorficzny z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ i jest generowany przez ${\ Displaystyle [k].}$ Wreszcie dla ograniczonego kompleksu skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych V *,

$]}$

${\ Displaystyle [V ^ {*}] = \ chi (V$

$k$ gdzie jest standardową charakterystyką Eulera zdefiniowaną przez

${\ Displaystyle \ chi (V ^ {*}) = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} \ dim V = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} \ dim H ^ { ja} (V ^ {*}).}$

• W przypadku przestrzeni z pierścieniami można rozważyć kategorię ${\mathcal {A}}}$$Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$$\$ wszystkich lokalnie wolnych snopów nad X . ${\ Displaystyle K_ {0} (X)}$ jest następnie definiowany jako grupa Grothendiecka tej dokładnej kategorii i znowu daje to funktor.

• Dla przestrzeni z pierścieniami można również zdefiniować kategorię, ${O}} _ {X}}}$ ma być ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal$ kategoria wszystkich spójnych krążków na X . Obejmuje to specjalny przypadek (jeśli przestrzeń otoczona pierścieniami jest schematem afinicznym ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ jest kategorią skończenie generowanych modułów na pierścieniu noetherowskim R . W obu przypadkach $,$ więc obowiązuje powyższa konstrukcja.

• W przypadku, gdy $zdefiniowane za pomocą krótkich$ jest algebrą skończenie wymiarową na pewnym polu, grupy Grothendiecka sekwencji skończenie generowanych modułów) ${\ Displaystyle K_ {0} (R)}$ (zdefiniowane przez bezpośrednią sumę skończenie generowanych modułów rzutowych) pokrywają się. W rzeczywistości obie grupy są izomorficzne z wolną grupą abelową generowaną przez klasy izomorfizmu prostych modułów R.

• Istnieje inna grupa Grothendiecka $.$ lub przestrzeni otoczonej pierścieniami, która jest czasami przydatna Kategoria w tym przypadku jest wybrana jako kategoria wszystkich quasi-spójnych krążków w przestrzeni pierścieniowej, która w przypadku schematów afinicznych sprowadza się do kategorii wszystkich modułów nad pewnym pierścieniem R. ${\ displaystyle G_ {0}}$ nie jest funktorem, ale mimo to niesie ważne informacje.

• Ponieważ (ograniczona) kategoria pochodna jest triangulowana, istnieje również grupa Grothendiecka dla kategorii pochodnych. Ma to zastosowanie na przykład w teorii reprezentacji. Dla kategorii nieograniczonej grupa Grothendiecka znika jednak. Dla kategorii pochodnej pewnej złożonej algebry skończenie wymiarowo stopniowanej dodatnio istnieje podkategoria w nieograniczonej kategorii pochodnej zawierającej kategorię abelową A modułów skończenie wymiarowych stopniowanych , których grupą Grothendiecka jest q -adyczne uzupełnienie grupy Grothendiecka A .

Zobacz też

• Pole ułamków
• Lokalizacja
• Topologiczna teoria K
• Sekwencja widmowa Atiyaha – Hirzebrucha do obliczania topologicznej teorii K

• Michael F. Atiyah , K-Theory , (Notatki sporządzone przez DWAnderson, jesień 1964), opublikowana w 1967 r., WA Benjamin Inc., Nowy Jork.
•   Achar, Pramod N.; Stroppel, Catharina (2013), „Completions of Grothendieck group”, Bulletin of the London Mathematical Society , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105,2715 , doi : 10,1112/blms/bds079 , MR 3033967 .
• „Grothendieck group” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• „Grupa Grothendiecka” . Planeta Matematyka .
• Grupa Grothendiecka wiązek wektorów algebraicznych; Obliczenia przestrzeni afinicznej i rzutowej
• Grupa Grothendiecka gładkiej rzutowej złożonej krzywej