Nadprzyrodzona liczba

Diagram Hassego siatki liczb nadprzyrodzonych; dla uproszczenia pominięto liczby pierwsze inne niż 2 i 3.

W matematyce liczby nadprzyrodzone , czasami nazywane uogólnionymi liczbami naturalnymi lub liczbami Steinitza , są uogólnieniem liczb naturalnych . Zostały one użyte przez Ernsta Steinitza w 1910 roku jako część jego pracy nad teorią pola .

Liczba nadprzyrodzona jest iloczynem formalnym : ${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega = \ prod _ {p} p ^ {n_ {p}},}$

gdzie $przebiega$ przez wszystkie $liczby$ pierwsze , a każda zero, liczba naturalna nieskończoność Czasami jest używany zamiast $p} (\ omega$$\ Displaystyle v_ {$ } Jeśli nie ${\ Displaystyle n_ {p} = \ infty}$ i istnieje tylko skończona liczba niezerowych ${\ displaystyle n_ {p}}$ wtedy odzyskujemy dodatnie liczby całkowite. Nieco mniej intuicyjnie, jeśli wszystkie ${$ równe $displaystyle \ infty}$ , otrzymujemy zero. $liczby naturalne$ dopuszczając możliwość nieskończenie wielu czynników pierwszych i pozwalając dowolnej liczbie pierwszej na dzielenie „nieskończenie często”, biorąc odpowiedni wykładnik tej liczby pierwszej za symbol ${\ Displaystyle \ infty}$ .

$_ {p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$ pomnożyć . Podobnie pojęcie podzielności rozciąga się na istoty nadprzyrodzone z $\ Displaystyle \ omega _ {1} \ mid \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle v_ {p} (\ omega _ {1}) \ równoważnik v_ {p} (\ omega _ {2})}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle p}$ . Pojęcie najmniejszej wspólnej wielokrotności i największego wspólnego dzielnika można również uogólnić dla liczb nadprzyrodzonych, definiując

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ nazwa operatora {LCM} (\ {\ omega _ {i} \}) \ Displaystyle = \ prod _ { p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$

I

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ operatorname {gcd} (\ {\ omega _ {i} \}) \ Displaystyle = \ prod _ { p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$ .

Przy tych definicjach gcd lub lcm nieskończenie wielu liczb naturalnych (lub liczb nadprzyrodzonych) jest liczbą nadprzyrodzoną. Możemy również rozszerzyć zwykłe $p$$\displaystyle p}$$,$ { definiując dla $\$ .

Liczby nadprzyrodzone są używane do definiowania rzędów i wskaźników grup i podgrup skończonych , w którym to przypadku wiele twierdzeń z teorii grup skończonych jest dokładnie przenoszonych. Służą do kodowania algebraicznych rozszerzeń ciała skończonego .

Liczby nadprzyrodzone pojawiają się również w klasyfikacji algebr jednostajnie hiperskończonych .

Zobacz też

• Określona liczba całkowita

•    Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989). Nieskończone algebraiczne rozszerzenia ciał skończonych . Współczesna matematyka. Tom. 95. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 23–26. ISBN 0-8218-5101-2 . Zbl 0674.12009 .
•    Efrat, Ido (2006). Wyceny, zamówienia i teoria K Milnora . Ankiety matematyczne i monografie . Tom. 124. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . P. 125. ISBN 0-8218-4041-X . Zbl 1103.12002 .
•    Smażone, Michael D .; Jarden, Mosze (2008). Arytmetyka pola . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Tom. 11 (wyd. 3). Springer-Verlag . P. 520. ISBN 978-3-540-77269-9 . Zbl 1145.12001 .

Linki zewnętrzne

• Planet Math: liczba nadprzyrodzona