Rozszerzenie algebraiczne

W matematyce rozszerzenie algebraiczne jest rozszerzeniem pola L / K takim, że każdy element większego ciała L jest algebraiczny na mniejszym polu K ; to znaczy, jeśli każdy element L jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach w K . O rozszerzeniu pola, które nie jest algebraiczne, mówi się, że jest transcendentalne i musi zawierać elementy transcendentalne , to znaczy elementy, które nie są algebraiczne.

Algebraiczne rozszerzenia pola liczb nazywane są polami liczb algebraicznych i są głównymi przedmiotami badań algebraicznej teorii . Innym przykładem rozszerzenie liczb rzeczywistych liczby zespolone .

Niektóre właściwości

Wszystkie transcendentalne rozszerzenia mają nieskończony stopień . To z kolei implikuje, że wszystkie skończone rozszerzenia są algebraiczne. sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa: istnieją nieskończone rozszerzenia, które są algebraiczne. Na przykład pole wszystkich liczb algebraicznych jest nieskończonym algebraicznym rozszerzeniem liczb wymiernych.

Niech E będzie rozszerzeniem K , a a ∈ E . Jeśli a jest algebraiczne nad K , to K ( a ), zbiór wszystkich wielomianów w a o współczynnikach w K , jest nie tylko pierścieniem , ale ciałem: K ( a ) jest algebraicznym rozszerzeniem K , które ma skończony stopień nad K . Odwrotność nie jest prawdziwa. Q [π] i Q [e] są ciałami, ale π i e są transcendentalne względem Q .

Ciało algebraicznie zamknięte F nie ma odpowiednich rozszerzeń algebraicznych, to znaczy żadnych rozszerzeń algebraicznych E z F < E . Przykładem jest dziedzina liczb zespolonych. Każde ciało ma rozszerzenie algebraiczne, które jest algebraicznie domknięte (nazywane domknięciem algebraicznym ), ale udowodnienie tego ogólnie wymaga jakiejś formy aksjomatu wyboru .

Rozszerzenie L / K jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy każda podrzędna algebra L jest ciałem.

Nieruchomości

Następujące trzy właściwości posiadają:

  1. Jeśli E jest algebraicznym rozszerzeniem F i F jest algebraicznym rozszerzeniem K , to E jest algebraicznym rozszerzeniem K .
  2. Jeśli E i F są algebraicznymi rozszerzeniami K we wspólnym polu nadpolowym C , to compositum EF jest algebraicznym rozszerzeniem K.
  3. Jeśli E jest algebraicznym rozszerzeniem F i E > K > F , to E jest algebraicznym rozszerzeniem K .

Te skończone wyniki można uogólnić za pomocą indukcji pozaskończonej:

  1. Suma dowolnego łańcucha rozszerzeń algebraicznych na polu podstawowym jest sama w sobie rozszerzeniem algebraicznym na tym samym ciele podstawowym .

Fakt ten, wraz z lematem Zorna (odniesionym do odpowiednio dobranego posetu ), stwierdza istnienie domknięć algebraicznych .

Uogólnienia

Główny artykuł: Podstruktura (matematyka)

Teoria modeli uogólnia pojęcie rozszerzenia algebraicznego na dowolne teorie: osadzenie M w N nazywamy rozszerzeniem algebraicznym , jeśli dla każdego x w N istnieje wzór p z parametrami w M , taki, że p ( x ) jest prawdziwe i zbiór

jest skończony. Okazuje się, że zastosowanie tej definicji do teorii pól daje zwykłą definicję rozszerzenia algebraicznego. Grupę Galois N nad M można ponownie zdefiniować jako grupę automorfizmów i okazuje się, że większość teorii grup Galois można rozwinąć dla przypadku ogólnego .

Względne domknięcia algebraiczne

Biorąc pod uwagę pole k i pole K zawierające k , definiuje się względne domknięcie algebraiczne k w K jako podpole K składające się ze wszystkich elementów K , które są algebraiczne nad k , to znaczy wszystkie elementy K , które są pierwiastkiem z jakiś niezerowy wielomian o współczynnikach w k .

Zobacz też

Notatki

  1. ^ Fraleigh (2014), definicja 31.1, s. 283.
  2. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), definicja 21.1.23, s. 453.
  3. ^ Fraleigh (2014), definicja 29.6, s. 267.
  4. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Twierdzenie 21.1.8, s. 447.
  5. ^ Zobacz także Hazewinkel i in. (2004), s. 3.
  6. ^ Fraleigh (2014), Twierdzenie 31.18, s. 288.
  7. ^ Fraleigh (2014), wniosek 31.13, s. 287.
  8. ^ Fraleigh (2014), Twierdzenie 30.23, s. 280.
  9. ^ Fraleigh (2014), przykład 29.8, s. 268.
  10. ^ Fraleigh (2014), wniosek 31.16, s. 287.
  11. ^ Fraleigh (2014), Twierdzenie 31.22, s. 290.
  12. ^ Lang (2002) s. 228
  •   Fraleigh, John B. (2014), pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej , Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  •   Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadieżda Michajłowna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebry, pierścienie i moduły , tom. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  •    Lang, Serge (1993), „V.1: Rozszerzenia algebraiczne”, Algebra (wyd. Trzecie), Reading, Mass .: Addison-Wesley, s. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001
  •   Malik DB; Mordeson, John N.; Sen, MK (1997), Podstawy algebry abstrakcyjnej , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  •    McCarthy, Paul J. (1991) [poprawiony przedruk wydania 2, 1976], algebraiczne rozszerzenia pól , New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4 , Zbl 0768.12001
  •   Roman, Steven (1995), Teoria pola , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  •   Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 9780130878687
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraic_extension&oldid=1087623960 ”