Jednostajnie algebra hiperskończona

W matematyce , szczególnie w teorii C*-algebr , jednostajnie hiperskończonej lub UHF , algebra jest C*-algebrą, którą można zapisać jako zamknięcie, w topologii norm , rosnącej unii skończenie wymiarowej pełnej macierzy algebry .

Definicja

C*-algebra UHF jest bezpośrednią granicą układu indukcyjnego { φ _An , _n φ n _} , gdzie każdy _{+1 jest An} jest skończenie _An wymiarową algebrą pełnej macierzy i każdy : An _osadzeniem → jednostkowym. Tłumiąc łączące się mapy, można pisać

${\ Displaystyle A = {\ overline {\ kubek _ {n} A_ {n}}}.}$

Klasyfikacja

Jeśli

$\ Displaystyle A_ {n} \ simeq M_ {k_ {n}} (\ mathbb {C}),}$

wtedy rk _n = k _{n + 1} dla pewnej liczby całkowitej r i

${\ Displaystyle \ phi _ {n} (a) = a \ czasami ja_ {r},}$

gdzie I _r jest tożsamością w macierzach r × r . Sekwencja ... k _n | k _{n + 1} | k _{n + 2} ... określa iloczyn formalny

${\ Displaystyle \ delta (A) = \ prod _ {p} p ^ {t_ {p}}}$

gdzie każde p jest liczbą pierwszą i t _p = sup { m | p ^m dzieli k _n przez jakieś n }, być może zero lub nieskończoność. Mówimy, że iloczyn formalny δ ( A ) jest liczbą nadprzyrodzoną odpowiadającą A . Glimm wykazał, że liczba nadprzyrodzona jest całkowitym niezmiennikiem algebr UHF C*. W szczególności istnieje niezliczona ilość klas izomorfizmu algebr UHF C*.

Jeśli δ ( A ) jest skończone, to A jest pełną algebrą macierzową M _{δ ( A )} . Mówimy, że algebra UHF jest typu nieskończonego , jeśli każde t _p w δ ( A ) wynosi 0 lub ∞.

W języku K-teorii każda nadprzyrodzona liczba

${\ Displaystyle \ delta (A) = \ prod _ {p} p ^ {t_ {p}}}$

określa addytywną podgrupę Q , która jest liczbami wymiernymi typu n / m , gdzie m formalnie dzieli δ ( A ). Ta grupa to grupa K ₀ A .

algebry CAR

Jednym z przykładów algebry UHF C* jest algebra CAR . Jest ona zdefiniowana następująco: niech H będzie rozłączną zespoloną przestrzenią Hilberta H z bazą ortonormalną f _n i L ( H ) operatorami ograniczonymi na H , rozważ mapę liniową

${\ Displaystyle \ alfa: H \ strzałka w prawo L (H)}$

z tą właściwością

${\ Displaystyle \ {\ alfa (f_ {n}), \ alfa (f_ {m}) \} = 0 \ quad {\ mbox {i}} \ quad \ alfa (f_ {n}) ^ {*} \ alpha (f_{m})+\alpha (f_{m})\alpha (f_{n})^{*}=\langle f_{m},f_{n}\rangle I.}$

Algebra CAR jest algebrą C* generowaną przez

${\ Displaystyle \ {\ alfa (f_ {n}) \} \;.}$

Osadzanie

${\ Displaystyle C ^ {*} (\ alfa (f_ {1}),\cdots,\alpha (f_{n})}\hookrightarrow C^{*}(\alpha (f_{1}),\cdots,\alpha (f_{n+1}))}$

można utożsamiać z osadzeniem wielokrotności 2

${\ Displaystyle M_ {2 ^ {n}} \ hookrightarrow M_ {2 ^ {n + 1}}.}$

₀ Dlatego algebra CAR ma nadprzyrodzoną liczbę 2 ^∞ . Ta identyfikacja prowadzi również do wniosku, że jego grupą K są wymierne elementy diadyczne .