Algebry CCR i CAR

W matematyce i fizyce algebry CCR (po kanonicznych relacjach komutacji ) i algebry CAR (po kanonicznych relacjach antykomutacji) wywodzą się z badań mechaniki kwantowej odpowiednio bozonów i fermionów . Odgrywają znaczącą rolę w kwantowej mechanice statystycznej i kwantowej teorii pola .

CCR i CAR jako *-algebry

Niech $będzie$ rzeczywistą $)$ wektorową w nieosobliwą rzeczywistą antysymetryczną formę ( tj . wektorową Jednostkowa * -algebra generowana $zależne$ elementy od relacji

{\ Displaystyle fg-gf = i (f, g) \,}

{\ Displaystyle f ^ {*} = f, \,}

dla dowolnej algebry kanonicznych relacji komutacji (CCR) sol $displaystyle$ nazywany fa $f, ~ g}$ . Wyjątkowość reprezentacji tej algebry, gdy jest $skończona$ wymiarowo, jest omówiona w twierdzeniu Stone'a-von Neumanna

Jeśli zamiast tego jest wyposażony w niepojedynczą rzeczywistą symetryczną postać dwuliniową ${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ $, jednostka * -algebra$ przez elementy ${\ displaystyle V}$ podlegają stosunkom

{\ Displaystyle fg + gf = (f, g), \,}

{\ Displaystyle f ^ {*} = f, \,}

dla każdego $antykomutacyjnych$ się kanoniczną algebrą relacji (CAR $)$

C*-algebra CCR

Istnieje odrębne, ale blisko spokrewnione znaczenie algebry CCR, zwane algebrą CCR C*. Niech $będzie$ rzeczywistą symplektyczną przestrzenią wektorową z nieosobliwą formą symplektyczną $\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ . W teorii algebr operatorów algebra CCR nad $\ Displaystyle \ {W (f): ~ f \ w H\}}$ jednostkową algebrą C * generowaną przez elementy $H.$ z zastrzeżeniem

{\ Displaystyle W (f) W (g) = e ^ {- i (f, g)} W (f +g),\,}

{\ Displaystyle W (f) ^ {*} = W (-f). \,}

${\ Displaystyle W (0)$ aw szczególności implikują, że każdy jest jednostkowy i $=$ . Powszechnie wiadomo, że algebra CCR jest prostą algebrą nierozłączną i jest jednoznaczna aż do izomorfizmu.

Kiedy jest $przestrzenią$ i jest $urojoną$ część iloczynu wewnętrznego, algebra CCR na symetrycznym . przestrzeń nad ustawieniem ${\ displaystyle H}$

{\ Displaystyle W (f) \ lewo (1, g, {\ Frac {g ^ {\ otimes 2}} {2!}} {\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\oraz 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\oraz 3}}{3!}},\ldkropki \po prawej),}

dla dowolnego ${\ Displaystyle f, g \ in H}$ . Operatory $generatora$ ${\ Displaystyle (W (tf)) _ {t \ in \ mathbb {R}}}$ dla $jednoparametrowej$ jako grupy ) na symetrycznej przestrzeni Focka. Są to samosprzężone operatory nieograniczone , jednak formalnie spełniają

{\ Displaystyle B (f) B (g) -B (g) B (f) = 2i \ nazwa operatora {Im} \ langle f, g \ rangle.}

$CCR$ przypisanie $Im$ ${\ Displaystyle (H, 2 \ nazwa operatora {im} \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ operatory algebrę w sensie sekcji 1 .

C*-algebra CAR

Niech $będzie$ przestrzenią Hilberta W teorii algebr operatorów algebra CAR jest unikalnym C * -dopełnieniem złożonej jednostkowej * -algebry generowanej przez elementy ${\ Displaystyle \ {b (f} ),b^{*}(f):~f\in H\}}$ z zastrzeżeniem zależności

{\ Displaystyle b (f) b ^ {*} (g) + b ^ {*} (g) b (f) = \ langle f, g \ rangle, \,}

{\ Displaystyle b (f) b (g) + b (g ) b (f) = 0, \,}

{\ Displaystyle \ lambda b ^ {*} (f) = b ^ {*} (\ lambda f), \,}

{\ Displaystyle b (f) ^ {*} = b ^ {*} (f), \,}

dla dowolnego ${\ Displaystyle f, g \ w H}$ , ${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ . Kiedy ${\ Displaystyle {M_ {2 ^$ $rozdzielna,$ $∞$ CAR jest algebrą AF , aw szczególnym przypadku jest nieskończenie wymiarowa, często jest zapisywana jako .

Niech $nad$ antysymetryczną przestrzenią Focka i niech będzie ortogonalnym rzutem na wektory antysymetryczne: $Displaystyle F_ {a} (H)$ $\$

{\ Displaystyle P_ {a}: \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} H ^ {\ czasami n} \ do F_ {a} (H). \,}

Algebra CAR jest wiernie reprezentowana przez ustawienie ${\ Displaystyle F_ {a} (H)$

{\ Displaystyle b ^ {*} (f) P_ {a }(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{ N})\,}

fa $\ Displaystyle f, g_ {1}, \ ldots, g_ {n} \ w H}$ $n \ w \ mathbb {N}}$ N . Fakt, że tworzą one C*-algebrę, wynika z faktu, że operatory kreacji i anihilacji w antysymetrycznej przestrzeni Focka są operatorami ograniczonymi w dobrej wierze . Ponadto operatory pól spełniają ${\ Displaystyle B (f): = b ^ {*} (f) + b (f)}$

{\ Displaystyle B (f) B (g) + B (g) B (f) = 2 \ matematyczna {Re} \langle f,g\rangle ,\,}

podając związek z sekcją 1 .

Uogólnienie superalgebry

Niech $będzie$ rzeczywistą - stopniowaną przestrzenią wektorową wyposażoną w nieosobliwą antysymetryczną dwuliniową superformę $)}$ $V$ $\ cdot, \ cdot) V {\ displaystyle$ (tj. ${\ Displaystyle (g, f) = - (-1) ^ {| f || g|} ( f, g)}$ ) takie, że $f$ $, g)}$ $urojonym,$ rzeczywiste, jeśli albo jest elementem parzystym i jeśli oba są dziwne. Jednostkowa $zastrzeżeniem$ -algebra generowana przez elementy z relacji

{\ Displaystyle fg- (-1) ^ {| f || g |} gf = i (f, g) \,} fa

\ Displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}

dla dowolnych dwóch czystych elementów $, które jednoczy CCR$ jest oczywistym superalgebry z $: jeśli wszystkie czyste$ są parzyste, otrzymuje się CCR, a jeśli wszystkie czyste elementy są nieparzyste, otrzymujemy CAR.

W matematyce abstrakcyjna struktura algebr CCR i CAR, w dowolnej dziedzinie, nie tylko w liczbach zespolonych, jest badana pod nazwą algebr Weyla i Clifforda , gdzie uzyskano wiele znaczących wyników. Jednym z nich jest to, że stopniowane uogólnienia algebr Weyla i Clifforda pozwalają na bezpodstawowe sformułowanie kanonicznych relacji komutacji i antykomutacji w postaci symplektycznej i symetrycznej niezdegenerowanej postaci dwuliniowej. Ponadto elementy binarne w tej stopniowanej algebrze Weyla dają pozbawioną podstaw wersję relacji komutacji symplektycznych i nieokreślonych ortogonalnych algebr Liego .

Zobacz też

Bibliografia _ _ Robinson, Derek W. (1997). Algebry operatorów i kwantowa mechanika statystyczna: v.2 . Springera, wyd. ISBN 978-3-540-61443-2 .
^ Petz, Denes (1990). Zaproszenie do algebry kanonicznych relacji komutacyjnych . Wydawnictwo Uniwersytetu w Leuven. ISBN 978-90-6186-360-1 .
Bibliografia _ _ Kawahigashi, Yasuyuki (1998). Symetrie kwantowe w algebrach operatorów . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851175-5 . .
Bibliografia _ „Uwagi na temat klasycznej teorii niezmienników” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR 2001418 .

[1] Bibliografia _ _ Robinson, Derek W. (1997). Algebry operatorów i kwantowa mechanika statystyczna: v.2 . Springera, wyd. ISBN 978-3-540-61443-2 .

[2] Petz, Denes (1990). Zaproszenie do algebry kanonicznych relacji komutacyjnych . Wydawnictwo Uniwersytetu w Leuven. ISBN 978-90-6186-360-1 .

[3] Bibliografia _ _ Kawahigashi, Yasuyuki (1998). Symetrie kwantowe w algebrach operatorów . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851175-5 . .

[4] Bibliografia _ „Uwagi na temat klasycznej teorii niezmienników” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR 2001418 .