Transformacja Bogoliubowa

W fizyce teoretycznej transformacja Bogoliubowa , znana również jako transformacja Bogoliubowa-Valatina , została niezależnie opracowana w 1958 roku przez Nikolaya Bogolyubova i Johna George'a Valatina w celu znalezienia rozwiązań teorii BCS w systemie jednorodnym. Transformacja Bogoliubowa jest izomorfizmem albo kanonicznej algebry relacji komutacji , albo kanonicznej algebry relacji antykomutacji . Powoduje to autorównoważność odpowiednich reprezentacji. Transformacja Bogoliubowa jest często używana do diagonalizowania hamiltonianów , co daje stacjonarne rozwiązania odpowiedniego równania Schrödingera . Transformacja Bogoliubowa jest również ważna dla zrozumienia efektu Unruha , promieniowania Hawkinga , efektów parowania w fizyce jądrowej i wielu innych zagadnień.

Transformacja Bogoliubowa jest często używana do diagonalizacji hamiltonianów z odpowiednią transformacją funkcji stanu. Wartości własne operatora obliczone za pomocą diagonalizowanego hamiltonianu na przekształconej funkcji stanu są zatem takie same jak poprzednio.

Przykład trybu pojedynczego bozonu

Rozważ kanoniczną relację komutacji dla bozonowych operatorów kreacji i anihilacji w bazie harmonicznej

${\ Displaystyle \ lewo [{\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} \ prawej] = 1.}$

Zdefiniuj nową parę operatorów

${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} = u {\ kapelusz {a}} + v {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet},}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet} = u ^ {*} {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} + v ^ {* }{\ kapelusz {a}},}$

dla liczb zespolonych u i v , gdzie ta ostatnia jest sprzężeniem hermitowskim pierwszej.

Transformacja Bogoliubowa jest kanoniczną transformacją odwzorowującą operatory i $}} ^ {\ sztylet}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {a$ b $displaystyle { \ kapelusz {b}}}$ i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}}$ . Aby znaleźć warunki na stałych u i v takie, że transformacja jest kanoniczna, oceniany jest komutator, a mianowicie:

${\ Displaystyle \ lewo [{\ kapelusz {b}}, {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet} \ prawo] = \ lewo [u {\ kapelusz {a}} + v {\ kapelusz {a}} ^{\sztylet},u^{*}{\kapelusz {a}}^{\sztylet}+v^{*}{\kapelusz {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\right)\left[{\kapelusz {a}},{\kapelusz {a}}^{\sztylet}\right].}$

Jest więc oczywiste, że ${\ Displaystyle | u | ^ {2} - | v | ^ {2} = 1}$ jest warunkiem, dla którego transformacja jest kanoniczna.

Ponieważ forma tego warunku sugeruje tożsamość hiperboliczną

${\ Displaystyle \ cosh ^ {2} x- \ sinh ^ {2} x = 1,}$

stałe u i v można łatwo sparametryzować jako

${\ Displaystyle u = e ^ {i \ teta _ {1}} \ cosh r,}$

${\ Displaystyle v = e ^ {i \ theta _ {2}} \ sinh r.}$

Jest to interpretowane jako liniowa symplektyczna transformacja przestrzeni fazowej . Porównując z $}$ { \ displaystyle \ ${1}$$.$ ściskania odpowiada transformacji ukośnej

Aplikacje

Najbardziej znanym zastosowaniem jest sam Nikołaj Bogoliubow w kontekście nadciekłości . Inne zastosowania obejmują hamiltoniany i wzbudzenia w teorii antyferromagnetyzmu . Przy obliczaniu kwantowej teorii pola w zakrzywionych czasoprzestrzeniach możliwa jest zmiana definicji próżni i transformacja Bogoliubowa między tymi różnymi próżniami. Jest to wykorzystywane do wyprowadzenia promieniowania Hawkinga . Transformaty Bogoliubowa są również szeroko stosowane w optyce kwantowej, szczególnie podczas pracy z unitarnymi gaussowskimi (takimi jak rozdzielacze wiązki, przesuwniki fazowe i operacje ściskania).

Tryb fermionowy

O stosunki antykomutacyjne

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} \ prawo \} = 0, \ lewo\{{\kapelusz {a}},{\kapelusz {a}}^{\sztylet}\prawo\}=1,}$

transformacja Bogoliubowa jest ograniczona przez ${\ displaystyle uv = 0, | u | ^ {2} + | v | ^ {2} = 1}$ . Dlatego jedyną nietrywialną możliwością jest ${\ Displaystyle u = 0, | v | = 1,}$ odpowiadający wymianie cząstka-antycząstka (lub wymiana cząstka-dziura w układach wielociałowych) z możliwym włączeniem przesunięcia fazowego. Zatem dla pojedynczej cząstki transformację można zaimplementować tylko (1) dla fermionu Diraca , gdzie cząstka i antycząstka są różne (w przeciwieństwie do fermionu Majorany lub fermionu chiralnego ) lub (2) dla systemów multi-fermionowych, w w których występuje więcej niż jeden typ fermionu.

Aplikacje

Najwybitniejszym zastosowaniem jest ponownie sam Nikołaj Bogoliubow, tym razem dla teorii nadprzewodnictwa BCS . Punkt, w którym konieczność wykonania transformaty Bogoliubowa staje się oczywista, polega na tym, że w przybliżeniu średniego pola hamiltonian systemu można w obu przypadkach zapisać jako sumę dwuliniowych wyrazów w pierwotnych operatorach tworzenia i destrukcji, obejmujących skończone ${\ Displaystyle \ langle a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} \ rangle}$ , tj. trzeba wyjść poza zwykłą metodę Hartree-Focka . W szczególności w formalizmie hamiltonowskim Bogoliubova – de Gennesa w polu średnim z terminem parowania nadprzewodników, takim jak ${\ Displaystyle \ Delta a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} + {\ tekst {hc}}} Bogolubow przekształcił operatory b , b † {\ Displaystyle b,$ b $} } anihilują i tworzą kwazicząstki (każda z dobrze określoną energią, pędem i spinem, ale$${\ displaystyle u}$ kwantowej superpozycji stanu elektronu i dziury) i mają współczynniki określone przez wektory własne Bogoliubowa u i ${\ displaystyle v}$ – macierz de Genesa. Również w fizyce jądrowej metoda ta ma zastosowanie, ponieważ może opisywać „energię parowania” nukleonów w pierwiastku ciężkim.

Przykład wielomodowy

przestrzeń Hilberta jest wyposażona w te operatory i odtąd opisuje wielowymiarowy kwantowy oscylator harmoniczny (zwykle nieskończenie wymiarowy).

Stan podstawowy odpowiedniego hamiltonianu jest anihilowany przez wszystkie operatory anihilacji:

${\ Displaystyle \ forall i \ qquad a_ {i} | 0 \ rangle = 0.}$

Wszystkie stany wzbudzone są uzyskiwane jako liniowe kombinacje stanu podstawowego wzbudzonego przez niektóre operatory kreacji :

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {i_ {k}} ^ {\ sztylet} | 0 \ rangle.}$

Można przedefiniować operatory tworzenia i anihilacji poprzez liniową redefinicję:

${\ Displaystyle a'_ {i} = \ suma _ {j} (u_ {ij} a_ {j} + v_ {ij }a_{j}^{\sztylet}),}$

u ${\ displaystyle u_ {ij}, v_ {ij}} muszą spełniać$$i} ^ { \prime \dagger }}$ \ , określone równaniem sprzężonym hermitowskim , mają te same komutatory dla bozonów i antykomutatory dla fermionów.

Powyższe równanie definiuje transformację Bogoliubowa operatorów.

Stan podstawowy unicestwiony przez wszystkich $różni$ pierwotnego stanu ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ i można je postrzegać jako wzajemne przekształcenia Bogoliubowa przy użyciu korespondencji stanu operatora. Można je również zdefiniować jako ściśnięte stany koherentne . Funkcja falowa BCS jest przykładem ściśniętego spójnego stanu fermionów.

Zunifikowany opis macierzy

Ponieważ transformacje Bogoliubowa są liniową rekombinacją operatorów, wygodniejsze i bardziej wnikliwe jest zapisanie ich w kategoriach transformacji macierzowych. Jeśli para anihilatorów przekształci się jako ${\ Displaystyle (a, b)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa \\\ beta \ koniec {pmatrix}} = U {\ rozpocząć {pmatrix} a \\ b \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie $macierzą$$_$ _ _ Potem naturalnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa ^ {\ sztylet} \\\ beta ^ {\ sztylet} \ koniec {pmatrix}} = U ^ { *}{\begin{pmatrix}a^{\sztylet}\\b^{\sztylet}\end{pmatrix}}}$

W przypadku operatorów Fermion wymóg relacji komutacji odzwierciedla się w dwóch wymaganiach dotyczących postaci macierzy: ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {pmatrix} u & v \\ - v ^ {*} i u ^ {*} \ koniec {pmatrix}}}$

I

${\ Displaystyle | u | ^ {2} + | v | ^ {2} = 1}$

W przypadku operatorów bozonowych wymagane są relacje komutacyjne

${\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {pmatrix} u & v \\ v ^ {*} i u ^ {*} \ koniec {pmatrix}}}$

I

${\ Displaystyle | u | ^ {2} - | v | ^ {2} = 1}$

Warunki te można zapisać jednolicie jako

${\ Displaystyle U \ Gamma _ {\ pm} U ^ {\ sztylet} = \ Gamma _ {\ pm}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ pm} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i \ pm 1 \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie odnosi $bozonów$ odpowiednio do fermionów i

Diagonalizacja hamiltonianu kwadratowego za pomocą opisu macierzowego

Transformacja Bogoliubowa pozwala nam diagonizować kwadratowy hamiltonian

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ rozpocząć {pmatrix} a ^ {\ sztylet} i b ^ {\ sztylet} \ koniec {pmatrix}} H {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

po prostu diagonalizując macierz ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ pm} H}$ . $W$$.$ jest rozróżnienie operatora i macierzy Fakt ten można zobaczyć, przepisując na as . ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ alfa ^ {\ sztylet} i \ beta ^{\sztylet }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end {pmacierz}}}$

i ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ pm} U (\ Gamma _ {\ pm} H) U ^ {-1} = D}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${ \ Displaystyle U}$ przekątna ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ pm} H}$ , tj. ${\ Displaystyle U (\ Gamma _ {\ pm} H) U ^{-1}=\Gamma _{\pm}D}$ .

Przydatne właściwości transformacji Bogoliubowa wymieniono poniżej.

	Bozon	Fermion
Macierz transformacji	${\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {pmatrix} u & v \\ v ^ {*} i u ^ {*} \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {pmatrix} u & v \\ - v ^ {*} i u ^ {*} \ koniec {pmatrix}}}$
Macierz transformacji odwrotnej	${\ Displaystyle U ^ {- 1} = {\ rozpocząć {pmatrix} u ^ {*} i - v \\ - v ^ {*} i u \ koniec { pmatrix}}}$	${\ Displaystyle U ^ {- 1} = {\ początek {pmatrix} u ^ {*} i - v \\ v ^ {*} i u \ koniec {pmatrix} }}$
Gamma	${\ Displaystyle \ Gamma = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i -1 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ Gamma = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$
Diagonalizacja	${\ Displaystyle U (\ Gamma H) U ^ {- 1} = \ Gamma D}$	${\ Displaystyle UHU ^ {- 1} = D}$

Zobacz też

• Transformacja Holsteina-Primakowa
• Transformacja Jordana-Wignera
• Transformacja Jordana-Schwingera
• Transformacja Kleina

Dalsza lektura

Cały temat i wiele konkretnych zastosowań omówiono w następujących podręcznikach:

•   Blaizot, J.-P.; Ripka, G. (1985). Kwantowa teoria systemów skończonych . MIT Press. ISBN 0-262-02214-1 .
•   Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Kwantowa teoria systemów wielocząstkowych . Dover. ISBN 0-486-42827-3 .
•   Kittel, Ch. (1987). Kwantowa teoria ciał stałych . Wileya. ISBN 0-471-62412-8 .
•   Wagnera, M. (1986). Transformacje jednostkowe w fizyce ciała stałego . Nauka Elseviera. ISBN 0-444-86975-1 .