Transformacja Holsteina-Primakowa

Transformacja Holsteina-Primakowa ich w mechanice kwantowej jest odwzorowaniem operatorów spinowych z operatorów tworzenia bozonów i operatorów anihilacji , skutecznie obcinając nieskończenie wymiarową przestrzeń Focka do skończonych wymiarów podprzestrzeni .

Jednym z ważnych aspektów mechaniki kwantowej jest występowanie – ogólnie rzecz biorąc – operatorów niekomutujących , które reprezentują obserwowalne wielkości, które można zmierzyć. Standardowym przykładem zestawu takich operatorów są trzy składowe momentu pędu , które są kluczowe w wielu układach kwantowych. Operatory te są skomplikowane i chciałoby się znaleźć prostszą reprezentację, za pomocą której można wygenerować przybliżone schematy obliczeniowe.

Transformację opracowali w 1940 roku Theodore Holstein , ówczesny doktorant, i Henry Primakoff . Metoda ta znalazła szerokie zastosowanie i została rozszerzona w wielu różnych kierunkach.

Istnieje ścisły związek z innymi metodami mapowania bozonów algebr operatorów: w szczególności (niehermitowską) techniką Dysona -Maleeva oraz, w mniejszym stopniu, mapą Jordana-Schwingera . Istnieje ponadto ścisły związek z teorią (uogólnionych) stanów koherentnych w algebrach Liego .

Podstawowa technika

Podstawową ideę można zilustrować na podstawowym przykładzie operatorów spinowych mechaniki kwantowej.

Dla dowolnego zestawu prawoskrętnych osi ortogonalnych zdefiniuj składowe tego operatora wektorowego jako ${\ Displaystyle S_ {x}}$ , ${\ Displaystyle S_ {y}}$ i ${\ Displaystyle S_ {z}}$ , które są wzajemnie nieprzejezdne , tj. $S_ {z}}$ hbar permutacje.

Aby jednoznacznie określić stany spinu, można diagonalizować dowolny zbiór operatorów komutujących. Zwykle używa się operatorów SU (2) $,$ S z $displaystyle S_ {z}}$ co prowadzi do stanów o liczbach kwantowych ${\ Displaystyle \ lewo | s, m_ {s} \ prawo \ rangle}$ ,

{\ Displaystyle S ^ {2} \ lewo | s, m_ {s} \ prawo \ rangle = \ hbar ^ {2} s (s + 1) \ lewo | s, m_ {s} \ prawo\zakres ,}

{\ Displaystyle S_ {z} \ lewo | s, m_ {s} \ prawo \ rangle = \ hbar m_ {s} \ lewo | s, m_ {s} \ prawo \ rangle.}

$,$ projekcji przyjmuje wszystkie wartości $\ Displaystyle (-s, -s + 1, \ ldots ,s-1,s)}$ .

Rozważmy pojedynczą cząstkę o spinie $s$ (tj. spójrzmy na pojedynczą nieredukowalną reprezentację SU(2)). Weźmy teraz stan z maksymalną projekcją ${\ Displaystyle \ lewo | s, m_ {s} = + s \ prawo \ rangle}$ , ekstremalny stan ciężaru jako próżnia dla zbioru operatorów bozonowych i każdy kolejny stan z niższą projekcją liczba kwantowa jako wzbudzenie bozonowe poprzedniej,

{\ Displaystyle \ lewo | s, sn \ prawo \ rangle \ mapsto {\ Frac {1} {\ sqrt {n!}}} \ lewo (a ^ {\ sztylet} \ prawo) ^ {n} | 0 \ rangle _{B}~.}

Każdy dodatkowy bozon odpowiada wtedy zmniejszeniu o $ħ$ w projekcji spinowej. Zatem operatorzy podnoszenia i opuszczania wirowania ${\ Displaystyle S_ {+} = S_ {x} + iS_ {y}}$ i ${\ Displaystyle S_ { -}=S_{x}-iS_{y}}$ , więc ${\ displaystyle [S_ {+}, S_ {-}] = 2 \ hbar S_ {z}}$ odpowiadają (w sensie wyszczególnionym poniżej) odpowiednio bozonowym operatorom anihilacji i kreacji. Należy wybrać dokładne relacje między operatorami, aby zapewnić prawidłowe relacje komutacji dla operatorów spinowych, tak aby działały one w przestrzeni o skończonych wymiarach, w przeciwieństwie do oryginalnej przestrzeni Focka.

Wynikową transformację Holsteina-Primakowa można zapisać jako

${\ Displaystyle S_ {+} = \ hbar {\ sqrt {2s}}} {\ sqrt {1- {\ Frac {a ^ {\ sztylet} a} {2s}}}} \, a ~, \ qquad S_ { -}=\hbar {\sqrt {2s}}a^{\sztylet}\,{\sqrt {1-{\frac {a^{\sztylet}a}{2s}}}}~,\qquad S_{ z}=\hbar (sa^{\sztylet}a)~.}$

Transformacja jest szczególnie przydatna w przypadku, gdy $s$ jest duże, kiedy pierwiastki kwadratowe można rozwinąć jako szereg Taylora , aby uzyskać rozwinięcie w malejących potęgach $s$ .

Alternatywnie do rozwinięcia Taylora, ostatnio nastąpił postęp w postaci wznowienia szeregu, który umożliwił wyrażenia, które są wielomianowe w operatorach bozonowych, ale nadal są matematycznie dokładne (w podprzestrzeni fizycznej). Pierwsza metoda rozwija metodę wznowienia, która jest $pokazano$ , podczas druga wykorzystuje rozwinięcie szeregu Newtona (różnica skończona) z identycznym wynikiem, jak

${\ Displaystyle S_ {+} ^ {(1/2)} = \ hbar {\ sqrt {2s}} \ lewo [1+ \ lewo ({\ sqrt {1- {\ Frac {1} {2s}}} }-1\right)a^{\sztylet }a\right]a,\qquad S_{-}^{(1/2)}=(S_{+}^{(1/2)})^{\ sztylet },\qquad S_{z}^{(1/2)}=\hbar (sa^{\sztylet }a)~.}$

Chociaż powyższe wyrażenie nie jest dokładne dla spinów wyższych niż 1/2, jest to ulepszenie w stosunku do szeregu Taylora. $terminy$ obrotów i obejmują . $zatem$ wynik również dla wyrażeń wyższych spinów, wznowienie jest

Istnieje również niehermitowska realizacja wariantu Dysona – Malejewa J jest powiązana z powyższym i obowiązuje dla wszystkich spinów,

{\ Displaystyle J_ {+} = \ hbar \, a ~, \ qquad J_ {-} = S_ {-} ~ {\ sqrt {2s-a ^ {\ sztylet} a}} = \ hbar a ^ {\ sztylet }\,(2s-a^{\sztylet }a)~,\qquad J_{z}=S_{z}=\hbar (sa^{\sztylet }a)~,}

spełniające te same relacje komutacji i charakteryzujące się tym samym niezmiennikiem Casimira.

Technikę tę można dalej rozszerzyć na algebrę Witta , która jest bezśrodkową algebrą Virasoro .

Zobacz też