Mapa Jordanii

W fizyce teoretycznej mapa Jordana , często nazywana również mapą Jordana-Schwingera, jest mapą od macierzy $M ij$ do dwuliniowych wyrażeń oscylatorów kwantowych, która przyspiesza obliczenia reprezentacji algebr Liego występujących w fizyce. Został wprowadzony przez Pascuala Jordana w 1935 r . i wykorzystany przez Juliana Schwingera w 1952 r. do efektywnego przepracowania teorii kwantowego momentu pędu , biorąc pod uwagę łatwość tej mapy w organizowaniu (symetrycznych) reprezentacji su(2) w przestrzeni Focka .

Mapa wykorzystuje kilka $\ Displaystyle a_ {$ tworzenia i unicestwiania oraz rutynowych zastosowań w teoriach pola i za $}}$ i } ^ {\ sztylet problemy ciała , każda para reprezentuje kwantowy oscylator harmoniczny . Relacje komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji w systemie wielobozonowym to :

{\ Displaystyle [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\ sztylet}]

\ Displaystyle [a_ {i} ^ {\ sztylet}, a_ {j} ^ {\ sztylet}] = [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\,}] = 0, }

gdzie $\ Displaystyle [\ \, \ \$ $.$ jest komutatorem i jest deltą Kroneckera

Operatory te zmieniają wartości własne operatora liczbowego ,

{\ Displaystyle N = \ suma _ {i} n_ {i} = \ suma _ {i} a_ {i} ^ {\ sztylet} a_ {i} ^ {\,}}

,

o jeden, jak w przypadku wielowymiarowych kwantowych oscylatorów harmonicznych .

Mapa Jordanii ze zbioru macierzy $M ij$ do dwuliniowych operatorów przestrzeni Focka $M$ ,

Displaystyle {\ mathbf {M}} \ qquad \ longmapsto \ qquad M \ równoważnik \ suma _ {i, j} a_ {i} ^ { \sztylet }{\mathbf {M}}_{ij}a_{j}~,}

jest wyraźnie izomorfizmem algebry Liego , tj. operatory $M$ spełniają te same relacje komutacji, co macierze $M$ .

Przykład momentu pędu

Na przykład obraz macierzy Pauliego SU (2) na tej mapie,

{\ Displaystyle {\ vec {J}} \ equiv {\ mathbf {a}} ^ {\ sztylet} \ cdot {\ Frac {\ vec {\ sigma}}} 2}}\cdot {\mathbf {a}}~,}

dla dwuwektorów a ^† s i a s spełniają również te same relacje komutacji SU(2), a ponadto, polegając na relacji zupełności dla macierzy Pauliego ,

{\ Displaystyle J ^ {2} \ równoważnik {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {J}} = {\ Frac {N} {2}} \ lewo ({\ Frac {N} {2}} +1\w prawo).}

Jest to punkt wyjścia w podejściu Schwingera do teorii kwantowego momentu pędu, opartej na działaniu tych operatorów na stany Focka zbudowane z dowolnych wyższych potęg takich operatorów. Na przykład, działając na (nieznormalizowanym) stanie własnym Focka,

{\ Displaystyle J ^ {2} ~ a_ {1} ^ {\ sztylet k} a_ {2} ^ {\ sztylet n} | 0 \ rangle = {\ Frac {k + n} {2}} \ lewo ({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\sztylet k}a_{2}^{\sztylet n}|0\rangle ~,}

chwila

{\ Displaystyle J_ {z} ~ a_ {1} ^ {\ sztylet k} a_ {2} ^ {\ sztylet n} | 0 \ rangle = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (kn \ dobrze)a_{1}^{\sztylet k}a_{2}^{\sztylet n}|0\rangle ~,}

więc dla $j = (k+n)/2, m = (k-n)/2$ , jest to proporcjonalne do stanu własnego $| j, m ⟩$ ,

${\ Displaystyle | j, m \ rangle = {\ Frac {a_ {1} ^ {\ sztylet ~ k} a_ {2} ^ {\ sztylet ~ n}} {\ sqrt {k! ~ n!}}} | 0\rangle = {\frac {a_{1}^{\sztylet ~(j+m)}a_{2}^{\sztylet ~(jm)}}{\sqrt {(j+m)!~(jm )!}}}|0\szereg ~.}$

Obserwuj ${\ Displaystyle J_ {+} = a_ {1} ^ {\ sztylet} a_ {2}}$ i ${\ Displaystyle J_ {-} = a_ { 2} ^ {\ sztylet} a_ {1}}$ , jak również ${\ Displaystyle J_ {z} = (a_ {1} ^ {\ sztylet }a_{1}-a_{2}^{\sztylet }a_{2})/2}$ .

Fermiony

Antysymetryczne reprezentacje algebr Liego można dodatkowo dostosować za pomocą operatorów fermionowych ${\ Displaystyle b_ {i} ^ {\ sztylet}}$ i ${\ displaystyle b_ {i} ^ {\,}$ } zaproponowane przez Jordana. W przypadku fermionów komutator jest zastępowany przez antykomutator { $\ Displaystyle \ {\ \ , \ \ \}}$ ,

{\ Displaystyle \ {b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\ sztylet} \ }\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\sztylet}+b_{j}^{\sztylet}b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}

{\ Displaystyle \ {b_ {i} ^ {\ sztylet}, b_ {j} ^ {\ sztylet} \} = \ {b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\,} \}=0.}

Dlatego zamiana operatorów rozłącznych ( $iloczyn$ tworzenia operatorów anihilacji spowoduje odwrócenie znaku w systemach fermionowych, ale nie w systemach bozonowych Ten formalizm został użyty przez AA Abrikosova w teorii efektu Kondo do przedstawienia zlokalizowanego spinu-1/2 i jest nazywany fermionami Abrikosova w literaturze fizyki ciała stałego.

Zobacz też