Operator liczby cząstek

W mechanice kwantowej , w systemach, w których całkowita liczba cząstek może nie być zachowana, operatorem liczbowym jest obserwowalna liczba cząstek.

Operator liczbowy działa na przestrzeni Focka . Pozwalać

{\ Displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n} \rangle _{\nu }}

być stanem Focka , złożonym ze stanów pojedynczych cząstek ${\ Displaystyle |\ phi _ {i} \ rangle}$ narysowany na podstawie podstawowej przestrzeni Hilberta przestrzeni Focka. Biorąc pod uwagę odpowiednie operatory tworzenia i unicestwiania, za ${\ Displaystyle a ^ {\ sztylet} (\ phi _ {i})}$ $\ phi _ {i}) \ ,}$ ) definiujemy operator liczbowy przez

\ Displaystyle {\ kapelusz {N_ {i}}} \ {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}} \ a ^ { \sztylet }(\phi _{i})a(\phi _{i})}

i mamy

{\ Displaystyle {\ kapelusz {N_ {i}}} | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = N_ {i} | \ Psi \ rangle _ {\ nu}}

gdzie ${\ displaystyle N_ {i}}$ jest liczbą cząstek w stanie ${\ Displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}$ . Powyższą równość można udowodnić, zauważając to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} a (\ phi _ {i}) | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {i-1}, \ phi _ {i },\phi _{i+1},\cdots,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots,\phi _{n}\rangle _{\nu}\\a^{\sztylet} (\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots,\phi _ {n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots,\phi _{i-1}, \phi _{i},\phi _{i+1},\cdots,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{macierz}}}

Następnie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} {\ kapelusz {N_ {i}}} | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = a ^ {\ sztylet} (\ phi _ {i}) a (\ phi _ { i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots,\ phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\sztylet }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _ {2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt { N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots,\phi _{i-1},\phi _{i}, \phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{macierz} }}

Zobacz też

Bruus, Henryk; Flensberg, Karsten (2004). Teoria kwantowa wielu ciał w fizyce materii skondensowanej: wprowadzenie . Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6 .
Drugie nuty kwantyzacji autorstwa Fradkina