Druga kwantyzacja

Druga kwantyzacja , zwana także reprezentacją liczby okupacji , jest formalizmem używanym do opisu i analizy kwantowych układów wielociałowych . W kwantowej teorii pola znana jest jako kwantyzacja kanoniczna , w której pola (zwykle jako funkcje falowe materii) są traktowane jako operatory pola , w sposób podobny do tego, w jaki sposób wielkości fizyczne (położenie, pęd itp.) traktowane jako operatory w pierwszej kwantyzacji . Kluczowe idee tej metody zostały wprowadzone w 1927 roku przez Paula Diraca , a później rozwinęli je przede wszystkim Pascual Jordan i Vladimir Fock . W tym podejściu kwantowe stany wielociałowe są reprezentowane w stanów Focka , które są konstruowane przez wypełnienie każdego stanu pojedynczej cząstki pewną liczbą identycznych cząstek. Drugi formalizm kwantyzacji wprowadza operatory kreacji i anihilacji do konstruowania i obsługi stanów Focka, dostarczając użytecznych narzędzi do badania kwantowej teorii wielu ciał.

Kwantowe stany wielociałowe

Punktem wyjścia drugiego formalizmu kwantyzacji jest pojęcie nieodróżnialności cząstek w mechanice kwantowej. W przeciwieństwie do mechaniki klasycznej, gdzie każda cząstka jest oznaczona odrębnym wektorem położenia i różnymi konfiguracjami zbioru $mathbf$${r} _ {i$ s odpowiadają różnym stanom wielociałowym, w mechanice kwantowej cząstki są identyczne, tak że wymiana dwóch cząstek, tj. ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ leftrightarrow \ mathbf {r} _ {j}}$ nie prowadzi do innego wielociałowego stanu kwantowego . Oznacza to, że kwantowa funkcja falowa wielu ciał musi być niezmienna (do współczynnika fazy) przy wymianie dwóch cząstek. Zgodnie ze statystykami cząstek, funkcja falowa wielu ciał może być albo symetryczna, albo antysymetryczna przy wymianie cząstek:

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _{i},\cdots,\mathbf {r} _{j},\cdots)=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots,\mathbf {r} _{j} ,\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$ jeśli cząstki są bozonami ,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots \ mathbf {r } _{i},\cdots,\mathbf {r} _{j},\cdots)=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$ jeśli cząstki są fermionami .

Ta właściwość symetrii wymiany nakłada ograniczenie na funkcję falową wielu ciał. Za każdym razem, gdy cząstka jest dodawana lub usuwana z układu wielu ciał, funkcja falowa musi być odpowiednio symetryzowana lub antysymetryzowana, aby spełnić ograniczenie symetrii. W pierwszym formalizmie kwantyzacji to ograniczenie jest gwarantowane przez przedstawienie funkcji falowej jako liniowej kombinacji stałych ( dla bozonów) lub wyznaczników (dla fermionów) stanów jednocząsteczkowych. W drugim formalizmie kwantyzacji kwestią symetryzacji zajmują się automatycznie operatory kreacji i anihilacji, dzięki czemu jej zapis może być znacznie prostszy.

Pierwsza skwantowana funkcja falowa wielu ciał

$indeksem$ pełny zestaw funkcji falowych pojedynczej $przez$ ( połączonym szereg liczb kwantowych). Następująca funkcja falowa

${\ Displaystyle \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = \ prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

reprezentuje stan N -cząstki z i -tą cząstką zajmującą stan pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle | {\ alfa _ {i}} \ rangle}$ . W zapisie skróconym można pominąć argument położenia funkcji falowej i założyć, że i- ta funkcja falowa pojedynczej cząstki opisuje stan i- tej cząstki. Funkcja falowa ${\ Displaystyle \ Psi}$ nie została zsymetryzowana ani antysymetryzowana, a zatem generalnie nie kwalifikuje się jako funkcja falowa wielu ciał dla identycznych cząstek. Można $go jednak doprowadzić do postaci symetrycznej$ antysymetrycznej) za pomocą operatorów $symetryzatora$ i dla antysymetryzatora .

W przypadku bozonów funkcja falowa wielu ciał musi być symetryczna,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {S}} \ psi [\ mathbf {r} _ {i }]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}} (\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\oraz \ psi _ {\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

podczas gdy dla fermionów funkcja falowa wielu ciał musi być antysymetryczna,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {A}} \ psi [\ mathbf {r} _ {i }]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi} \psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N )}}.}$

Tutaj $jest$ elementem w grupie permutacji N $i$ (lub $)$ symetrycznej , który wykonuje permutację etykietami stanu ${\ displaystyle \ alpha _$ { $_$ } i oznacza ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ jest operatorem normalizacji, który normalizuje funkcję falową. (To operator stosuje odpowiedni numeryczny współczynnik normalizacji do symetrycznych tensorów stopnia n ; jego wartość znajduje się w następnej sekcji).

${\ Displaystyle U_ {ij} = \ psi _ {\ alfa _ {j}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ równoważnik \ langle \ mathbf {r} _ {i} |\ alfa _ {j}\rangle }$ falowe pojedynczej cząstki w macierzy $, tak że$ element macierzy wiersza i kolumny j to , to wielociałową funkcję falową bozonu można po prostu zapisać jako permanent ${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {perm} U}$ i fermionowa funkcja fali wielu ciał jako wyznacznik ${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} = {\ mathcal {N}} \ det U}$ (znany również jako wyznacznik Slatera ).

Drugie skwantowane stany Focka

Pierwsze skwantowane funkcje falowe obejmują skomplikowane procedury symetryzacji do opisu fizycznie osiągalnych stanów wielu ciał, ponieważ język pierwszej kwantyzacji jest zbędny dla nierozróżnialnych cząstek. W pierwszym języku kwantyzacji stan wielu ciał opisuje się, odpowiadając na serię pytań, takich jak „Która cząstka jest w jakim stanie?” . Nie są to jednak pytania fizyczne, ponieważ cząstki są identyczne i nie można w ogóle stwierdzić, która cząstka jest która. Pozornie różne stany ${\ Displaystyle \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ psi _ {2} \ otimes \ psi _ {1}}$ są w rzeczywistości zbędnymi nazwami tego samego kwantowego stan wielu ciał. Dlatego należy wprowadzić symetryzację (lub antysymetryzację), aby wyeliminować tę redundancję w pierwszym opisie kwantyzacji.

W drugim języku kwantyzacji, zamiast pytać „każda cząstka w jakim stanie”, pyta się „Ile cząstek jest w każdym stanie?” . Ponieważ opis ten nie odnosi się do etykietowania cząstek, nie zawiera zbędnych informacji, a tym samym prowadzi do precyzyjnego i prostszego opisu kwantowego stanu wielu ciał. W tym podejściu stan wielociałowy jest reprezentowany w bazie liczby zawodów, a stan bazowy jest oznaczony zbiorem liczb zawodów, oznaczonych

${\ Displaystyle | [n_ {\ alfa}] \ ranga \ równoważnik | n_ {1}, n_ {2}, \ cdots, n_ {\ alfa}, \ cdots \rangle ,}$

​​w stanie pojedynczej cząstki znajdują się cząstki ${\ displaystyle n _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle |\ alpha \ rangle}$ (lub jako ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa}})$ . Liczby zajętości sumują się do całkowitej liczby cząstek, tj. ${\ textstyle \ suma _ {\ alfa} n_ {\ alfa} = N}$ . W przypadku fermionów numer zawodu ${\ displaystyle n _ {\ alfa}}$ może wynosić tylko 0 lub 1, ze względu na zasadę wykluczenia Pauliego ; podczas gdy dla bozonów może to być dowolna nieujemna liczba całkowita

${\ Displaystyle n _ {\ alfa} = {\ rozpocząć {przypadki} 0,1 i {\ tekst {fermiony}} \\ 0,1,2,3, ... i {\ tekst {bozony.}} \ koniec {sprawy}}}$

Numer zawodu stanowi ${\ Displaystyle | [n _ {\ alfa}] \ rangle}$ są również znane jako stany Focka. Wszystkie stany Focka tworzą kompletną podstawę wielociałowej przestrzeni Hilberta lub przestrzeni Focka . Każdy ogólny kwantowy stan wielu ciał można wyrazić jako liniową kombinację stanów Focka.

Zauważ, że oprócz zapewnienia bardziej wydajnego języka, przestrzeń Focka pozwala na zmienną liczbę cząstek. Jako przestrzeń Hilberta jest izomorficzna z sumą n -cząstkowych przestrzeni tensorowych bozonowych lub fermionowych opisanych w poprzedniej sekcji, w tym jednowymiarowej przestrzeni cząstek zerowych C .

Stan Focka, w którym wszystkie liczby zajętości są równe zeru, nazywany jest stanem próżni , oznaczanym ${\ Displaystyle | 0 \ rangle \ równoważnik | \ cdots, 0 _ {\ alfa}, \ cdots \ rangle}$ . Stan Focka z tylko jedną niezerową liczbą zajętości jest jednomodowym stanem Focka, oznaczonym ${\ Displaystyle | n _ {\ alfa} \ rangle \ równoważnik | \ cdots, 0, n _ {\ alfa}, 0, \ cdots \ rangle}$ . Jeśli chodzi o pierwszą skwantyzowaną funkcję falową, stan próżni jest iloczynem tensora jednostkowego i można go oznaczyć ${\ Displaystyle | 0 \ rangle = 1}$ . Stan pojedynczej cząstki jest zredukowany do funkcji falowej ${\ Displaystyle | 1 _ {\ alfa} \ rangle = \ psi _ {\ alfa}}$ . Inne jednomodowe stany wielu ciał ( bozonów ) są po prostu iloczynem tensorowym funkcji falowej tego modu, na przykład ${\ Displaystyle | 2_ {\ alfa} \ rangle = \ psi _ {\ alfa} \ czasami \ psi _ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle | n _ {\ alfa} \ rangle = \ psi _ {\ alfa} ^ {\ czasami n}}$ . Dla wielomodowych stanów Focka (co oznacza więcej niż jeden stan pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle |\ alpha \ rangle}$ jest zaangażowany), odpowiednia pierwsza skwantowana funkcja falowa będzie wymagała odpowiedniej symetryzacji zgodnie ze statystyką cząstek, np. ${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ dla stanu bozonowego i $/ {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}$ ) dla stanu fermionowego (symbol $\ Displaystyle$$\ psi _ {1}}$ a ${\ Displaystyle \ psi _ { 2}}$ jest pominięte dla uproszczenia). Ogólnie rzecz biorąc, normalizacja wynosi ${\textstyle {\sqrt {{\prod _{\alpha}n_{\alpha}!}/{N!}}}}$ , gdzie N to całkowita liczba cząstek. Dla fermionu wyrażenie to sprowadza się do ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {N!}}}$ jak ${\ displaystyle n_ {\ alfa}}$ może wynosić tylko zero lub jeden. Tak więc odczytuje się pierwszą skwantyzowaną funkcję falową odpowiadającą stanowi Focka

${\ Displaystyle | [n_ {\ alfa}] \ rangle _ {\ rm {B}} = \ left({\frac {\prod _{\alpha}n_{\alpha}!}{N!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha} \psi _ {\alfa}^{\oraz n_{\alfa}}}$

dla bozonów i

${\ Displaystyle | [n_ {\ alfa}] \ rangle _ {\ rm {F}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ mathcal {A }}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha}^{\otimes n_{\alpha }}}$

dla fermionów. Zauważ, że $iloczyn tensorowy powyżej jest$ dla fermionów stanów pojedynczych cząstek.

Operatory kreacji i anihilacji

tworzenia i anihilacji są wprowadzane w celu dodania lub usunięcia cząstki z układu wielu ciał. Operatory te leżą u podstaw drugiego formalizmu kwantyzacji, wypełniając lukę między pierwszym a drugim skwantowanym stanem. Zastosowanie operatora kreacji (anihilacji) do pierwszej skwantowanej funkcji falowej wielu ciał spowoduje wstawienie (usunięcie) stanu pojedynczej cząstki z funkcji falowej w sposób symetryczny, w zależności od statystyki cząstek. Z drugiej strony, wszystkie drugie skwantowane stany Focka można skonstruować przez wielokrotne stosowanie operatorów kreacji do stanu próżni.

Operatory tworzenia i anihilacji (dla bozonów) są pierwotnie konstruowane w kontekście kwantowego oscylatora harmonicznego jako operatory podnoszenia i opuszczania, które następnie są uogólniane na operatory pola w kwantowej teorii pola. Są fundamentalne dla kwantowej teorii wielu ciał w tym sensie, że każdy operator wielu ciał (w tym hamiltonian układu wielu ciał i wszystkie obserwable fizyczne) można wyrazić za ich pomocą.

Operacja wstawiania i usuwania

Tworzenie i anihilacja cząstki jest realizowana przez wstawianie i usuwanie stanu pojedynczej cząstki z pierwszej skwantowanej funkcji falowej w sposób symetryczny lub antysymetryczny. Niech $jednocząsteczkowym ,$ 1 będzie tożsamością tensorową (jest generatorem przestrzeni cząstek zerowych C i spełnia ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ równoważnik 1 \ otimes \ psi _ {\ alfa} \ równoważnik \ psi _ {\ alfa} \ otimes 1}$ w algebrze tensorowej nad podstawową przestrzenią Hilberta) i niech ${\ Displaystyle \ Psi = \ psi _ {\ alfa _ {1}} \ czasami \ psi _ {\ alfa _ {2}} \ czasami \ cdots} być$ ogólnym stanem iloczynu tensorowego . Wstawienie i usunięcie ${\ Displaystyle \ otimes _ {\ pm}}$ i usunięcie ${\ Displaystyle \ oslash _ {\ pm}}$ operatory są operatorami liniowymi zdefiniowanymi przez następujące równania rekurencyjne

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {\ pm} 1 = \ psi _ {\ alfa}, \ quad \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{ \pm }\Psi );}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ oslash _ {\ pm} 1 = 0, \ quad \ psi _ {\ alfa} \ oslash _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ czasami \ psi) =\delta _{\alpha \beta}\Psi \pm \psi _{\beta}\otimes (\psi _{\alpha}\oslash _{\pm}\Psi).}$

Tutaj $delty$ symbolem , który daje 1, jeśli ${\ Displaystyle \ alpha = \ beta}}$Kronecker delta, and 0 otherwise. The subscript $\pm$ of the insertion or deletion operators indicates whether symmetrization (for bosons) or anti-symmetrization (for fermions) is implemented.

Operatory tworzenia i anihilacji bozonu

Operator tworzenia bozonu (odpowiednio anihilacji) jest zwykle oznaczany jako ${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}}$ (odp. ${\ Displaystyle b_ {\ alfa}})$ . Operator kreacji ${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}}$ dodaje bozon do stanu pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle |\ alfa \ rangle}$ , a operator anihilacji ${\ Displaystyle b _ {\ alfa}}$ usuwa bozon ze stanu pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle | \ alfa \ rangle}$ . Operatory tworzenia i anihilacji są ze sobą sprzężone hermitowsko, ale żaden z nich nie jest operatorem hermitowskim ( ${\ Displaystyle b _ {\ alfa} \ neq b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}} )$ .

Definicja

Operator tworzenia (anihilacji) bozonu jest operatorem liniowym, którego działanie na pierwszą skwantowaną funkcję falową N -cząstki jest zdefiniowane jako ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} \ Psi = {\ Frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {+} \ Psi,}$

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} \ Psi = {\ Frac {1} {\ sqrt {N}} }\psi _{\alpha}\oslash _{+}\Psi,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {+}}$ wstawia stan pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa}}$ w ${\ Displaystyle N + 1}$$}$ pozycje wstawiania symetrycznie i usuwa stan pojedynczej cząstki z ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ oslash _ {+$ możliwe pozycje usuwania symetrycznie.

Przykłady (kliknij pokaż , aby zobaczyć)

$uproszczenia$ pominięto symbol tensora Weź stan ${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}}$ , stwórz jeszcze jeden bozon w stanie ${\ Displaystyle \ psi _ {1}}$ ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rl} b_ {1} ^ {\ sztylet} | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = & {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} ( b_{1}^{\sztylet}\psi_{1}\psi_{2}+b_{1}^{\sztylet}\psi_{2}\psi_{1})\\=&{\ frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _ {2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{ \frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+ \psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3 }}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi_{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\ psi _{2}+\psi_{1}\psi_{2}\psi_{1}+\psi_{2}\psi_{1}\psi_{1})\\=&{\ sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{tablica}}}$

Następnie unicestwić jeden bozon ze stanu ${\ Displaystyle \ psi _ {1}}$ ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rl} b_ {1} | 2_ {1}, 1_ {2} \ rangle = & {\ Frac {1} {\ sqrt {3}}} (b_ {1} \ psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2 }\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\ psi _{1}\oslash _{+}\psi_{1}\psi_{1}\psi_{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1} \oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+ }\psi _{2}\psi _{1}\psi_{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{ \sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}} }(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi_{1}+\psi_{2}\psi_{1})\right)\\=&\psi_{1}\psi_{2}+\psi_{2} \psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{tablica}}}$

Działanie na stanach Focka

Począwszy od jednomodowego stanu próżni ${\ Displaystyle | 0 _ {\ alfa} \ rangle = 1}$ , wielokrotnie stosując operator tworzenia ${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}}$ wielokrotnie, można znaleźć

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} | 0 _ {\ alfa} \ rangle = \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {+} 1 = \ psi _ {\ alfa} = | 1_ {\alpha}\rangle,}$

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} | n _ {\ alfa} \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {n_ {\ alfa} +1}}} \ psi _ {\ alfa} \ otimes _{+}\psi _{\alpha}^{\otimes n_{\alpha}}={\sqrt {n_{\alpha}+1}}\psi _{\alpha}^{\otimes (n_{ \alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha}+1}}|n_{\alpha}+1\rangle .}$

Operator kreacji podnosi liczbę zajętości bozonu o 1. Dlatego wszystkie stany zajętości bozonu mogą być skonstruowane przez operatora kreacji bozonu ze stanu próżni

${\ Displaystyle | n _ {\ alfa} \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {n_ {\ alfa}!}}} (b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}) ^ {n_ {\ alfa} }|0_{\alpha}\rangle.}$

Z drugiej strony operator anihilacji obniża liczbę zajęcia bozonu o 1 ${\ displaystyle b _ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} | n_ {\ alfa} \ rangle = {\ Frac {1} {1} {\ sqrt {n_ {\ alfa}}}} \ psi _ {\ alfa} \ oslash _ {+} \ psi _{\alpha}^{\otimes n_{\alpha}}={\sqrt {n_{\alpha}}}\psi _{\alpha}^{\otimes (n_{\alpha}-1)}={ \sqrt {n_{\alfa}}}|n_{\alfa}-1\rangle .}$

Zgasi również stan próżni $ponieważ w stanie$ nie pozostał żaden bozon do Korzystając z powyższych wzorów, można to pokazać

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} b _ {\ alfa} | n_ {\ alfa} \ rangle = n_ {\ alfa} | n_ {\ alfa} \ rangle,}$

co oznacza, że ${\ Displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alfa} = b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} b_ {\ alfa}} definiuje operatora liczby bozonów$ .

Powyższy wynik można uogólnić na dowolny stan Focka bozonów.

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} | \ cdots, n_ {\ beta}, n _ {\ alfa}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n_ {\ alfa} + 1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\ Displaystyle b _ {\ alfa} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alfa}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n_ {\ alfa}}} | \ cdots, n_{\beta},n_{\alpha}-1,n_{\gamma},\cdots \rangle .}$

Te dwa równania można uznać za definiujące właściwości operatorów tworzenia i anihilacji bozonu w formalizmie drugiej kwantyzacji. Skomplikowana symetryzacja leżącej u podstaw pierwszej skwantowanej funkcji falowej jest automatycznie obsługiwana przez operatory kreacji i anihilacji (podczas działania na pierwszej skwantowanej funkcji falowej), tak że złożoność nie jest ujawniana na drugim skwantowanym poziomie, a wzory drugiej kwantyzacji są proste i schludne.

Tożsamości operatorów

Następujące tożsamości operatorów wynikają z działania operatorów tworzenia i anihilacji bozonu na stanie Focka,

${\ Displaystyle [b_ {\ alfa} ^ {\ sztylet}, b_ {\ beta} ^ {\ sztylet}] = [b_ {\ alfa}, b_ {\ beta}] = 0, \ quad [b_ {\ alfa },b_{\beta}^{\sztylet}]=\delta _{\alpha \beta}.}$

Te relacje komutacji można uznać za algebraiczną definicję operatorów tworzenia i anihilacji bozonu. Fakt, że wielociałowa funkcja falowa bozonu jest symetryczna przy wymianie cząstek, przejawia się również w komutacji operatorów bozonu.

Operatory podnoszące i obniżające kwantowego oscylatora harmonicznego również spełniają ten sam zestaw relacji komutacji, co oznacza, że ​​bozony można interpretować jako kwanty energii (fonony) oscylatora. Operatory położenia i pędu oscylatora harmonicznego (lub zbioru modów oscylacji harmonicznych) są podane przez hermitowskie kombinacje operatorów tworzenia i anihilacji fononów,

${\ Displaystyle x_ {\ alfa} = (b_ {\ alfa} + b_ {\ alfa }^{\sztylet})/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha}-b_{\alpha}^{\sztylet})/({\sqrt {2 }}\mathrm {i} ),}$

$)$ kanoniczną relację komutacji między operatorami pozycji i (

${\ Displaystyle [x_ {\ alfa}, p_ {\ beta}] = \ operatorname {i} \delta _{\alfa \beta},\quad [x_{\alfa},x_{\beta}]=[p_{\alfa},p_{\beta}]=0.}$

Idea ta jest uogólniona w kwantowej teorii pola , która traktuje każdy mod pola materii jako oscylator podlegający fluktuacjom kwantowym, a bozony traktuje jako wzbudzenia (lub kwanty energii) pola.

Operatory tworzenia i anihilacji fermionów

Operator tworzenia (anihilacji $($ jest $)$ jako Operator tworzenia $dodaje$${\ Displaystyle |\ alfa \ rangle}$ stanu pojedynczej , a operator anihilacji ${\ Displaystyle c_ {\ alfa}}$ usuwa fermion ze stanu pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle | \ alfa \ rangle}$ .

Definicja

Operator tworzenia (anihilacji) fermionu jest operatorem liniowym, którego działanie na pierwszą skwantowaną funkcję falową N -cząstki jest zdefiniowane jako ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} \ Psi = {\ Frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {-} \ psi,}$

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} \ psi = {\ Frac {1} {\ sqrt {N}} }\psi _{\alpha}\oslash _{-}\Psi,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {-}}$ wstawia stan pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa}}$ w ${\ Displaystyle N + 1}$$}$ wstawiania antysymetrycznie i usuwa stan pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} \ oslash _ {-}$ od ${\ displaystyle N}$ możliwe pozycje delecji antysymetryczne.

Szczególnie pouczające jest przyjrzenie się wynikom operatorów kreacji i anihilacji na stanach dwóch (lub więcej) fermionów, ponieważ pokazują one skutki wymiany. W poniższym przykładzie podano kilka ilustrujących operacji. Pełną algebrę operatorów kreacji i anihilacji w stanie dwóch fermionów można znaleźć w Quantum Photonics .

Przykłady (kliknij pokaż , aby zobaczyć)

$uproszczenia$ pominięto symbol tensora Weź stan ${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}}$ , spróbuj utworzyć jeszcze jeden fermion na zajętym ${\ Displaystyle \ psi _ {1}}$ stan wygasi całą funkcję falową wielu ciał,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rl} c_ {1} ^ {\ sztylet} | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = & {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} ( c_{1}^{\sztylet}\psi_{1}\psi_{2}-c_{1}^{\sztylet}\psi_{2}\psi_{1})\\=&{\ frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _ {2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{ \frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}- \psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3 }}}(\psi _{1}\psi_{2}\psi_{1}-\psi_{2}\psi_{1}\psi_{1}+\psi_{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{tablica}}}$

Zniszcz fermion w $|$${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \psi _{2}\psi_{1})/{\sqrt {2}}}$ stan ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rl} c_ {2} | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = & {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (c_ {2} \ psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi_{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left( {\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2 }}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi_{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left ({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0) \right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

Znak minus (znany jako znak fermionu) pojawia się z powodu antysymetrycznej właściwości funkcji falowej fermionu.

Działanie na stanach Focka

Począwszy od jednomodowego stanu próżni ${\ Displaystyle | 0 _ {\ alfa} \ rangle = 1}$ , stosując operator tworzenia fermionu ${\ Displaystyle c _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}}$ ,

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} | 0 _ {\ alfa} \ rangle = \ psi _ {\ alfa} \ otimes _ {-} 1 = \ psi _ {\ alfa} = | 1_ {\alpha}\rangle,}$

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} | 1 _ {\ alfa} \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ psi _ {\ alfa} \ czasami _ {-} \ psi _ {\alfa}=0.}$

Jeśli stan jednocząsteczkowy ${\ displaystyle |\ alpha \ rangle}$ jest pusty, operator tworzenia wypełni stan fermionem. Jeśli jednak stan jest już zajęty przez fermion, dalsze zastosowanie operatora kreacji ugasi ten stan, demonstrując zasadę wykluczenia Pauliego , zgodnie z którą dwa identyczne fermiony nie mogą jednocześnie zajmować tego samego stanu. Niemniej jednak fermion można usunąć ze stanu zajętego przez operatora anihilacji fermionu ${\ displaystyle c_ {\ alfa}}$ ,

${\ Displaystyle c_ {\ alfa} | 1 _ {\ alfa} \ rangle = \ psi _ {\ alfa} \ oslash _ {-} \ psi _ {\ alfa} = 1 = | 0 _ {\ alfa} \ zakres ,}$

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} | 0 _ {\ alfa} \ rangle = 0.}$

Stan próżni jest wygaszany przez działanie operatora anihilacji.

Podobnie jak w przypadku bozonu, stan fermionu Focka można skonstruować ze stanu próżni za pomocą operatora tworzenia fermionu

${\ Displaystyle | n_ {\ alfa} \ rangle = (c_ {\ alfa} ^ {\ sztylet}) ^ {n_ {\ alfa}} | 0 _ {\ alfa} \ rangle.}$

Łatwo to sprawdzić (poprzez wyliczenie).

${\ Displaystyle c_ {\ alfa} ^ {\ sztylet} c_ {\ alfa} | n_ {\ alfa} \ rangle = n_ {\ alfa} | n_ {\ alfa} \ rangle,}$

co oznacza, że ${\ Displaystyle {\ kapelusz {n}} _ {\ alfa} = c _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} c_ {\ alfa}} definiuje operatora liczby fermionowej$ .

Powyższy wynik można uogólnić na dowolny stan Focka fermionów.

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} | \ cdots, n_ {\ beta}, n _ {\ alfa}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (-1) ^ {\ suma _ { \beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha}}}|\cdots,n_{\beta},1+n_{\alpha},n_{\gamma},\ cdots \rangle .}$

${\ Displaystyle c _ {\ alfa} | \ cdots, n_ {\ beta}, n_ {\ alfa}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (-1) ^ {\ suma _ {\ beta <\ alfa }n_{\beta}}{\sqrt {n_{\alpha}}}|\cdots,n_{\beta},1-n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots \rangle.}$

$, że$ zawodu może przyjmować 0 lub 1 dla fermionów. Te dwa równania można uznać za definiujące właściwości operatorów tworzenia i anihilacji fermionów w drugim formalizmie kwantyzacji. Zauważ, że struktura znaku fermionu ${\ Displaystyle (-1) ^ {\ suma _ {\ beta <\ alfa} n_ {\ beta}}}$ , znana również jako Jordan-Wigner strunowy , wymaga istnienia z góry określonego uporządkowania stanów pojedynczej cząstki ( struktura spinowa ) i obejmuje zliczanie liczby zajętości fermionów we wszystkich poprzednich stanach; dlatego operatory tworzenia i anihilacji fermionów są w pewnym sensie uważane za nielokalne. Ta obserwacja prowadzi do wniosku, że fermiony są cząstkami wyłaniającymi się w splątanym lokalnym kubitów dalekiego zasięgu .

Tożsamości operatorów

Następujące tożsamości operatorów wynikają z działania operatorów tworzenia i anihilacji fermionów na stanie Focka,

${\ Displaystyle \ {c_ {\ alfa} ^ {\ sztylet}, c_ {\ beta} ^ {\ sztylet} \} = \ {c_ {\ alfa}, c_ {\ beta} \} = 0, \ quad \ {c_{\alfa},c_{\beta}^{\sztylet}\}=\delta _{\alfa \beta}.}$

Te relacje antykomutacyjne można uznać za algebraiczną definicję operatorów tworzenia i anihilacji fermionów. Fakt, że fermionowa funkcja falowa wielu ciał jest antysymetryczna przy wymianie cząstek, przejawia się również w antykomutacji operatorów fermionowych.

Operatory tworzenia i anihilacji są ze sobą sprzężone hermitowsko, ale żaden z nich nie jest operatorem hermitowskim ( ${\ Displaystyle c _ {\ alfa} \ neq c_ {\ alfa} ^ {\ sztylet}} )$ . Hermitowska kombinacja operatorów tworzenia i anihilacji fermionów

${\ Displaystyle \ chi _ {\ alfa, {\ tekst {Re }}}=(c_{\alpha}+c_{\alpha}^{\sztylet})/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=( c_ {\alpha}-c_{\alpha}^{\sztylet})/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

nazywane są operatorami fermionowymi Majorany . Można je postrzegać jako fermionowy analog operatorów położenia i pędu „fermionowego” oscylatora harmonicznego. Spełniają one relację antykomutacyjną

${\ Displaystyle \ {\ chi _ {i}, \ chi _ {j} \} = \ delta _ {ij},}$

gdzie ${\ displaystyle i, j}$ oznacza wszystkie operatory fermionów Majorany na równych prawach (niezależnie od ich pochodzenia z kombinacji Re lub Im złożonych operatorów fermionów ${\ displaystyle c_ {\ alfa}})$ . Relacja antykomutacyjna wskazuje, że operatory fermionów Majorany generują algebrę Clifforda , którą można systematycznie przedstawić jako operatory Pauliego w wielociałowej przestrzeni Hilberta.

Operatorzy pól kwantowych

Definiowanie jako ogólnego operatora anihilacji ( ${ \ Displaystyle (c _ {\ nu} ^ {\ sztylet})}$$)$$stanu$ pojedynczej cząstki, być albo fermionowy lub bozonowy ${\ Displaystyle (b _ {\ nu} ^ {\ sztylet})}$ , reprezentacja operatorów w rzeczywistej przestrzeni definiuje pole kwantowe operatorzy ${\ Displaystyle \ Psi$$})}$ i przez

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ suma _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} \ lewo (\ mathbf {r} \ dobrze) a _ {\ nu}}$

${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ sztylet} (\ mathbf {r}) = \ suma _ {\ nu} \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\sztylet }}$

Są to drugie operatory kwantyzacji ze współczynnikami ${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} \ lewo (\ mathbf {r} \ prawej)}$ i ${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ które są zwykłymi funkcjami falowymi pierwszej kwantyzacji . Zatem na przykład wszelkie wartości oczekiwane będą zwykłymi funkcjami falowymi pierwszej kwantyzacji. Mówiąc luźno, ${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ sztylet} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} \ lewo (\ mathbf {r} \$ r prawej ) , niekoniecznie fal płaskich, jak poniżej.

Ψ ${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r})}$ i są drugimi operatorami kwantyzacji $(\ mathbf {r})}$ w każdym punkcie w kosmosie nazywane są kwantowymi operatorami pola . Przestrzegają następujących podstawowych relacji komutatora i antykomutatora,

$\ lewo [\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ sztylet} (\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})} pola bozonowe$ ,

${\ Displaystyle \ {\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ sztylet} (\ mathbf {r} _ {2}) \} = \ delta (\ mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ pola fermionów.

W przypadku układów jednorodnych często pożądana jest transformacja między reprezentacją przestrzeni rzeczywistej a reprezentacją pędu, stąd operatory pól kwantowych na bazie Fouriera dają:

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = {1 \ ponad {\ sqrt {V}}} \ suma _ {\ mathbf {k} } e ^ {i\mathbf {k\cdot r} } a_ {\mathbf {k} }}$

${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ sztylet} (\ mathbf {r}) = {1 \ ponad {\ sqrt {V}}} \ suma _ {\ mathbf {k}} e ^ {-i \ mathbf {k \ cdot r} } a_ {\mathbf {k} }^{\sztylet }}$

Komentarz do nazewnictwa

Termin „druga kwantyzacja”, wprowadzony przez Jordana, jest błędną nazwą, która przetrwała z powodów historycznych. U początków kwantowej teorii pola niesłusznie sądzono, że równanie Diraca opisuje relatywistyczną funkcję falową (stąd przestarzała interpretacja „morza Diraca”), a nie klasyczne pole spinorowe, które po skwantowaniu (podobnie jak pole skalarne) daje fermionowe pole kwantowe (w porównaniu z bozonowym polem kwantowym).

Nie dokonuje się kwantyzacji „ponownie”, jak mogłoby sugerować określenie „drugi”; pole, które jest kwantyzowane, nie jest funkcją falową Schrödingera , która powstała w wyniku kwantyzacji cząstki, ale jest klasycznym polem (takim jak pole elektromagnetyczne lub pole spinorowe Diraca ), zasadniczo zespołem sprzężonych oscylatorów, które nie było uprzednio skwantyzowane. Jednym z nich jest jedynie kwantyzacja każdego oscylatora w tym zestawie, przechodząc od półklasycznego traktowania systemu do w pełni kwantowo-mechanicznego.

Zobacz też

• Kwantyzacja kanoniczna
• Pierwsza kwantyzacja
• Kwantyzacja geometryczna
• Kwantyzacja (fizyka)
• Funkcjonalność Schrödingera
• Skalarna teoria pola