Antysymetryzator

W mechanice kwantowej antysymetryzator (znany również jako operator antysymetryzujący $) jest operatorem liniowym, który powoduje,$ funkcja falowa N identycznych fermionów jest antysymetryczna przy wymianie współrzędnych dowolnej pary fermionów. . Po zastosowaniu $falowa$ spełnia zasadę wykluczenia Pauliego . Ponieważ jest $projekcji$ , zastosowanie antysymetryzatora do funkcji falowej, która jest już całkowicie antysymetryczna, nie ma wpływu, działając jako operator tożsamości .

Definicja matematyczna

Rozważ funkcję falową zależną od współrzędnych przestrzennych i spinowych N fermionów:

${\ Displaystyle \ Psi (1,2, \ ldots, N) \ quad {\ tekst {z}} \ quad i \ leftrightarrow (\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}),}$

gdzie wektor położenia r _ja cząstki i jest wektorem w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ σ _ja przyjmuje wartości 2 s +1, gdzie s jest półcałkowym wewnętrznym spinem R fermion. Dla elektronów s = 1/2 i σ może mieć dwie wartości („rozkręcenie”: 1/2 i „rozkręcenie”: −1/2). Przyjmuje się, że pozycje współrzędnych w zapisie dla Ψ mają dobrze określone znaczenie. Na przykład funkcja 2-fermionowa Ψ(1,2) na ogół nie będzie taka sama jak Ψ(2,1). Oznacza to, że ogólnie i dlatego możemy sensownie zdefiniować operator transpozycji ${\ Displaystyle \ Psi (1,2) - \ Psi (2,1) \ neq 0}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {P}} _ {ij}},$ który zamienia współrzędne cząstki ja i j . Ogólnie ten operator nie będzie równy operatorowi tożsamości (chociaż w szczególnych przypadkach może być).

Transpozycja ma parzystość (znaną również jako sygnatura) −1. Zasada Pauliego postuluje, że funkcja falowa identycznych fermionów musi być funkcją własną operatora transpozycji z parzystością jako wartością własną

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kapelusz {P}} _ {ij} \ Psi {\ duży (} 1,2, \ ldots, ja, \ ldots, j, \ ldots, N {\ duży)} &\równoważnik \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (i),\ldots ,\pi (j),\ldots ,\pi (N){\ duży )}\\&\equiv \Psi (1,2,\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots ,N)\\&=-\Psi (1,2,\ldots ,i,\ldots , j,\ldots ,N).\end{wyrównane}}}$

Tutaj skojarzyliśmy operator transpozycji z permutacją współrzędnych π $.$ na zbiorze N W tym przypadku π = ( ij ), gdzie ( ij ) jest notacją cykliczną transpozycji współrzędnych cząstki i oraz j .

Transpozycje mogą być komponowane (stosowane kolejno). To definiuje produkt między transpozycjami, który jest asocjacyjny . Można wykazać, że dowolną permutację N obiektów można zapisać jako iloczyn transpozycji i że liczba transpozycji w tym rozkładzie ma stałą parzystość. Oznacza to, że albo permutacja jest zawsze rozkładana na parzystą liczbę transpozycji (permutacja jest nazywana parzystą i ma parzystość +1), albo permutacja jest zawsze rozkładana na nieparzystą liczbę transpozycji i wtedy jest permutacją nieparzystą z parzystością −1. Oznaczając parzystość dowolnej permutacji π przez (−1) ^π , wynika z tego, że antysymetryczna funkcja falowa spełnia

${ \ Displaystyle {\ kapelusz {P}} \ Psi {\ duży (} 1,2, \ ldots, N {\ duży)} \ równoważnik \ Psi {\ duży (} \ pi (1), \ pi (2), \ldots ,\pi (N){\big )}=(-1)^{\pi }\Psi (1,2,\ldots ,N),}$

$skojarzyliśmy$ operator liniowy permutacją π

Zestaw wszystkich N ! permutacje z iloczynem asocjacyjnym: „zastosuj jedną permutację po drugiej”, to grupa, znana jako grupa permutacji lub grupa symetryczna , oznaczana przez S _N . Definiujemy antysymetryzator jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \ equiv {\ Frac {1} {N!}} \ suma _ {P \ w S_ {N}} (-1) ^ {\ pi} {\ kapelusz {P} }.}$

Właściwości antysymetryzatora

W $jest obiektem dobrze$ reprezentacji grup skończonych ponieważ zbiór (a zatem nieredukowalna) reprezentacja grupy permutacji znana jako reprezentacja antysymetryczna . Ponieważ reprezentacja jest jednowymiarowa, zbiór parzystości tworzy charakter reprezentacji antysymetrycznej. Antysymetryzator jest w rzeczywistości operatorem projekcji znaków i jest quasi-idempotentny,

Ma to taki skutek, że dla dowolnej N -cząstkowej funkcji falowej Ψ(1, ..., N ) mamy

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \ psi (1, \ ldots, N) = {\ rozpocząć {przypadki} &0\\&\Psi '(1,\kropki ,N)\neq 0.\end{przypadki}}}$

Albo Ψ nie ma składnika antysymetrycznego, a następnie antysymetryzator rzutuje na zero, albo ma jeden, a następnie antysymetryzator rzutuje ten antysymetryczny składnik Ψ '. Antysymetryzator niesie lewą i prawą reprezentację grupy:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {P}} {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {A}} {\ kapelusz { P}}=(-1)^{\pi }{\mathcal {A}},\qquad \forall \pi \in S_{N},}$

$.$ operatorem permutację współrzędnych π Teraz dla dowolnej N -cząstkowej funkcji falowej Ψ(1, ..., N ) z niezanikającą składową antysymetryczną jest to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {P}} { \mathcal {A}}\Psi (1,\ldots,N)\equiv {\hat {P}}\Psi '(1,\ldots,N)=(-1)^{\pi}\Psi '( 1,\ldkropki ,N),}$

pokazując, że niezanikający składnik jest rzeczywiście antysymetryczny.

Jeśli funkcja falowa jest symetryczna przy dowolnej permutacji o nieparzystej parzystości, nie ma składnika antysymetrycznego. Rzeczywiście, załóżmy, że permutacja π, reprezentowana przez operatora , ma nieparzystą parzystość i że Ψ jest symetryczna, a następnie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {P}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {P}} \ Psi = \ Psi \ Longrightarrow {\ mathcal {A}} {\hat {P}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow -{\mathcal {A}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}} \psi = 0.}$

Jako przykład zastosowania tego wyniku zakładamy, że Ψ jest iloczynem spinowo-orbitalnym . Załóżmy dalej, że spin-orbital występuje dwukrotnie (jest „podwójnie zajęty”) w tym produkcie, raz ze współrzędną k i raz ze współrzędną q . Wtedy iloczyn jest symetryczny przy transpozycji ( k , q ) i stąd znika. Zauważ, że ten wynik daje oryginalne sformułowanie zasady Pauliego : żadne dwa elektrony nie mogą mieć tego samego zestawu liczb kwantowych (znajdować się na tej samej orbicie spinowej).

Permutacje identycznych cząstek są unitarne (sprzężenie hermitowskie jest równe odwrotności operatora), a ponieważ π i π ⁻¹ mają tę samą parzystość, wynika z tego, że antysymetryzator jest hermitowski,

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {\ sztylet} = {\ mathcal {A}}.}$

Antysymetryzator dojeżdża z dowolną obserwowalną (operator hermitowski odpowiadający fizycznej - obserwowalnej - ilości) ${\ displaystyle {\ hat {H}} \,}$

${\ Displaystyle [{\ mathcal {A}}, {\ kapelusz {H}}] = 0.}$

Gdyby było inaczej, pomiar mógłby rozróżnić cząstki, co jest sprzeczne z założeniem, że antysymetryzator wpływa tylko na współrzędne $.$

Połączenie z wyznacznikiem Slatera

W szczególnym przypadku, gdy funkcja falowa, która ma być antysymetryzowana, jest iloczynem spin-orbitali

${\ Displaystyle \ psi (1,2 \ ldots, N) = \ psi _ { n_{1}}(1)\psi _{n_{2}}(2)\cdots \psi _{n_{N}}(N)}$

wyznacznik Slatera jest tworzony przez antysymetryzator działający na iloczynie spin-orbitali, jak poniżej:

${\ Displaystyle {\ sqrt {N!}} \ {\ mathcal {A}} \ Psi (1,2, \ ldots, N) = {\ Frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ rozpocząć {vmatrix}\psi _{n_{1}}(1)&\psi _{n_{1}}(2)&\cdots &\psi _{n_{1}}(N)\\\psi _{ n_{2}}(1)&\psi _{n_{2}}(2)&\cdots &\psi _{n_{2}}(N)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\ psi _{n_{N}}(1)&\psi _{n_{N}}(2)&\cdots &\psi _{n_{N}}(N)\\\end{vmatrix}}}$

Korespondencja wynika bezpośrednio ze wzoru Leibniza na wyznaczniki , który brzmi

${ \displaystyle \det(\mathbf {B} )=\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi}B_{1,\pi (1)}\cdot B_{2, \pi (2)}\cdot B_{3,\pi (3)}\cdot \,\cdots \,\cdot B_{N,\pi (N)},}$

gdzie B jest macierzą

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = {\ rozpocząć {pmatrix} B_ {1,1} & B_ {1,2} & \ cdots & B_ {1, N} \\ B_ {2,1} i B_ {2,2} &\cdots &B_{2,N}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\B_{N,1}&B_{N,2}&\cdots &B_{N,N}\\\end{pmatrix}} .}$

Aby zobaczyć zgodność, zauważamy, że etykiety fermionów, permutowane terminami w antysymetryzatorze, oznaczają różne kolumny (są drugimi indeksami). Pierwsze indeksy to indeksy orbitalne, n ₁ , ..., n _N oznaczające wiersze.

Przykład

Z definicji antysymetryzatora

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {A}} \ psi _ {a} (1) \ psi _ {b} (2) \ psi _ {c} (3) = & {\ Frac {1 }{6}}{\Duży (}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)+\psi _{a}(3)\psi _ {b}(1)\psi _{c}(2)+\psi _{a}(2)\psi _{b}(3)\psi _{c}(1)\\&{}-\ psi _{a}(2)\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{a}(3)\psi _{b}(2)\psi _{c }(1)-\psi _{a}(1)\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Duży )}.\end{wyrównane}}}$

Rozważ wyznacznik Slatera

${\ Displaystyle D \ równoważnik {\ Frac {1} {\ sqrt {6}}}} {\ rozpocząć {vmatrix} \ psi _ {a} (1) i \ psi _ {a} (2) i \ psi _ { a}(3)\\\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}.}$

Przez rozwinięcie Laplace'a wzdłuż pierwszego rzędu D

$\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {\ sqrt {6}}} \ psi _ {a} (1) {\ rozpocząć {vmatrix} \ psi _ {b} (2) & \ psi _ {b }(3)\\\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{ a}(2){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(3 )\end{vmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _ {b}(2)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)\end{vmatrix}},}$

aby

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D = & {\ Frac {1} {1} {\ sqrt {6}}} \ psi _ {a} (1) {\ duży (} \ psi _ {b} (2) \ psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\duży )}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _ {a}(2){\Duży (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(1){\ Big )}\\&{}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{ c}(2)-\psi _{b}(2)\psi _{c}(1){\Big )}.\end{wyrównane}}}$

Porównując terminy, widzimy to

${\ Displaystyle D = {\ sqrt {6}} \ {\ mathcal {A}} \ psi _ {a} (1) \ psi _ {b} (2) \ psi _ {c} (3).}$

Antysymetryzator międzycząsteczkowy

Często spotyka się funkcję falową postaci iloczynu ${\ Displaystyle \ Psi _$ gdzie całkowita funkcja falowa nie jest antysymetryczna, ale czynniki są antysymetryczne,

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {A} \ Psi _ {A} (1, 2,\kropki ,N_{A})=\psi _{A}(1,2,\kropki ,N_{A})}$

I

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {B} \ Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A} + 2, \ kropki, N_ {A} + N_ {B}) = \ Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\kropki,N_{A}+N_{B}).}$

Tutaj antysymetryzuje pierwsze $cząstki N ZA$ i _{antysymetryzuje} drugi zestaw cząstek NB {\ Displaystyle $\ displaystyle {\ mathcal {A}} ^$ _} . _{tych Operatory} występujące _{antysymetryzatorach reprezentują + NB w . dwóch} elementy odpowiednio podgrup SNA i SNB z SNA

${\ Displaystyle \ Psi _ {A} (1,2, \ kropki, N_ {A} )}$ spotyka się w teorii sił międzycząsteczkowych , gdzie jest elektronową funkcją falową cząsteczki A i ${\ Displaystyle \ Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A}+2,\kropki ,N_{A}+N_{B})}$ to funkcja falowa cząsteczki B . Kiedy A i B oddziałują, zasada Pauliego wymaga antysymetrii całkowitej funkcji falowej, również w permutacjach międzycząsteczkowych.

Cały system można antysymetryzować przez całkowity antysymetryzator $,$ który składa się ZA ₊ N b ₎ ! terminy w grupie S _{N A + N B} . Jednak w ten sposób nie wykorzystuje się już istniejącej częściowej antysymetrii. Bardziej ekonomicznie jest wykorzystać fakt, że iloczyn dwóch podgrup jest również podgrupą i rozważyć lewe koszyki tej grupy produktów w S _{N A + N B} :

${\ Displaystyle S_{N_{A}}\otimes S_{N_{B}}\podzbiór S_{N_{A}+N_{B}}\Longrightarrow \forall \pi \in S_{N_{A}+N_{B}} :\quad \pi =\tau \pi _{A}\pi _{B},\quad \pi _{A}\in S_{N_{A}},\;\;\pi _{B}\ w S_{N_{B}},}$

gdzie τ jest lewym przedstawicielem cosetu. Od

${\ Displaystyle (-1) ^ {\ pi} = (-1) ^ {\ tau} (-1) ^{\pi _{A}}(-1)^{\pi _{B}},}$

możemy pisać

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {AB} = {\ tylda {\ mathcal {A}}} ^ {AB} {\ mathcal {A}} ^ {A} {\ mathcal {A}} ^ { B}\quad {\hbox{z}}\quad {\tylda {\mathcal {A}}}^{AB}=\sum _{T=1}^{C_{AB}}(-1)^{ \tau }{\kapelusz {T}},\quad C_{AB}={\binom {N_{A}+N_{B}}{N_{A}}}.}$

Operator reprezentuje reprezentatywnego coset τ (permutacja współrzędnych $.$ Oczywiście antysymetryzator $_$ ma N _{_} _ Uwaga ! _{_} mniej terminów niż całkowity antysymetryzator. Wreszcie,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {A}} ^ {AB} \ Psi _ {A }(1,2,\kropki ,N_{A})&\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\kropki ,N_{A}+N_{B})\ \&={\tylda {\mathcal {A}}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\kropki,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1 ,N_{A}+2,\kropki ,N_{A}+N_{B}),\end{wyrównane}}}$

$,$ że wystarczy działać z, jeśli falowe podsystemów są

Zobacz też

• Wyznacznik Slatera
• Identyczne cząstki